2023年陕西省咸阳市礼泉县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年陕西省咸阳市礼泉县中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省咸阳市礼泉县中考数学二模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣的绝对值是（　　）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管．数据0.0000000049用科学记数法表示为（　　）
A．0.49×10﹣9 B．4.9×10﹣9 C．0.49×10﹣8 D．4.9×10﹣10
4．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（a，2）、B（﹣4，b），那么一定有（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＜0
5．下列运算正确的是（　　）
A．m+m＝m2
B．（ a+2b）（ a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．5a3b÷ab＝5a2b
D．4a2﹣2a2＝2
6．如图，BD是矩形ABCD的对角线，DE平分∠BDC，若AB＝5，AD＝12，则线段BE的长为（　　）

A． B． C．3 D．4
7．如图，点A，B，C均在⊙O上，连接AB、BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若⊙O的半径为4，∠A＝60°，则弦BC的长是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
8．二次函数y＝ax²+bx﹣3（a＜0，a、b为常数）的图象经过A（﹣6，y1），B（﹣4，y2），C（2，y2），D（3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．在实数，﹣3，0，﹣π中，最大的数是 　 　．
10．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 　 　．
11．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，点F在DE上，连接BF，且BF平分∠ABC，若AB＝6，EF＝1，则BC的长为 　 　．

12．已知正比例函数y＝﹣2x与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象的一个交点坐标为（﹣3，6），则另一个交点的坐标为 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，点P是边BC上的动点，在边AC上截取CQ＝BP，连接AP、BQ，则AP+BQ的最小值为 　 　．

三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．计算：．
15．解不等式，并求出它的最小整数解．
16．先化简，再求值：，其中x＝1．
17．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD．请用尺规作图法，在BC上求作一点P，使得PD＝PB．（保留作图痕迹，不要求写作法）

18．如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD、CB至点F、E，使得BE＝DF，连接AE，CF．请再添加一个条件：　 　，使得四边形AECF是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母）

19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（3，3），D（2，3），以原点O为位似中心，在第一象限内将四边形ABCD放大为原来的2倍，得到四边形A1B1C1D1，点A、B、C、D的对应点分别为A1B1C1D1．
（1）画出四边形A1B1C1D1；
（2）写出点C1的坐标．

20．2023年2月15日，“二十世纪初中国古文献四大发现展”在国家典籍博物馆开幕．展览共分为“殷墟甲骨”“居延汉简”“敦煌遗书”“明清档案”四个专题，是迄今为止“四大发现”主题相关文物最大规模的展览．为了透过古文献近距离感受源远流长、博大精深的中华优秀传统文化，某班班主任号召班上每名同学从所给这4个主题中任选1个主题整理相关资料：A．“殷墟甲骨”；B．“居延汉简”；C．“敦煌遗书”；D．“明清档案”．为了公平起见，班主任准备了一个如图所示的可自由转动的转盘，将其平均分成四个面积相等的扇形，并分别标上A、B、C、D．每个同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指扇形上的字母对应的主题即为自己所要整理资料的主题．若指针刚好落在分割线上，则需重新转动转盘，直到指针指向某一扇形为止．已知玲玲和乐乐都是该班的同学．
（1）“玲玲转动一次转盘，转盘停止后指针指向A”是 　 　事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
（2）请用列表法或画树状图的方法求玲玲和乐乐所要整理资料的主题相同的概率．

21．位于西安大雁塔南广场的唐代高僧玄奘法师铜像，身披袈裟，手持禅杖，目视前方，仪态庄严，与身后的大雁塔交相呼应，早已成为西安的一张旅游名片，每年都有数以万计的游客前来观赏游玩．某校数学实践小组准备利用太阳光线下物体的影子和标杆测量该铜像的高度．如图，在某一时刻，铜像AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.5m，BC＝6CD．
（1）BC的长为 　 　m；
（2）从条件一、条件二这两个条件中选择一个作为已知，求铜像AB的高度．
条件一：CE＝2.25m；
条件二：从D处看铜像顶部A的仰角α为26.5°．（参考数据：tan26.5°≈0.5．）

