2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年月第届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列各式运算正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  用反证法证明“”，应先假设(    )

A.  B.  C.  D.

4.  方程，一次项系数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  矩形、菱形都具有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等

6.  下列一元二次方程无实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  某基金年总投入万元，到年总额预计达到万元，设该基金的年平均涨幅为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，▱中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件如下：；；，；；其中正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，矩形中，，，点、分别是、上的动点，，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在▱中，，，，则▱的周长是(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ______ ．

12.  两组数据：，，，与，，的平均数都是，则 ______ ，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的方差为______ ．

13.  如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是和，那么 ______ ， ______ ，两个长方形的面积和 ______ ．

14.  已知关于的一元二次方程．
若方程的一个根为，则的值为______ ；
若方程有实数根，则满足条件的正整数的值为______ ．

15.  如图，菱形的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则边 ______ ．

16.  如图，过▱内任意一点作各边的平行线分别交，，，于点，，，若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
用合适的方法解下列方程．
；
．

18.  本小题分
某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：，，，
九年级班名学生的成绩是：，，，，，，，，，．
九年级班名学生的成绩在组中的数据是：，，．
通过数据分析，列表如：
九年级班、班抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述、、的值：        ，        ，        ；
学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？

19.  本小题分
在平面直角坐标系中，▱的对称中心在原点，点，的坐标分别为，．
在如图直角坐标系中，画出这个平行四边形；
写出点、的坐标，则 ______ ， ______ ；
▱的周长为______ ，▱的面积为______ ．

20.  本小题分
如图，中，点，分别是边，的中点，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是平行四边形；
当时，若，，求：的长；四边形的面积．

21.  本小题分
我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克．
若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利元，请回答：
每千克茶叶应降价多少元？
在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到元吗？请说明理由．

22.  本小题分
如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作▱，连接交于点，
求当长为何值时，▱为矩形？
求当长为何值时，▱菱形？
在点的运动过程中，线段是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”例如：如图，，则四边形为“等邻角四边形”．

定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是______．
平行四边形
矩形
菱形
等腰梯形
深入探究：
已知四边形为“等邻角四边形”，且，，则______
如图，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．
拓展应用：
如图，在等邻角四边形中，，点为边上的一动点，过点作，，垂足分别为，在点的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“”应先假设，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程，一次项系数为．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
 

5.【答案】 

【解析】解：矩形、菱形都平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，
矩形的对角线互相平分、菱形的对角线互相平分，
矩形、菱形都具有“对角线互相平分”的性质，
故A正确；
菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，
对角线互相垂直不是矩形、菱形都具有的性质，
故B不符合题意；
菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，
对角线平分一组对角不是矩形、菱形都具有的性质，
故C不符合题意；
矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，
对角线相等不是矩形、菱形都具有的性质，
故D不符合题意，
故选：．
由矩形、菱形都平行四边形，可知矩形、菱形都具有“对角线互相平分”的性质，可判断A正确；由菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，可判断不符合题意；由菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，可判断不符合题意；由矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，可判断不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质等知识，正确理解并且熟练运用平行四边形、矩形、菱形的性质定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根判断即可．
此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：设年平均涨幅为，则的总投入为：万元，的总投入为：万元，
那么可得方程：．
故选：．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，参照本题，如果年平均涨幅为，根据“年总投入万元，到年总额预计达到万元”即可得出方程．
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，；
添加，不能证明≌，
不能证明，
故不能证明四边形是平行四边形，故不符合题意；
添加，
，
，
即，
≌，
，
；
；
四边形是平行四边形，故符合题意；
，，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，故符合题意；
，，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故符合题意；
，
，，，，
≌，
，
四边形是平行四边形，故符合题意；
故选：．
可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，作点关于的对称点，连接，，如图所示：
则，，
在矩形中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
的最小值等于的最小值，即的长度，
，，
，
根据勾股定理，得，
的最小值为，
故选：．
连接，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，的最小值等于的最小值，即的长度，进一步求的长，即可确定的最小值．
本题考查了矩形的判定和性质，涉及轴对称最短路线问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：第一种情况：作，交于点，如图所示，
，，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
▱的周长是：；
第二种情况：作，交的延长线于点，如图所示，
，，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
▱的周长是：；
由上可得，▱的周长是或，
故选：．
根据题意可知：存在两种情况，然后分别画出相应的图形，根据勾股定理，即可求得的长，从而可以计算出▱的周长．
本题考查平行四边形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
解得，
故答案为：．
根据多边形的内角和的计算方法以及多边形的外角和是列方程求解即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是是正确解答的关键．
 

