福建省莆田市2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学试卷（含答案）

福建省莆田市2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知向量，且与互相垂直，则k的值为(   )

A. -2 B.  C.  D. 2

2、甲、乙两名篮球运动员分别投篮一次，如果两人投中的概率都是0.6，且两人投篮相互独立，则两人都投中的概率为(   )

A. 0.16 B. 0.24 C. 0.36 D. 0.6

3、函数的导函数是(   )

A. B. C. D.

4、定义在上的函数，其导函数图像如图所示，则的单调递减区间是(   )

A.  B. C. D.

5、已知在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为(   )

A. B. C. D.

6、“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是(   )

A. 0.9 B. 0.87 C. 0.83 D. 0.8

7、已知函数为增函数，则实数m的取值范围为(   )

A. B. C. D.

8、若正六棱柱底面边长为1，高为，则直线和EF所成的角大小为(   )

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题

9、为预测某电子商务平台2022年的销售额（单位：亿元），建立了年销售额y与年份代码x的两个回归模型，根据该平台2012年至2021年的数据（年份代码x的值依次为1，2，…，10）作出散点图，建立模型①：和模型②：，如下图，则下列说法正确的是(   )

A.模型②更适合作为回归模型

B.年销售额y与年份代码x呈正相关关系

C.根据模型②计算得，当时，，可预测该平台2022年的年销售额为6252亿元

D.若模型①过样本中心，该平台2012年至2021年间年销售额的平均值为1845亿元，则

10、在正三棱柱中，点P满足，其中，则(   )

A. 棱 B. 平面 C.  D.

11、已知8件产品中有3件是一等品，其余都是二等品．从这些产品中不放回地抽取三次，令为第次取到的是一等品，则(   )

A.  B.与相互独立

C.  D.

12、已知函数，则下列说法正确的有(   )

A.无最大值  B.有唯一零点

C.在单调递增 D.为的一个极小值

三、填空题

13、曲线在处的切线方程为___________．

14、已知随机变量服从标准正态分布，，则___．

15、将4个1和2个0随机排成一行代码，则代码是“101101”的概率为__________．

16、如图，在边长为2的正方体中，E，F，O分别为正方形，，ABCD的中心，点P在正方形ABCD内（含边界）运动，若直线与平面DEF无交点，则点P所形成的轨迹___点O（填“经过”或“不经过”）；该轨迹长度为__________．

四、解答题

17、如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，，，点E在边DA上，且，F为BC的中点．

（1）用向量，，表示向量；

（2）求．

18、已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）求在区间的最值．

19、中学生应主动承担一定的烹饪、家庭清洁、家居美化等日常生活劳动，某劳动实践基地为了解中学生对提高烹饪技术是否有兴趣，从某中学随机抽取男、女各50人进行调查．

（1）请完成列联表，并判断是否有95%的把握认为对提高烹饪技术是否有兴趣与性别有关？

（2）该基地为参与调查的同学组织了一次抽奖活动．袋中装有6个除颜色外其余均相同的小球，其中4个红球、2个黄球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球获得售价为88元的冰墩墩摆件；否则获得售价为3元的小礼品，设一位抽奖者获得奖品售价为X元，求．

附：，其中．

20、如图，在四棱锥中，底面ABCD且，，，，点M为棱PC的中点．

（1）证明：；

（2）求平面ABM与平面ABCD所成角的余弦值．

21、国家射击队队员甲、乙两人在莆田市体育训练基地射击馆进行一次队内比赛，约定赛制如下：先进行一轮25发子弹，每枪一发的常规赛，命中数多者为胜者．如果常规赛命中数相同，则进行附加赛，即每人各射击一发子弹，一人子弹命中目标而另一人子弹未命中，命中者获胜，否则每人继续射击一发，直到分出胜负为止，设甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为0.9和0.8，且每发子弹是否命中目标互不影响．

（1）用X表示常规赛中甲的命中数，求和；

（2）若甲、乙两人常规赛命中数相同，求在附加赛中两人恰好各射击三发子弹甲才获胜概率．（结果保留3位小数）

参考数据：．

22、已知函数．

（1）若是的极值点，求a；

（2）当时，证明：．

参考答案

1、答案： A

解析：由与互相垂直，则，解得

故选：A

2、答案： C

解析：两人投中的概率都是0.6,根据相互独立事件的乘法公式即可得两人都投中的概率为，

故选：C

3、答案： B

解析：由得.

故选：B.

4、答案： C

解析：由导函数图像可知：当时，，函数单调递减

的单调递减区间是

故选：C

5、答案： D

解析：设，

因为与的中点相同，所以，，

解得，，所以.

故选：D.

6、答案： B

解析：李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，因此李明准时到校的概率为：，

故选：B

7、答案： A

解析：，由函数为增函数

所以恒成立，即

由，所以

故选：A

8、答案： C

解析：由题意，平移到，则为所求.

由于 ，，

故选：C.

9、答案： ABC

解析：由散点图可知年销售额y与年份代码x呈正相关关系；模型②更适合作为回归模型，故选项A,B正确.

当时，

当时,对应的年份为2022，可预测该平台2022年的年销售额为6252亿元，故选项C正确.

,解得，故选项D不正确.