22．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，点A的横坐标为3，点A与点B关于y轴对称．
（1）求点B的坐标；
（2）将直线l沿y轴向下平移得到直线l′，l′与y轴交于点C，若△ABC的面积为3，求平移后的直线l′的函数表达式．

23．为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神，学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重要讲话精神，培养学生的爱国情怀，某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会•凝聚奋进力量”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x（单位：分），过程如下：
【收集数据】：
八年级15名学生竞赛成绩分别为：77，84，88，98，97，88，100，92，88，91，94，91，97，95，100；
七年级15名学生竞赛成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90．
【整理数据】：
年级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
八年级
1
1
m
4
6
七年级
1
2
3
4
5
【分析数据】：
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
92
a
92
37.7
七年级
90
87
b
50.2
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）该校八年级学生有600人，假设全部参加此次竞赛，请估计八年级成绩超过平均分的人数；
（3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可）
24．如图，AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上两点，且点D为的中点，连接AC、CD、BD，过点D作DF⊥AB于点F，过点D作⊙O的切线DE，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE⊥AE；
（2）若BD＝10，DF＝8，求CE的长．

25．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该农户计划在大棚内搭建高为3米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿CD，需在对称轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿EF（点D、F均在x轴上，点C、E均在抛物线上，CD∥EF∥y轴），求这两根竹竿之间的水平距离DF．

26．【计算与推理】
（1）如图1，AB∥CF，AC与DF交于点E，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD的长为 　 　；
（2）数学课上张老师拿了两块相似比为2：1的大三角板ABC和小三角板EDC，按如图2所示位置放置，使60°角的顶点C重合．试判断BD：AE的值是否变化？并加以证明；
【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（△CEF）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含60°角的直角三角板ABC和ADE按如图3所示位置放置，使60°角的顶点A重合，分别延长DE、BC交于点P，连接BD，得到△BDP；
第二步：取BD的中点F，分别连接EF、CF，CE，得到△CEF．
请问，按上述操作，裁得的△CEF部件是否符合要求？请说明理由．



参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣的绝对值是（　　）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答．
解：﹣的绝对值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：A．该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管．数据0.0000000049用科学记数法表示为（　　）
A．0.49×10﹣9 B．4.9×10﹣9 C．0.49×10﹣8 D．4.9×10﹣10
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：0.0000000049＝1.9×10﹣9，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
4．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（a，2）、B（﹣4，b），那么一定有（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＜0
【分析】由A，B的坐标，利用正比例函数的性质，可得出a＞0，b＜0．
解：∵正比例函数的图象经过不同象限的两点A（a，2）、B（﹣4，b），
∴a＞0，b＜0．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限”是解题的关键．
5．下列运算正确的是（　　）
A．m+m＝m2
B．（ a+2b）（ a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．5a3b÷ab＝5a2b
D．4a2﹣2a2＝2
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
解：m+m＝2m，故选项A错误，不符合题意；
（ a+2b）（ a﹣2b）＝a2﹣4b2，故选项B正确，符合题意；
5a3b÷ab＝5a2，故选项C错误，不符合题意；
4a2﹣2a2＝2a2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．如图，BD是矩形ABCD的对角线，DE平分∠BDC，若AB＝5，AD＝12，则线段BE的长为（　　）

A． B． C．3 D．4
【分析】根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，CD＝AB＝5，∠C＝90°，BC＝AD＝12，根据勾股定理得到BD＝＝13，过E作EH⊥BD于H，根据全等三角形的性质得到DH＝CD＝5，求得BH＝8，设BE＝x，则CE＝EH＝12﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，CD＝AB＝5，∠C＝90°，BC＝AD＝12，
∴BD＝＝13，
过E作EH⊥BD于H，
∴∠C＝∠DHE＝90°，
∵DE平分∠BDC，
∴EH＝EC，
在Rt△CDE与Rt△HDE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△HDE（HL），
∴DH＝CD＝5，
∴BH＝8，
设BE＝x，则CE＝EH＝12﹣x，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴x2＝82+（12﹣x）2，
∴x＝，
∴线段BE的长为，
故选：B．

