2022-2023学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使式子有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  数据，，，，的方差为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  用配方法解方程，经过配方，得到(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，平行四边形中，是四边形内任意一点，，，，的面积分别为，，，，则一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则以下方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，电线杆直立于地面，是一斜坡，其坡比为：，是电线杆的一斜拉钢绳，已知米，米，，则电线杆的长为米．(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  化简：
______ ；
______ ．

12.  七边形的内角和为______度，外角和为______度．

13.  用反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设______ ．

14.  某配件厂一月份生产配件万个，已知第一季度共生产配件万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为，则可以列出方程为______ ．

15.  在平行四边形中，的平分线分成和的两条线段，则平行四边形的周长为______ ．

16.  如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点有下列个结论：；；；，其中说法正确的是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；

 

18.  本小题分
解方程：
．
．

19.  本小题分
如图，平行四边形中，是它的一条对角线过，两点作，，垂足分别为，，延长，分别交，于，．
求证：四边形是平行四边形；
已知，，求的长．

20.  本小题分
疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．

______，______．
这组数据的众数是______次，中位数是______次．
返校后，线上体育打卡次记为分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照和的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场．

21.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根；
若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值．

22.  本小题分
某商店销售一款电风扇，平均每天可售出台，每台利润元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价元，平均每天将多售出台．设每台电风扇降价元．
分别用含的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．
若要使每天销售利润达到元，求的值．
请问该电风扇每天销售利润能否达到元吗？请说明理由．

23.  本小题分
如图，平行四边形中，，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为．
求平行四边形的面积；
求当时，的面积；
当的面积是平行四边形面积的时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：式子有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件求解．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
B、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
C、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
D、是中心对称图形，则此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
【解答】
解：、未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程含有个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据方差公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选D．
此题考查配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的面积，
平行四边形的面积，
，
故选：
由平行四边形的性质得出平行四边形的面积，平行四边形的面积，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
故选：．
对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

8.【答案】 

【解析】解：设道路宽为，则中间正方形的边长为，
依题意，得：，
即．
故选：．
设道路宽为，则中间正方形的边长为，根据道路占地总面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得：，，
斜坡的坡比为：，
，
设米，则米，
在中，米，
米，
，
，
米，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设与交于点，作于如图所示：
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选：．
设与交于点，作于首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值．
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

11.【答案】  

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：．
根据算术平方根的化简方法计算即可求解；
根据算术平方根的化简方法计算即可求解；
此题考查了算术平方根的化简，熟记算术平方根的化简方法是解题的基础．
 

12.【答案】   

【解析】解：度，外角和为度．
边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是度．
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．外角和是一个定植，不随着边数的变化而变化．
 

13.【答案】不平行或与相交 

【解析】解：用反证法证明“在同一平面内，若，，则”，应假设：不平行或与相交．
故答案为：不平行或与相交．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据即可解答．
本题主要考查了反证法、垂线以及平行线的判定，解答此题的关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

14.【答案】 

【解析】解：该配件厂一月份生产配件万个，且该厂平均每月生产配件的增长率为，
该配件厂二月份生产配件万个，三月份生产配件万件．
根据题意得：．
故答案为：．
由该配件厂一月份的产量及平均每月产量的增长率，可得出该配件厂二月份生产配件万个，三月份生产配件万件，结合该配件厂第一季度共生产配件万个，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：设的平分线交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
当，时，如图，则，，
；
当，时，如图，则，，
，
平行四边形的周长为或，
故答案为：或．
设的平分线交于点，可证明，再分两种情况讨论，一是，，则，；二是，时，则，，分别求出平行四边形的周长即可．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，证明的平分线与相交所构成的三角形是等腰三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，，，
，
，
点为中点，
，故正确；
、、分别是、、的中点，
，，
，，
，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
即，故正确；
，，
，，
，故正确；
故答案为：．
由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
 

17.【答案】解：原式
；

原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案；
直接利用乘法公式化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：，
所以，；
，
或，
所以，． 

【解析】利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】由平行四边形的性质得出，由，，得出，即可得出结论；
由证得≌，得出，再在中，由勾股定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：抽取的打卡总次数为：次，
，
．
故答案为：，；

打卡次的次数为，次数最多，所以众数是次；
把个数据按从小到大的顺序排列，位于第，个的数据都是，所以中位数是次．
故答案为：，；

小方的成绩为：分，
小锋的成绩为：分，
，
小方赢得了这场．
根据打卡次数及其所占的百分比求出打卡总数，根据各组打卡次数之和等于总次数得到的值，用乘以打卡次所占的百分比求出；
根据众数与中位数的定义求解；
分别求出两人的加权平均数，分数较高者赢得这场．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了加权平均数、众数以及中位数．
 

21.【答案】证明：，
方程有两个不相等的实数根．
解：，即，
解得：，．
当为直角边时，，
解得：；
当为斜边时，，
解得：，不合题意，舍去．
答：的值为或． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形即可得出结论．
本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；利用勾股定理，找出关于的方程．
 

22.【答案】解：降价后平均每天的销售量：，
降价后销售的每台利润：；

依题意，可列方程：
，
解方程得：，．
答：的值为或．

依题意，可列方程：
，
化简得，
．
故方程无解．
故该电风扇每天销售利润不能达到元． 

【解析】降价后平均每天的销售量降价的钱数，每台的利润销售价进价；
根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解；
根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程，再根据根的判别式求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰电风扇箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利销售的件数元是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：平行四边形中，，
，
如图，过点作于点，



平行四边形的面积为：
答：平行四边形的面积为．
当时，
，
如图，过点作

四边形为平行四边形，




的面积为：
答：当时，的面积为
由知平行四边形的面积为．
当的面积是平行四边形面积的时，
的面积为：
当点在线段上运动秒时，点在上运动秒，，，高为

舍或
时符合题意；
当点运动到线段上时，且运动时间为秒时，点也运动到线段上，
如图，过点作垂直于点，垂直于延长线于点


四边形为平行四边形，，


，


化简得：

不符合题意，舍或
当时，点位于点处，点位于线段上，符合题意．
综上，的值为或． 

【解析】过点作于点，由角所对的直角边等于斜边的一半，得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
过点作，分别计算出时，，和的长，则按三角形面积公式计算即可；
分点在线段上，点在线段上和点在线段上，点在线段上，两种情况计算即可．
本题考查了动点在平行四边形的边上运动所形成的三角形的面积的问题，数形结合，按照三角形或平行四边形的面积公式计算，是解题的关键．