2022-2023学年四川省成都市高新区教科院附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省成都市高新区教科院附中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市高新区教科院附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列手机中的图标是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，1）向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点P'的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（1，5） C．（1，﹣3） D．（﹣5，5）
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．4x2+y2＝（2x+y）（2x﹣y）
B．a（4﹣y）＝4a﹣ay2
C．x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1
D．﹣4x+12xy﹣9y2＝﹣（2x﹣3y）2
4．如图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（　　）

A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．x≥2 D．无解
5．已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，那么它的周长是（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或15
6．分式，当x等于（　　）时分式的值为零．
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．无法确定
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为88°，A，D，E三点在同一直线上时，则∠E的度数为（　　）
​

A．46° B．56° C．41° D．51°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
8．如果式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
9．因式分解：x2﹣16＝　 　．
10．如果不等式（a﹣3）x＞5的解集是，那么a的取值范围是 　 　．
11．如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM＝2，则DE+DF＝　 　．

12．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB＝3，BC＝7，则AM的长为　 　．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
13．（1）解不等式：10+3（x+2）≤x﹣2；
（2）解不等式组：．
14．因式分解：a3﹣2a2b+ab2．
15．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（4，4 ）、B（1，2 ）、C（3，2 ），请解答下列问题．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3．
并写出点A3的坐标：A3（　 　，　 　 ）．

16．已知直线l：y1＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与直线l2：y2＝3x交于点B（1，m）．
（1）求直线l1的解析式，并直接写出不等式y2≥y1的解集．
（2）若O为坐标原点，直线l1与x轴交于点C，在x轴上是否存在一点P，满足S△BCP＝9，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17．【初步探究】
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点B（4，1），点C在第四象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是 　 　．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕若点C按逆时针方向旋转至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 　 　．
​
一、填空题（每小题4分，共20分）
18．已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2b+ab2的值为 　 　．
19．如图，Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知AB＝14．图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则平移距离为 　 　．

20．已知不等式组有解，则a的取值范围为 　 　．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
21．成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．
（1）参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？
（2）某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；

A型号客车
B型号客车
载客量（人辆）
40
55
租金（元/辆）
900
1200
学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
22．阅读下面材料：
小胖同学遇到这样一个问题：如图1，点D为△ABC的边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，∠EDF＝90°，试比较BE+CF与EF的大小．
小胖通过探究发现，延长FD至点F′，使得DF′＝DF，连接F′E和F′B，如图2：可以得到一对全等三角形和一个等腰三角形，从而解决问题．

试回答：（1）小胖同学发现BE+CF与EF的大小关系是　 　．
（2）证明小胖发现的结论．
（3）如图3，BC＝3，∠BAC＝30°，△ABC的面积为12，点D是边BC上一点（点D不与B、C两点重合），点E、F分别是边AB、AC上一点，求△DEF周长的最小值．
23．如图1，直线AB：y＝2x+2与直线AC交于y轴上一点A，点C在x轴正半轴上，．

（1）求直线AC的函数表达式；
（2）如图2，将直线AC绕点C逆时针旋转与射线AB交于点D，若△ACD面积是，求点D的坐标；
（3）点E是直线AC上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接BE，EF，FB，当△BEF是以EF为底边的等腰直角三角形时，直接写出F点的坐标．


参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列手机中的图标是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，1）向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点P'的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（1，5） C．（1，﹣3） D．（﹣5，5）
【分析】根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答即可．
解：将点P（﹣2，1）向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点P′的坐标是（﹣2+4，1+3），即（2，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．4x2+y2＝（2x+y）（2x﹣y）
B．a（4﹣y）＝4a﹣ay2
C．x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1
D．﹣4x+12xy﹣9y2＝﹣（2x﹣3y）2
【分析】根据多项式因式分解的意义，逐个判断得结论．
解：A、4x2+y2≠（2x+y）（2x﹣y），故此选项不符合题意；
B、a（4﹣y）＝4a﹣ay，是整式的乘法，故此选项不符合题意；
C、x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、﹣4x+12xy﹣9y2＝﹣（2x﹣3y）2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式是关键．
4．如图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（　　）

A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．x≥2 D．无解
【分析】根据数轴得出答案即可．
解：从数轴可知：这个不等式组的解集是x≥2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能正确识图是解此题的关键．
5．已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，那么它的周长是（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或15
【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
解：∵|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，
∴m﹣3＝0，n﹣5＝0，
解得m＝3，n＝5，
当m＝3作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：3+3+5＝11，
当n＝5作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：3+5+5＝13．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
6．分式，当x等于（　　）时分式的值为零．
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．无法确定
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可．
解：∵分式的值为零，
∴，
解得x＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为88°，A，D，E三点在同一直线上时，则∠E的度数为（　　）
​