故选：ABC

10、答案： BD

解析：由，

得，，共面，

又三个向量共起点，所以B,P,C,共面，

所以平面，故B正确；

则，

得，

得，

设BC得中点为O，

则，所以，

因为，所以，

即P在BC的中垂线上，故棱，故A错误；

则，

又，所以BP,不平行，故C错误；

连接OA，则，

又,OP,平面AOP，

所以平面AOP，

又平面AOP，

所以，故D正确.

故选：BD.

11、答案： AD

解析：依题意，故A正确；

，所以，故C错误

，因为，故与不独立，故B错误；

对于D：，故D正确；

故选：AD

12、答案： ACD

解析：，记

因为，且，在区间上显然递增，

所以记为的零点，则有

所以当时，，在上单调递增，

又因为，所以当时，，当时，，

所以当时，有极小值，D正确；

由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确；

易知，故B错误

故选：ACD

13、答案：

解析：因为，所以所求切线斜率，

又当时，，所以切线方程为.

故答案为：

14、答案： 0.1587

解析：随机变量服从标准正态分布，所以，

所以.

故答案为：.

15、答案：

解析：6个位置选两个位置放0，其余四个位置放1，总的排放方式共有,代码是“101101”只是15种排放方式中的一种，故概率为，

故答案为：

16、答案： ①.经过    ②

解析：因为直线与平面DEF无交点，

所以∥平面DEF，

所以需要在平面ABCD上找一点，设为Q，使平面∥平面DEF，

延长,,,分别到，,,使，,,

取正方形的中心G，的中点H，连接HG,，交平面ABCD于Q，

因为在正方体中，F，O分别为正方形，ABCD的中心，

所以，，所以四边形为平行四边形，

所以，

因为，，

所以四边形EGOF平行四边形，所以，

因为,平面DEF，DF,平面DEF，

所以平面DEF，平面DEF，

因,平面，，

平面平面DEF，

因为平面，所以平面DEF，

延长QO交CD于T，则QT为点P所形成的轨迹，

所以点P所形成的轨迹经过点O，

过G作于H，过O作于S，则

，所以，

所以，得，

所以，

所以，

故答案为：经过，

17、答案： (1)

(2)

解析：（1）依题意，得，

因为点E满足，F为BC的中点，

所以．

所以

（2）因为DA，DB，DC两两垂直．，

所以，

由（1）可得

所以

18、答案：(1) 单调递增区间为和，单调递减区间为

(2) 最大值为65，最小值为-16

解析：（1）由题意可得定义域为R，

，

令，得或．

列表如下：

所以单调递增区间为和，单调递减区间为．

（2）由（1）知在[－3，－2]，单调递增，在单调递减，

又因为,,,．

所以在区间上的最大值为65，最小值为-16.

19、答案： (1) 有的把握认为对提高烹饪水平是否有兴趣与性别有关

(2)20

解析：（1）提出统计假设：对提高烹饪技术有兴趣与性别无关．

由题意，可得如下列联表：

所以，

所以有的把握认为对提高烹饪水平是否有兴趣与性别有关．

（2）依题意X的可能取值为88，3，

所以；，

所以.

20、答案： (1)见解析

(2)

解析：（1）因为，所以．

如图，以A为原点，分别以，为x轴，y轴的正方向，过点A作，则平面xOy，以为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

因为点M为棱PC的中点，所以．

于是，

所以．

所以，即．

（2）由（1）得,

设是平面MAB的法向量，则，即

取，得，则是平面MAB的一个法向量．

又因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．

设平面ABM与平面ABCD所成的角为，

则，

所以平面ABM与平面ABCD所成角的余弦值为

21、答案： (1)0.272

(2)0.099

解析：（1）由题意得

所以

，

所以

（2）用A表示在附加赛中两人恰好各射击三发子弹甲才获胜，用表示在附加赛中两人各射击第一发子弹未分出胜负，用表示第二发子弹未分出胜负，用表示甲第三发子弹命中目标且乙第三发子弹未命中目标，则，且，，相互独立．

所以．

所以

解法二：

（1）同解法一；

（2）用A表示在附加赛中两人恰好各射击三发子弹甲才获胜，分以下4种情况：

①用表示在附加赛中两人各自第一发和第二发子弹都命中目标，甲第三发子弹命中目标且乙第三发子弹未命中目标，则；

②用表示在附加赛中两人各自第一发子弹均命中目标，第二发子弹均未命中目标，甲第三发子弹命中目标且乙第三发子弹未命中目标，则

；

③用表示在附加赛中两人各自第一发子弹均未命中目标，第二发子弹均命中目标，甲第三发子弹命中目标且乙第三发子弹未命中目标，则；

④用表示在附加赛中两人各自第一发和第二发子弹都未命中目标，甲第三发子弹命中目标且乙第三发子弹未命中目标，则

因为，且，、、两两互斥，

所以

22、答案： (1)

(2)见解析

解析：（1）依题意，的定义域为，

由，得，

因为是的极值点，所以，即，即

当1时，，

当时，，所以在单调递增；

当时，，所以在单调递减；

所以在处取得极大值，符合题意

因此

（2）当时，要证，只需证，

即证，等价于证明

令，则

令，则，所以对恒成立，

故 在 单调递减，

又，所以，

所以在上恰有一个零点，且．

当时，，即，所以在单调递增；

当时，，即，所以在单调递减，

所以．

又因为，即，即，即，即，

所以

所以，

又因为，所以，即，

因此，即，圆