【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质等腰三角形的判定，勾股定理，根据平行线的性质和角平分线的定义证得BE＝DE＝12﹣CE是解决问题的关键．
7．如图，点A，B，C均在⊙O上，连接AB、BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若⊙O的半径为4，∠A＝60°，则弦BC的长是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】连接OB，OC，由等腰三角形的性质得到∠BOD＝∠BOC，BC＝2BD，由圆周角定理得到∠A＝∠BOC，因此∠BOD＝∠A＝60°，求出OD＝OB＝2，由勾股定理求出BD＝2，即可得到BC＝2×2＝4．
解：连接OB，OC，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠BOC，BC＝2BD，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠A＝60°，
∴OD＝OB＝×4＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴BC＝2×2＝4．
故选：C．

【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质求出∠BOD＝60°．
8．二次函数y＝ax²+bx﹣3（a＜0，a、b为常数）的图象经过A（﹣6，y1），B（﹣4，y2），C（2，y2），D（3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＜0）的图象经过B（﹣4，y2），C（2，y2），求出对称轴，再根据函数图象判断即可．
解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＜0）的图象经过B（﹣4，y2），C（2，y2），
∴二次函数对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴y1，y2，y3的大小关系为y2＞y3＞y1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够找出对称轴和掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．在实数，﹣3，0，﹣π中，最大的数是 　　．
【分析】根据实数的大小得出结论即可．
解：由题意知，﹣π＜﹣3＜0＜，
故答案为：．
【点评】本题主要考查实数的大小，熟练掌握实数大小的比较是解题的关键．
10．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 　4　．
【分析】先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可．
解：由题意得“弦”是，
∵9＜13＜16，13﹣9＝4，16﹣13＝3，
∴13更接近于16，
∴接近于4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
11．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，点F在DE上，连接BF，且BF平分∠ABC，若AB＝6，EF＝1，则BC的长为 　8　．

【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE，DE∥BC，根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到DF＝DB＝3，进而求出DE，得到答案．
解：∵点D是的边AB的中点，AB＝6，
∴BD＝3，
∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴BC＝2DE，DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝3，
∵EF＝1，
∴DE＝4，
∴BC＝2DE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12．已知正比例函数y＝﹣2x与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象的一个交点坐标为（﹣3，6），则另一个交点的坐标为 　（3，﹣6）　．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．
解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∵一个交点坐标为（﹣3，6），
∴它的另一个交点的坐标是（3，﹣6）．
故答案是：（3，﹣6）．
【点评】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，点P是边BC上的动点，在边AC上截取CQ＝BP，连接AP、BQ，则AP+BQ的最小值为 　　．

【分析】由“SAS”可证△ABP≌△DCQ，可得AP＝DQ，则AP+BQ的最小值为BD，由勾股定理可求解．
解：过点C作CD⊥AC，并截取CD＝AB，连接DQ、BD，设BD交AC于点E，
∵AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝，cos∠ACB＝，
∴∠ACB＝60°，
∵AB＝CD＝，∠ABP＝∠DCQ＝90°，BP＝CQ，
∴△ABP≌△DCQ（SAS），
∴AP＝DQ，
∴AP+BQ＝DQ+BQ，
在△BDQ中，BQ+DQ＞BD，
∴AP+BQ的最小值为BD，
如图，过点B作BF⊥直线CD于F，
∴BF∥AC，
∴∠FBC＝∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝，CF＝，
∴FD＝，
∴BD＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质、立方根的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
解：原式＝
＝2+2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．解不等式，并求出它的最小整数解．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，即可得出答案．
解：，
6﹣2（8+x）≤3x，
6﹣16﹣2x≤3x，
﹣2x﹣3x≤﹣6+16，
﹣5x≤10，
x≥﹣2，
∴不等式的最小整数解为﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能求出不等式的解集是解此题的关键．
16．先化简，再求值：，其中x＝1．
【分析】先算括号里面的，再算除法，把x＝1代入进行计算即可．
解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD．请用尺规作图法，在BC上求作一点P，使得PD＝PB．（保留作图痕迹，不要求写作法）