A．46° B．56° C．41° D．51°
【分析】由旋转的性质可得AC＝CE，∠ACE＝88°，由等腰三角形的性质可求解．
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转，
∴AC＝CE，∠ACE＝88°，
∴∠E＝＝46°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
8．如果式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣2　．
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
解：由题意，得：2+x≠0，
∴x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分式的分母不为0是解题的关键．
9．因式分解：x2﹣16＝　（x+4）（x﹣4）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．
故答案为：（x+4）（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
10．如果不等式（a﹣3）x＞5的解集是，那么a的取值范围是 　a＜3　．
【分析】由题意可得 a﹣3＜0，所以a＜3．
解：由题意可得 a﹣3＜0，
∴a＜3．
故答案为：a＜3．
【点评】本题考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题的关键．
11．如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM＝2，则DE+DF＝　2　．

【分析】先设BD＝x，则CD＝2﹣x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B＝∠C＝60°，再利用三角函数求出ED和DF的长，即可得出DE+DF的值．
解：∵BC边上的高线AM＝2，
∴AB＝BC＝AC＝，
设BD＝x，则CD＝﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴ED＝sin60°•BD，即ED＝x，
同理可证：DF＝（﹣x）＝2﹣x，
∴DE+DF＝x+2﹣x＝2；
故答案为2．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
12．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB＝3，BC＝7，则AM的长为　2　．

【分析】连接AD，CD，由“AAS”可证△BDM≌△BDN，可得BM＝BN，由“HL”可证Rt△ADM≌Rt△CDN，可得AM＝CN，即可求解．
【解答】证明：连接AD，CD，

∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
，
∴△BDM≌△BDN（AAS），
∴BM＝BN，DM＝DN，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL），
∴AM＝CN，
∵AB＝3，BC＝7，
∴BC﹣AB＝BN+CN﹣（BM﹣AM）＝2AM＝4，
∴AM＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
13．（1）解不等式：10+3（x+2）≤x﹣2；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵10+3（x+2）≤x﹣2，
∴10+3x+6≤x﹣2，
3x﹣x≤﹣2﹣10﹣6，
2x≤﹣18，
则x≤﹣9；
（2）由4+3x＜13得：x＜3，
由﹣x≤2得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．因式分解：a3﹣2a2b+ab2．
【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
解：a3﹣2a2b+ab2
＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（4，4 ）、B（1，2 ）、C（3，2 ），请解答下列问题．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3．
并写出点A3的坐标：A3（　﹣4　，　4　 ）．

【分析】（1）分别作出点A、B、C向下平移5个单位长度的点，然后顺次连接即可；
（2）分别作出点A1、B1、C1关于y轴对称的，然后顺次连接即可；
（3）分别作出点A、B、C绕点O逆时针旋转后得到的点，然后顺次连接，并写出点A3的坐标．
解：（1）（2）（3）所作图形如图所示：
，
点A3的坐标为（﹣4，4），
故答案为：﹣4，4．
【点评】本题考查了根据平移变换、轴对称变换、旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构找出对应的位置．
16．已知直线l：y1＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与直线l2：y2＝3x交于点B（1，m）．
（1）求直线l1的解析式，并直接写出不等式y2≥y1的解集．
（2）若O为坐标原点，直线l1与x轴交于点C，在x轴上是否存在一点P，满足S△BCP＝9，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先利用y2＝3x确定B（1，3），再利用待定系数法求直线y1＝kx+b的解析式；然后利用函数图象写出直线l1不在直线l2下方所对应的自变量的范围得到不等式y1≥y2的解集；
（2）先确定C（4，0），设P（t，0），利用三角形面积公式得到×|t﹣4|×3＝9，然后求出t得到P点坐标．
解：（1）把B（1，m）代入y2＝3x得m＝3，则B（1，3），
把A（﹣2，6），B（1，3）代入y1＝kx+b得
，
解得
所以直线y1＝kx+b的解析式为y1＝﹣x+4；
不等式y2≥y1的解集为x≥1；
（2）存在．
当x＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则C（4，0），
设P（t，0），
∵S△BCP＝9．
∴×|t﹣4|×3＝9，解得t＝10或t＝﹣2，
∴P点坐标为（﹣2，0），（10，0）．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
17．【初步探究】
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点B（4，1），点C在第四象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是 　（0，3）或（3，4）或（2，2）　．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕若点C按逆时针方向旋转至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 　2　．
​
【分析】（1）证明△ABE≌△ECD （SAS），即可求解；
（2）分∠CAB＝90°、∠ABC＝90°、∠ACB＝90°，三种情况求解即可；
（3）求出B（m，2+m），则：BO+BA＝+，BO+BA的值相当于求点P（m，m）到点N（2，﹣2）和点M（0，﹣2）的最小值，即可求解．
解：（1）结论：△AED是等腰直角三角形．
理由：∵在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD （SAS），
∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，
∵在Rt△EDC中，∠C＝90°，
∴∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠AED＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）如图2﹣1，当∠CAB＝90°，CA＝AB时，过点C作CF⊥AO于点F，过点B作BE⊥AO于点E，