12.【答案】  

【解析】解：两组数据：，，，与，，的平均数都是，
，
解得，，
则新数据，，，，，，，
方差为．
故答案为：，．
首先根据平均数的定义列出关于、的二元一次方程组，再解方程组求得、的值，然后根据方差公式即可求出结果．
此题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：由正方形的面积边长边长，
面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为．
，．
两个长方形的面积的和面积为的正方形面积为的正方形．
故答案为：，，．
依据正方形的面积公式可求及，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即得两个长方形的面积和．
本题考查了正方形的面积公式的逆运用及二次根式的加减，需要熟练掌握运算技巧解题．
 

14.【答案】  ，， 

【解析】解：方程的一个根为，
将代入一元二次方程，
可得，
；
故答案为：；
是一元二次方程，
，
方程有实数根，
，
，
且，
是正整数，
，，．
故答案为：，，．
将代入一元二次方程即可求；
由于根的存在性可得，再结合二次项系数，可求的范围进而解答．
本题考查一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
点与点，点与点关于原点对称，
，
点的坐标为，点的坐标为，
，
点的坐标为，
，
故答案为：．
根据轴对称的性质得到，点的坐标为，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，两点间的距离公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
四边形，四边形，四边形都是平行四边形，




，
，，
．
故答案为：．
根据题意和图形，可以得到，然后变形整理即可得到答案．
本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是表示出的面积，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：，
，
，；
，
，
，，，
，
，． 

【解析】利用因式分解法即可求解；
利用公式法即可求解．
此题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是会根据方程的形式确定适当方法解方程．
 

18.【答案】     

【解析】解：九年级班组占的百分比为，
，
，
班名学生测试成绩中，第和位置的数都是和，
，
班名学生测试成绩中，出现的次数最多，
众数；
故答案为：，，；
这次比赛中，九年级班成绩更平衡，更稳定，理由：
九年级班的方差小于九年级班的方差，
九年级班成绩更平衡，更稳定；
人，
答：估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级班学生人数是人．
根据九年级班组的百分数求，根据众数和中位数的定义求和即可；
根据方差的意义解答即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据．
 

19.【答案】       

【解析】解：如图，平行四边形即为所求．

．
故答案为：，
，，
平行四边形的周长为．
平行四边形的面积为

．
故答案为：，．
根据要求画出图形即可．
根据，的位置写出坐标即可．
利用勾股定理求出，即可解决问题．
本题考查作图旋转变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：点，分别是边，的中点，
．
，
四边形是平行四边形；

解：，为的中点，
．
，，
，
．
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
≌，
四边形的面积三角形的面积


． 

【解析】根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
根据我证得≌，然后利用四边形的面积三角形的面积解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设每千克茶叶降价元，则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每千克茶叶应降价元或元；
要尽可能让利于顾客，
每千克茶叶应降价元．
又，
该店应按原售价的折出售；
该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到元，理由如下：
假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到元，
设每千克茶叶降价元，则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到元． 

【解析】设每千克茶叶降价元，则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，利用总利润每千克的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
由要尽可能让利于顾客，可得出每千克茶叶应降价元，再利用折扣，即可求出结论；
该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到元，假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到元，设每千克茶叶降价元，则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，利用总利润每千克的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算；牢记“当时，方程无实数根”．
 

22.【答案】解：当时，平行四边形是矩形，
，，
，
，，
；

当时，，此时平行四边形是菱形，
，，，
，
；

如图，设与交于点，作于．
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值． 

【解析】当时，平行四边形是矩形，解直角三角形求出即可；
当时，，此时平行四边形是菱形；
设与交于点，作于首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，没联系的判定，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】   

【解析】解：根据“等邻角四边形”的定义可知矩形，等腰梯形是“等邻角四边形”．
故答案为：；
解：，，根据“等邻角四边形”定义可知：，
，
故答案为：；
证明：，
，
对角线平分，
，
，
四边形为等邻角四边形；

解：在点的运动过程中，的值不会发生变化，理由如下：
过作于，过作于，如图：

，，，
，
四边形是矩形，
，，即，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即在点的运动过程中，的值总等于到的距离，是定值．
根据“等邻角四边形”的定义判断即可；
由，知：不可能还有内角与、相等否则内角和大于，则，即得；
由得，根据对角线平分，得，故，即证得四边形为等邻角四边形；
过作于，过作于，由，，，得四边形是矩形，得，可证明≌，得，即有，从而说明在点的运动过程中，的值总等于到的距离，不会变化．
本题是四边形综合题，考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．