【分析】作BD的垂直平分线交BC于P点，根据线段垂直平分线的性质得到PD＝PB．
解：如图，点P为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD、CB至点F、E，使得BE＝DF，连接AE，CF．请再添加一个条件：　AE＝EC（答案不唯一）　，使得四边形AECF是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母）

【分析】由平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝EC，然后由平行四边形的判定即可得出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定可得出结论．
解：AE＝EC．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形．
故答案为：AE＝EC（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（3，3），D（2，3），以原点O为位似中心，在第一象限内将四边形ABCD放大为原来的2倍，得到四边形A1B1C1D1，点A、B、C、D的对应点分别为A1B1C1D1．
（1）画出四边形A1B1C1D1；
（2）写出点C1的坐标．

【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C、D的横纵坐标都乘以2得到点A1、B1、C1、D1的坐标，然后描点即可；
（2）由（1）得到点C1的坐标．
解：（1）如图，四边形A1B1C1D1为所作；

（2）点C1的坐标为（6，6）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
20．2023年2月15日，“二十世纪初中国古文献四大发现展”在国家典籍博物馆开幕．展览共分为“殷墟甲骨”“居延汉简”“敦煌遗书”“明清档案”四个专题，是迄今为止“四大发现”主题相关文物最大规模的展览．为了透过古文献近距离感受源远流长、博大精深的中华优秀传统文化，某班班主任号召班上每名同学从所给这4个主题中任选1个主题整理相关资料：A．“殷墟甲骨”；B．“居延汉简”；C．“敦煌遗书”；D．“明清档案”．为了公平起见，班主任准备了一个如图所示的可自由转动的转盘，将其平均分成四个面积相等的扇形，并分别标上A、B、C、D．每个同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指扇形上的字母对应的主题即为自己所要整理资料的主题．若指针刚好落在分割线上，则需重新转动转盘，直到指针指向某一扇形为止．已知玲玲和乐乐都是该班的同学．
（1）“玲玲转动一次转盘，转盘停止后指针指向A”是 　随机　事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
（2）请用列表法或画树状图的方法求玲玲和乐乐所要整理资料的主题相同的概率．

【分析】（1）根据“必然事件”、“随机事件”、“不可能事件”的定义判断即可；
（2）利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果，从中找出玲玲和乐乐所要整理资料的主题相同的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
解：（1）随机；
（2）画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中玲玲和乐乐所要整理资料的主题相同的结果有4种．
∴P（玲玲和乐乐所要整理资料的主题相同）＝．
【点评】本题考查必然事件，随机事件，不可能事件，列表法和树状图法求等可能事件概率，掌握相关概念的意义和列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
21．位于西安大雁塔南广场的唐代高僧玄奘法师铜像，身披袈裟，手持禅杖，目视前方，仪态庄严，与身后的大雁塔交相呼应，早已成为西安的一张旅游名片，每年都有数以万计的游客前来观赏游玩．某校数学实践小组准备利用太阳光线下物体的影子和标杆测量该铜像的高度．如图，在某一时刻，铜像AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.5m，BC＝6CD．
（1）BC的长为 　9　m；
（2）从条件一、条件二这两个条件中选择一个作为已知，求铜像AB的高度．
条件一：CE＝2.25m；
条件二：从D处看铜像顶部A的仰角α为26.5°．（参考数据：tan26.5°≈0.5．）

