2022-2023学年山西省大同市灵丘县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省大同市灵丘县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  以下列长度作为三边构建三角形，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  下列命题的逆命题是假命题的是(    )

A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的两条对角线相等
C. 两直线平行，内错角相等 D. 菱形的四条边都相等

6.  如图，在中，、分别是、边的中点，已知的周长为，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，▱位于第一象限中，已知顶点、的坐标分别为，，则顶点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  正方形的对角线长为，则其周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有(    )
；
；
；
；
．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若、、为三角形的三边，则 ______ ．

12.  平面直角坐标系内，点到原点的距离是______．

13.  如图，已知▱中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使▱成为一个矩形．你添加的条件是______．

14.  如图，将一个平行四边形木框变形为矩形，其面积增加了一倍，则原平行四边形中最小的内角度数是______ ．

15.  如图，正方形边长为，点为边中点，沿直线折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
如图，平行四边形中，平分，平分，求证：四边形是平行四边形．

18.  本小题分
黄金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的宽与长之比为，这样的矩形被称为黄金矩形，如古希腊的帕特农神庙其立面就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为，则海报的长应设计为多少？

19.  本小题分
如图，正方形网格图中，每个小正方形的边长都是．
在图中分别画出线段，，；
判断以，，三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

20.  本小题分
如图，正方形中，点为对角线上的一点，，，垂足分别为，，已知，，求的长度．

21.  本小题分
在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．
例如：
用上述方法化简；
计算：．

22.  本小题分
综合与实跷
通过对平行四边形一章内容的学习，我们可以认识到矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质，联系前面学过的三角形知识，我们会发现矩形和菱形中能得到很多特殊的三角形，因此在解决矩形、菱形问题时经常会用到特殊三角形的知识请你运用所学的知识解答下面的题目．
如图所示，在中，，、两点分别为、两边的中点，过点作的平行线，与的延长线相交于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．

23.  本小题分
综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．

【方法提示】
数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．
【动手操作】
如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠已知，使点落在边上，折痕为点在边上，点在边上，折叠后点，的对应点分别为点，．
【问题探究】
判断图中四边形的形状，并证明你的结论．
随着点落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，
不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，
不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，
不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B.不能合并，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据合并同类二次根式法则，二次根式的性质，逐一判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、由于，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、由于，所以不能构成三角形，更不可能构成直角三角形，不符合题意；
C、由于，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、由于，能构成直角三角形，符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不合题意；
B.矩形的两条对角线相等，逆命题为：两条对角线相等的四边形是矩形，是假命题，符合题意，
C.两直线平行，内错角相等，逆命题为：内错角相等两直线平行，是真命题，不合题意；
D.菱形的四条边都相等，逆命题为：四条边相等的四边形是菱形，是真命题；不合题意．
故选：．
先分别写出四个命题的逆命题，然后根据平行线的判定、正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定分别进行判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题，掌握特殊四边形的判定定理，平行线的判定定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：的周长是，
，
，分别是边，的中点，
是的中位线，，，
，
的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：▱位于第一象限中，顶点、的坐标分别为，，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，结合坐标系即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，
正方形的对角线为，
由勾股定理得：，
解得：负值舍去，
正方形的周长为：，
故选：．
根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案．
本题考查了勾股定理和正方形的性质，灵活运用所学知识点是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于点，

在菱形中，，
，，
是等边三角形，
，，则，
，，
，
菱形的面积是，
故选：．
过点作于点，根据菱形的性质可得是等边三角形，得出，，根据勾股定理求得，进而根据面积公式计算即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，，，，
平分，

是等边三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
又，
，
，
，
；故正确；
，，
，即，故正确；
，
；故正确，
，，
，故不正确，

，故正确，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，，，根据角平分线的定义得出，得出是等边三角形，根据三角形中位线的性质得出，进而逐项分析判断即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：、、为三角形的三边，
，
．
故答案为：．
先根据三角形的三边关系判断出的符号，进而可得出结论．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：到原点的距离，
故答案为：．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，平面直角坐标系中两点间的距离，掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的条件是答案不唯一，
理由是：，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
根据矩形的判定定理对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作交的延长线于点，

依题意，，，
在中，，
取的中点，连接，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作交的延长线于点，进而根据题意得出，，进而得出，即可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示，

四边形是正方形，
，
根据折叠可知，，
，，
又，
≌，
，
设，则，
正方形边长为，点为边中点，
，
在中，，，
，
即，
解得：，
，，
，
故答案为：．
连接，证明≌，设，则，在中，勾股定理求得，进而根据即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式


；
原式

． 

【解析】先计算二次根式的除法和乘法，再合并同类二次根式即可；
先利用平方差和完全平方公式展开，再计算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，又由平分，平分，可证得，即可证得，则可判定四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定与性质．注意有两组对角分别平行的四边形是平行四边形，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
 

18.【答案】解：设海报的长应设计为，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
海报的长应设计为． 

【解析】设海报的长应设计为，由题意得，，计算求解满足要求的解即可．
本题考查了分式方程的应用，二次根式的除法运算，黄金分割．解题的关键在于正确的运算．
 

19.【答案】解：如图所示，，，；

，，，
，
以，，三条线段为边能构成直角三角形． 

【解析】根据网格与勾股定理分别画出线段，，；
利用勾股定理逆定理即可判断．
本题考查了勾股定理和逆定理，关键是掌握定理和逆定理，进行计算和判断．
 

20.【答案】解：如图所示，连接，

四边形是正方形，
，，，
又，
≌，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
． 

【解析】连接，根据正方形的性质证明≌，进而证明四边形是矩形，勾股定理求得即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质是解本题的关键．
 

21.【答案】解：；




． 

【解析】根据例题的方法，分母有理化即可求解；
将每一项都分母有理化，继而即可求解．
本题考查的是二次根式的混合运算及分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

22.【答案】证明：在中，，
，
、两点分别为、两边的中点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：当时，四边形是正方形，理由如下，
四边形是正方形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
当时，四边形是正方形． 

【解析】根据已知条件得出，，得出四边形是平行四边形，根据中位线的性质得出，则即可得证；
根据正方形的性质，对角线相等，得出，进而可得是等腰直角三角形，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
解：如图，当与重合时，取最小值，

由折叠的性质得，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
，
如图，当与重合时，取最大值，

由折叠的性质得，
，
，即，
，
，
线段的取值范围． 

【解析】根据折叠的性质，证是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，又由，即可得四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形为菱形；
如图，当与重合时，取最大值，由折叠的性质得，，推出四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到；如图，当与重合时，取最小值，由折叠的性质得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．