∵点A（1，0），点B（4，1），
∴BE＝1，OA＝1，OE＝4，
∴AE＝3，
∵∠CAB＝90°，BE⊥AO，
∴∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，且AC＝AB，∠AFC＝∠AEB＝90°，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝1，
∴OF＝OA﹣AF＝0，
∴点C坐标为（0，3）．
如图，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，过点B作BE⊥OA，过点C作CF⊥BE．

∵∠ABC＝90°，BE⊥OA，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，且BC＝AB，∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴△BCF≌△ABE（AAS），
∴BE＝CF＝1，AE＝BF＝3，
∴EF＝4，
∴点C坐标为（3，4）．
如图，当∠ACB＝90°，CA＝BC时，过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BF⊥CD于点F，

∵∠ACD+∠BCF＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCF＝∠CAD，且AC＝BC，∠CDA＝∠CFB，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CF＝AD，BF＝CD＝DE，
∵AD+DE＝AE＝3，
∴3＝AD+CD＝AD+CF+DF＝2AD+1，
∴DA＝1，
∴CD＝2，OD＝2，
∴点C坐标（2，2）．
综上所述：点C坐标为：（0，3）或（3，4）或（2，2）．
故答案为：（0，3）或（3，4）或（2，2）；
（3）如图作BH⊥OH于H．

设点C的坐标为（0，m），
由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝2，
则点B（m，2+m），
则：BO+BA＝+，
BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点N（2，﹣2）和点M（0，﹣2）的最小值，
相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣2），到N（2，﹣2）的距离和最小，

作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣2，0），
而PM+PN＝PM′+PN≥NM′，
M′N＝＝2，
故：BO+BA的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中（4），将BO+BA的值转化点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，是本题的新颖点．
一、填空题（每小题4分，共20分）
18．已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2b+ab2的值为 　10　．
【分析】将所求代数式分解后，代入条件即可．
解：a2b+ab2＝ab（a+b）．
把a+b＝5，ab＝2代入原式，
则原式＝5×2＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的分解及代入是解题关键．
19．如图，Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知AB＝14．图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则平移距离为 　7　．

【分析】根据平移的性质可知：AB＝DE，由此可求出EH的长．由S阴影DHCF＝S梯形ABEH，结合梯形的面积公式即可求出BE．
解：根据平移可得DE＝AB＝14，DE∥AB，S△ABC＝S△DEF，
∴EH＝14﹣4＝10，S阴影DHCF＝S梯形ABEH＝84，
∴（EH+AB）•BE＝84，
∴×（14+10）•BE＝84，
∴BE＝7，
即平移的距离为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．
20．已知不等式组有解，则a的取值范围为 　a＜3　．
【分析】解两个不等式求得x的范围，由不等式组有解可得关于a的不等式，解之可得答案．
解：解不等式4x+a＜2x，得：x＜﹣，
解不等式﹣x＜x+3，得：x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x＜﹣，
∵不等式组有解，
∴﹣＜﹣，
解得：a＜3，
故答案为：a＜3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
21．成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．
（1）参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？
（2）某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；

A型号客车
B型号客车
载客量（人辆）
40
55
租金（元/辆）
900
1200
学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据表格中的数据和题意，可以写出费用和租用A种型号车辆数的函数关系，再根据题目中的数据，可以列出相应的不等式组，从而可以得到相应的租车方案，然后根据一次函数的性质，即可得到最少的租车费用．
解：（1）设带队老师有x人，则学生有2（10x+35）人，
由题意可得：x+2（10x+35）＝700，
解得x＝30，
∴2（10x+35）＝2×（10×30+35）＝670，
答：参加活动的八年级学生有670人，老师有30人；
（2）设租用A种型号的客车a辆，则租用B种型号的客车（16﹣a）辆，总费用为w元，
由题意可得：w＝900a+1200（16﹣a）＝﹣300a+19200，
∴w随a的增大而减小，
∵每天租车的总费用不超过16200元，学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，
∴，
解得：10≤a≤12，
∵a为整数，
∴a＝10或11或12，
即共有三种租车方案，
∴当a＝12时，w取得最小值，此时w＝15600，
答：共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数，利用一次函数的性质求最值．
22．阅读下面材料：
小胖同学遇到这样一个问题：如图1，点D为△ABC的边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，∠EDF＝90°，试比较BE+CF与EF的大小．
小胖通过探究发现，延长FD至点F′，使得DF′＝DF，连接F′E和F′B，如图2：可以得到一对全等三角形和一个等腰三角形，从而解决问题．