【分析】（1）根据已知BC＝6CD，进行计算即可解答；
（2）若选择条件一：根据同一时刻物高与影长成正比，进行计算即可解答；
若选择条件二：过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：BF＝DC＝1.5m，DF＝BC＝9m，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：（1）∵CD＝1.5m，BC＝6CD，
∴BC＝6×1.5＝9（m），
故答案为：9；
（2）若选择条件一：
由题意得，
∴，
∴AB＝6，
∴铜像AB的高度为6m；
若选择条件二：
过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由题意得：BF＝DC＝1.5m，DF＝BC＝9m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝26.5°，
∴AF＝DF•tan 26.5°≈9×0.5＝4.5（m），
∴AB＝AF+BF＝4.5+1.5＝6（m），
∴铜像AB的高度约为6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，点A的横坐标为3，点A与点B关于y轴对称．
（1）求点B的坐标；
（2）将直线l沿y轴向下平移得到直线l′，l′与y轴交于点C，若△ABC的面积为3，求平移后的直线l′的函数表达式．

【分析】（1）把x＝3代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标；
（2）由△ABC的面积为3，求得CD，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线l′的函数表达式．
解：（1）把x＝3代入直线得，
∴点A（3、1），
∵点A与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标为（﹣3，1）；
（ 2）由A（ 3，1 ），B（﹣3，1 ）可知AB＝6．
如图，设AB与y轴的交点为D，
∵S△ABC＝3，
∴，
∴，
∴CD＝1，
∵直线l'是由直线l平移得到，
∴可设直线l'的函数表达式为，
①当点C在AB上方时，点C的坐标为（0，2），将（0，2）代入，得b＝2，
∴直线l'的函数表达式为；
②当点C'在AB下方时，点C'的坐标为（0，0），
将（0，0）代入，得b＝0，
∴直线l′的函数表达式为，
综上，平移后的直线l'的函数表达式为或．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键．
23．为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神，学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重要讲话精神，培养学生的爱国情怀，某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会•凝聚奋进力量”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x（单位：分），过程如下：
【收集数据】：
八年级15名学生竞赛成绩分别为：77，84，88，98，97，88，100，92，88，91，94，91，97，95，100；
七年级15名学生竞赛成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90．
【整理数据】：
年级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
八年级
1
1
m
4
6
七年级
1
2
3
4
5
【分析数据】：
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
92
a
92
37.7
七年级
90
87
b
50.2
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　3　，a＝　88　，b＝　91　；
（2）该校八年级学生有600人，假设全部参加此次竞赛，请估计八年级成绩超过平均分的人数；
（3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可）
【分析】（1）根据题干所列数据及中位数和众数的概念求解即可；
（2）总人数乘以样本中八年级成绩超过平均分的人数所占比例即可；
（3）根据平均数、中位数及方差的意义求解即可．
解：（1）由题意知m＝3，八年级成绩的众数a＝88，
九年级成绩的中位数是第8个数，即91，
所以b＝91，
故答案为：3，88，91；
（人），
答：八年级成绩超过平均分的人数为280人；
（3）八年级成绩更好．
从平均数看，八年级成绩的平均数大于七年级，所以八年级成绩更好．
【点评】本题考查频数分布表，样本估计总体，掌握中位数、众数、方差及平均数的定义和意义是正确解答的关键．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上两点，且点D为的中点，连接AC、CD、BD，过点D作DF⊥AB于点F，过点D作⊙O的切线DE，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE⊥AE；
（2）若BD＝10，DF＝8，求CE的长．

【分析】（1）连接OD、AD，由点D为的中点可得∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，再根据同圆的半径相等得∠BAD＝∠ODA，进而得∠CAD＝∠ODA，据此得OD∥AE，然后再根据切线的性质得OD⊥DE，据此可得出结论；
（2）先根据BD＝10，DF＝8由勾股定理求出BF＝6，再根据圆内接四边形的性质得∠B＝∠DCE，据此可证△DCE和△DBF全等，从而可得出CE的长．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，

