2022-2023学年浙江省宁波市鄞州实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州实验中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的图象还经过点(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知一元二次方程有一个根为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知菱形的面积是，对角线，则是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  对于命题“在同一平面内，若，，则”，用反证法证明，应假设(    )

A.  B.  C. 与相交 D. 与相交

6.  在平行四边形中有一个内角为，则的度数为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  一家鞋店对上周某一品牌的销售情况统计如下表：

该店决定本周进鞋时多进些尺码为厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

8.  下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是(    )

A. 测量得出对角线相等
B. 测量得出对角线互相平分
C. 测量得出两组对边分别相等
D. 测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等

9.  如图，直线与双曲线相交于、两点，已知点坐标为，当时，的取值范围为(    )

A.
B.
C.
D. 或

10.  如图，直线交正方形的对边、于点、，正方形和正方形关于直线成轴对称，点在边上，点在边上，、交于点，、交于点若，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  二次根式中的取值范围是______．

12.  如图，在中，点，点分别是边，的中点，若，，则 ______ ．

13.  甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这天中日平均气温方差的大小关系是 ______填“”、“”或“”．

14.  解一元二次方程，配方得到，则的值为______ ．

15.  如图，双曲线经过的两顶点、，轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为______ ．

16.  如图，菱形中，，，向内构造菱形版“赵爽弦图”，得到了两对全等三角形，四边形是矩形，，则矩形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；

 

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
如图，在的方格中，有个小方格被涂黑成“形”．
在图中再涂黑格，使新涂黑的图形与原来的“形“关于对称中心点成中心对称；
在图和图中再分别涂黑格，使新涂黑的图形与原来的“形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形两个图各画一种．

 

20.  本小题分
某中学八年级组织了一次数学计算比赛禁用计算器，每班选名同学参加比赛，成绩分为，，，四个等级，其中等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分，数学教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．

把一班竞赛成绩统计图补充完整．
填表：

成绩级以上包括级为优秀，请你利用数据分析哪个班级优秀人数更多．

21.  本小题分
某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价据测算，若每箱饮料每降价元，每天可多售出箱针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
当每箱饮料降价元时，这种饮料每天销售获利多少元？
为了尽可能地清理库存，以及要使每天销售饮料获利元，问每箱应降价多少元？

22.  本小题分
如图，在平行四边形中，点、分别为，的中点，点，在对角线上，且．
求证：四边形是平行四边形．
如图，连结交于点，若，，，求的长．

 

23.  本小题分
电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．
当时，求与之间的关系式；
电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？

24.  本小题分
如图，在正方形中，是上的一点不与端点，重合，连结，过点作的垂线，分别交、于点、在上取点，使得，连结，．
求证：≌；
若，则 ______ ；
改变的度数，的度数是否会发生变化？若发生变化，请写出与之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
若，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：设反比例函数的关系式为，
反比例函数的图象经过点，
，
又，，，，
在反比例函数的图象上，
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出的值，再根据点的坐标进行验证即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是正确解答的前提，求出的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将代入原方程得：，
解得：，
的值为．
故选：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：菱形的面积是，对角线，
，
，
故选：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：与的位置关系有和与相交两种，因此用反证法证明“”时，应先假设与相交．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形的一个内角为，它的对角度数是，它的邻角为．
故选：．
由平行四边形的对角相等和邻角互补即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数；
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，
对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、对角线交点到四个顶点的距离都相等，
对角线互相平分且相等，
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、熟记矩形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点在直线上，
，
即，
点，
由两个函数的图以及交点坐标可知，
当时，或，
故选：．
根据一次函数与反比例函数的图象以及交点坐标，将，分为和两段分别进行解答即可．
本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，数形结合是正确解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
正方形和正方形关于直线成轴对称，
，
，
，
，
故选：．
根据对称可得，将的周长表示出来，在通过边的转化解答即可．
本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
点，点分别是边，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由折线统计图知，乙地这天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地，
，
故答案为：．
由折线统计图知，乙地这天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地，结合方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
，
故答案为：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
由题意可知，，，
的面积为，
，
解得舍去，
故答案为：．
由题意可知，，，利用的面积为，得到，解方程求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出、的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，过点作于，连接，

四边形是矩形，
，
，
，，
四边形是菱形，，
，，，
，，
，，，
，，，
在和中，
，
≌，
同理：≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，过点作于，连接，由，可得，，根据菱形的性质和矩形的性质可得，，则，，，可得出≌，≌，分别求出菱形，，的面积，即可得矩形的面积．
本题考查的是菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定定理以及菱形的性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先根据二次根式的除法法则运算，然后把化简后合并即可；
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则幂是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，，，
，
则，即，． 

【解析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】解：图形如图所示：

图形如图所示： 

【解析】根据中心对称图形的定义画出图形；
根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
 

20.【答案】   

【解析】解：一班等级的学生有：，
补全的条形统计图如右图所示；

一班的中位数是，
二班的众数是，
故答案为：、；
从级以上包括级的人数方面来比较，一班成绩更好．
根据题意和表格中的数据可以求得一班等级的学生数，从而可以解答本题；
根据表格中的数据可以求得一班的中位数以及二班的众数；
根据表格中的数据，可以从两方面比较一班和二班成绩的情况．
本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：每箱应降价元，依据题意得总获利为：，
当时，元；

要使每天销售饮料获利元，每箱应降价元，依据题意列方程得，
，
整理得，
解得，；
尽可能地清理库存，

答：每箱应降价元，可使每天销售饮料获利元． 

【解析】此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润销售总箱数销售总利润，由此列出算式后代入即可求解；
利用上题得到的算式进一步得到方程求解即可解答．
本题考查了一元二次方程的应用，此题考查最基本的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数销售总利润．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别为，的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形．
解：如图，设交于点，连接，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
的长是． 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，由，，得，即可证明≌，得，，则，所以四边形是平行四边形；
设交于点，连接，根据三角形的中位线定理可证明，则，所以四边形是矩形，则，而，则，所以．
此题重点考查平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意，
解得，，
设．
过点，
．
当时，与的关系式为：；

过点，
温度每上升，电阻增加．
过点，
，
解得：，
故与的关系式为：，
，当时，得；
，当时，得；
答：温度取值范围是：． 

【解析】设关系为，将代入求；
将代入关系式中求，再利用温度每上升，电阻增加，得出图象上点的坐标，再求出函数关系即可，将代入函数关系式求出的值．
此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
 

24.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
改变的度数，的度数不会发生变化，理由如下：
设，则，
由知：，
，
，，
，
，
的度数不会发生变化；
解：如图，过点作于，

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由知：≌，
，，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
．
根据正方形的性质和证明≌即可；
先根据是的垂直平分线可得，由等腰三角形的性质和正方形的性质可得，，最后由角的和与差可得结论；
将换成，同理可得；
如图，过点作于，先证明是等腰直角三角形，根据三角形全等和勾股定理可得：，由面积法可得，证明≌，可得，最后由勾股定理可得的长．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形全等解决问题，属于中考常考题型．