试回答：（1）小胖同学发现BE+CF与EF的大小关系是　BE+CF＞EF　．
（2）证明小胖发现的结论．
（3）如图3，BC＝3，∠BAC＝30°，△ABC的面积为12，点D是边BC上一点（点D不与B、C两点重合），点E、F分别是边AB、AC上一点，求△DEF周长的最小值．
【分析】（1）（2）过点B作BH∥CF，交FD的延长线于H，由“ASA”可证△BDH≌△CDF，可得BH＝CF，DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得EF＝EH，由三边关系可求解．
（3）作AD⊥BC于D，作D关于AB和AC的对称点G和H，连接GH交AB于E，交AC于F，则DE+EF+DF＝GE+EF+FH＝GH，求得GH即可．
解：（1）BE+CF＞EF，
故答案为：BE+CF＞EF；
（2）证明如下，过点B作BH∥CF，交FD的延长线于H，

∴∠C＝∠HBD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDF中，
，
∴△BDH≌△CDF（SAS），
∴BH＝CF，DH＝DF，
∵∠EDF＝90°，DH＝DF，
∴EF＝EH，
在△BEH中，BE+BH＞EH，
∴BE+CF＞EF．
（3）如图3，

作AD⊥BC于D，作D关于AB和AC的对称点G和H，
连接GH交AB于E，交AC于F，
由对称性得，
∠GAE＝∠BAD，∠HAC＝∠CAD，
GE＝DE，FH＝DF，AG＝AD，AD＝AH，
∴DE+EF+DF＝GE+EF+FH＝GH，
AG＝AH，
∠GAH＝∠GAE+∠BAD+∠HAC+∠CAD
＝2∠BAD+2∠CAD
＝2（∠BAD+∠CAD）
＝2×30°
＝60°，
∴△AGH是正三角形，
∴DE+EF+DF＝GH＝AD，
∵S△ABC＝＝，
∴AD＝8，
∴DE+EF+DF＝8，
∴△DEF的周长的最小值是8；
【点评】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
23．如图1，直线AB：y＝2x+2与直线AC交于y轴上一点A，点C在x轴正半轴上，．

（1）求直线AC的函数表达式；
（2）如图2，将直线AC绕点C逆时针旋转与射线AB交于点D，若△ACD面积是，求点D的坐标；
（3）点E是直线AC上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接BE，EF，FB，当△BEF是以EF为底边的等腰直角三角形时，直接写出F点的坐标．
【分析】（1）由待定系数法可求出答案；
（2）根据三角形的面积可求出点D的纵坐标，代入直线AB的解析式可得出答案；
（3）分四种情况画出图形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质可求出答案．
解：（1）直线AB：y＝2x+2分别与x轴，y轴交于B、A两点，
∴A点坐标为（0，2），
∵点C在x轴正半轴上，OC＝，
∴C（，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）∵B（﹣1，0），OC＝，A（0，2），
∴BC＝1+＝，
∴S△ABC＝BC•AO＝×2＝，
由题意知，点D在x轴下方，
∵S△ACD＝S△ABC+S△BCD，
∴|＝，
∴yD＝﹣1，
把y＝﹣1代入y＝2x+2，
∴2x+2＝﹣1，
解得x＝﹣，
∴D（﹣，﹣1）；
（3）若点F在x轴的正半轴，如图，

∵直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∴x＝﹣1时，y＝﹣×（﹣1）+2＝，
∴BE＝BF＝，
∴OF＝BF﹣OB＝，
∴F（，0）；
若点F在x轴的负半轴，如图，

OF＝BF+OB＝+1＝，
∴F（﹣，0）；
若点F在y轴的负半轴，如图，

过点E作EH⊥x轴于点H，
∵△EBF是等腰直角三角形，
∴∠EBF＝90°，EB＝BF，
∵∠EBH+∠OBF＝∠OBF+∠BFO＝90°，
∴∠EBH＝∠BFO，
∴△EBH≌△BFO（AAS），
∴EH＝OB，BH＝OF，
设E（m，﹣m+2），
∴﹣m+2＝1，
解得m＝，
∴BH＝OB+OH＝1+＝，
∴OF＝BF＝，
∴F（0，﹣）；
若点F在y轴的正半轴，如图，

过点E作EG⊥x轴于点G，
同理可得EG＝OB，
∴m﹣2＝1，
∴m＝，
∴BG＝，
∴OF＝，
∴F（0，）．
综上所述，点F的坐标为（，0）或（﹣，0）或（0，﹣）或（0，）．
【点评】本题属于一次函数综合题．考查了待定系数法，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，面积的计算等知识．解题的关键是熟练掌握待定系数法，全等三角形的判定与性质．