∵点D为BC弧的中点，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵OD为⊙O的半径，DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
即：OD⊥DE，
∴DE⊥AE．
（2）解：∵DF⊥AB，BD＝10，DF＝8，
由勾股定理得：，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠B＝∠DCE，
由（1）可知：∠E＝90°，
∴∠E＝∠DFB＝90°，
在△DCE和△DBF中，
，
∴△DCE≌△DBF（AAS），
∴CE＝BF＝6．
【点评】此题此题主要考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆周角之间的关系，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，所对的弦相等，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
25．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该农户计划在大棚内搭建高为3米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿CD，需在对称轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿EF（点D、F均在x轴上，点C、E均在抛物线上，CD∥EF∥y轴），求这两根竹竿之间的水平距离DF．

【分析】（1）用待定系数法求出和式关系式即可；
（2）结合（1）令y＝3，求出x的值，可得D，E的横坐标，即可得到答案．
解：（1）由题意知，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（6，2），
把A（0，1），（6，2）代入得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+x+1；
（2）由题意知，点C、D的纵坐标均为3，
∴﹣x2+x+1＝3，
解得x＝3或x＝4，
∴D（ 3，0），F（4，0），
∴DF＝4﹣3＝1，
∴这两根竹竿之间的水平距离DF为1米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式．
26．【计算与推理】
（1）如图1，AB∥CF，AC与DF交于点E，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD的长为 　4　；
（2）数学课上张老师拿了两块相似比为2：1的大三角板ABC和小三角板EDC，按如图2所示位置放置，使60°角的顶点C重合．试判断BD：AE的值是否变化？并加以证明；
【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（△CEF）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含60°角的直角三角板ABC和ADE按如图3所示位置放置，使60°角的顶点A重合，分别延长DE、BC交于点P，连接BD，得到△BDP；
第二步：取BD的中点F，分别连接EF、CF，CE，得到△CEF．
请问，按上述操作，裁得的△CEF部件是否符合要求？请说明理由．

【分析】（1）证△ADE≌△CFE（ASA），得出AD＝CF＝6，即可得出BD的长；
（2）证△BCD∽△ACE，得BD：AE＝BC：AC，再得出∠BAC＝30°，根据特殊角三角函数得出结论即可；
（3）证△DEF≌△BGF（SAS），得BG＝DE，∠DEF＝∠BGF，证△BCG∽△ACE，得，根据∠CEG＝60°，CF＝EF，得出△CEF是等边三角形即可．
解：（1）∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠F，
∵点E是DF的中点，
∴DE＝FE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝6，
即BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，
故答案为：4；
（2）BD：AE的值不变，证明如下：
∵大三角板ABC和小三角板EDC的相似比为2：1，
∴，即，
∵∠DCE＝∠BCA＝60°，
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，
即∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴BD：AE＝BC：AC，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴，
∴BD：AE＝1：2，值不变；
（3）符合要求，理由如下：
如图，延长EF至G，使FG＝EF，

∵∠DFE＝∠BFG，点F是BD的中点，
∴DF＝BF，
∴△DEF≌△BGF（SAS），
∴BG＝DE，∠DEF＝∠BGF，
∴BG∥DP，
∴∠P+∠CBG＝180°，
在四边形ACPE中，∠AEP＝∠ACP＝90°，
根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P＝180°，
∴∠CAE＝∠CBG，
∵∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴，
∴，
∴△BCG∽△ACE，
∴∠BCG＝∠ACE，
∴∠ECG＝∠ACE+∠ACG＝∠BCG+∠ACG＝90°，
在Rt△CEG中，EF＝GF，
∴，
∵△BCG∽△ACE，
∴，
在Rt△CEG中，，
∴∠CEG＝60°，
∵CF＝EF，
∴△CEF是等边三角形．
【点评】本题主要考查相似形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．