2022北京海淀初三一模数学（教师版）

这是一份2022北京海淀初三一模数学（教师版），共21页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2022北京海淀初三一模
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）如图是一个拱形积木玩具，其主视图是　　

A． B．
C． D．
2．（2分）2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会．张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费．将250000用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
3．（2分）如图，，．若平分，则的大小为　　

A． B． C． D．
4．（2分）若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为　　
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2分）不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　　
A． B． C． D．
6．（2分）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．
7．（2分）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌．观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是　　
A．图2中的图案是轴对称图形
B．图2中的图案是中心对称图形
C．图2中的图案绕某个固定点旋转，可以与自身重合
D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转，可以设计出图2中的图案
8．（2分）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为．，是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧围成的区域是表演区．若在处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．
若将灯光装置改放在如图3所示的点，或处，能使表演区完全照亮的方案可能是　　
①在处放置2台该型号的灯光装置
②在，处各放置1台该型号的灯光装置
③在处放置2台该型号的灯光装置
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　．
10．（2分）已知，且是整数，请写出一个符合要求的的值 　　．
11．（2分）分解因式：　　．
12．（2分）如图，，是的切线，，为切点．若，则的大小为 　　．

13．（2分）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　．
14．（2分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点，则点的坐标为 　　．
15．（2分）如图，在的正方形网格中，，，，，是网格线交点，请画出一个，使得与全等．

16．（2分）甲、乙在如下所示的表格中从左至右依次填数．已知表中第一个数字是1，甲、乙轮流从2，3，4，5，6，7，8，9中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再重复使用）．每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字．甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
1
　　
　　
　　
　　
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知．求代数式的值．
20．（5分）《元史天文志》中记载了元朝名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”、这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北线”完全吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1所示．
①春分时，太阳光直射赤道，此时在地直立一根杆子，在太阳光照射下，杆子会在地面上形成影子，通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角；
②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的．所以根据太阳光与杆子所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．
（1）图2是①中在地测算太阳光与杆子所成夹角的示意图．过点作的垂线与直线交于点，则线段可以看成是杆子在地面上形成的影子．使用直尺和圆规，在图2中作出影子（保留作图痕迹）；
（2）依据图1完成如下证明．
证明：，
　　　　（填推理的依据）
地的纬度为．


21．（6分）如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．

22．（5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
23．（6分）数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
（1）建立模型：设该容器的表面积为，底面半径为，高为，则
，①
，②
由①式得，代入②式得
，③
可知，是的函数，自变量的取值范围是．
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照如表中自变量的值计算（精确到个位），得到了与的几组对应值：


1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6



666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积 　　（填“大”或“小” ；
②若容器的表面积为，容器底面半径约为 　　（精确到．


24．（6分）如图，是的外接圆，是的直径，点为的中点，的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点，若，，求和的长．

25．（5分）为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．

（1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是 　　分，他两次活动的平均成绩是 　　分；
②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“〇”圈出代表乙的点；
（2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，，，三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，
已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是 　　；
（3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为 　　．
26．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求的取值范围．
27．（7分）在中，，，为边上一动点，点在边上，．点关于点的对称点为点，连接，为的中点，连接，，．
（1）如图1，当点与点重合时，写出线段与之间的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点与点，不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．


28．（7分）在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
已知点．
（1）在，，中，点的等和点有 　　；
（2）点在直线上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标；
（3）已知点和线段，对于所有满足的点，线段上总存在线段上每个点的等和点．若的最小值为5，直接写出的取值范围．

参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．【分析】从正面观察得到的图形是主视图．
【解答】解：从正面看得到的图形是下面有一半圆的图形．
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，从正面看所得到的图形是主视图．
2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．【分析】由，，得，又平分，即得．
【解答】解：，，
，
平分，
，
故选：．
【点评】本题考查角的和差，解题的关键是掌握角平分线的定义及角的加减．
4．【分析】利用任何多边形的外角和是除以外角度数即可求出答案．
【解答】解：多边形的外角的个数是，所以多边形的边数是12．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
5．【分析】用红球的个数除以球的总数即可．
【解答】解：不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，共5个球，
从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是，
故选．
【点评】考查了概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
6．【分析】由数轴知：，，进而解决此题．
【解答】解：由数轴知：，．
，，，，
符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查数轴上的点表示的实数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的实数以及绝对值是解决本题的关键．
7．【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义一一判断即可．
【解答】解：图2是中心对称图形，原式轴对称图形，图2绕对称中心性质可以与自身重合，故选项，，正确，
将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转，可以设计出图2中的图案，故错误，
故选．
【点评】本题考查作图利用旋转设计图案，中心对称图形，轴对称图形的定义等知识，解题的关键是理解题意中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
8．【分析】由摄像装置的视角，画出图形观察可得答案．
【解答】解：①在处放置2台该型号的灯光装置，如图：

摄像装置的视角为，，
，，
在处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；
②在，处各放置1台该型号的灯光装置，如图：

，，
在，处各放置1台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；
③在处放置2台该型号的灯光装置，如图：

，
由图可知，在处放置2台该型号的灯光装置，不能使表演区完全照亮；
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，借助图形解决问题．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：根据题意得，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
10．【分析】按要求写出一个符合条件的的值即可．
【解答】解：，，又，且是整数，
或，
故答案为：2或3（写一个即可）．
【点评】本题考查无理数大小的估算，解题的关键是能能正确估算、的近似值．
11．【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练运用平方差公式是解题关键．
12．【分析】根据切线长定理得到平分，根据切线的性质得到，则利用角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数．
【解答】解：，是的切线，，为切点，
平分，，
，
，
，
．
故答案为：．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
13．【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△，
，

故答案为：
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14．【分析】根据双曲线的中心对称性即可求得点的坐标．
【解答】解：直线与双曲线交于点和点，
点、关于原点对称，
，
故答案为：．
【点评】本题是正比例函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，应用反比例函数的中心对称性是解题的关键．
15．【分析】利用全等三角形的判定方法画图．
【解答】解：如图，为所作．




【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
16．【分析】根据开始数是1，甲填入后数据方差最大，结合方差的公式可知，填入的数据距离平均数越远越好，可以判断甲填9，乙填入后数据方差最小，结合方差的公式可知，填入的数据越接近平均数越好，可以判断乙填5，依此类推即可．
【解答】解：根据题意，开始数字是1，
甲填入后数据方差最大，结合方差的公式可知，填入的数据距离平均数越远越好，
甲填入的是9，即第2个方格填9，
乙填入后数据方差最小，结合方差的公式可知，填入的数据越接近平均数越好，
乙应该填入5，即第3个方格填5，
甲需要再填入2，即第4个方格填2或8，
此时的四位数为，或，
乙需要再填入4或6，即第4个方格填4或6，
依次填入的数字是 或
故答案为： 或．
【点评】本题主要考查方差的概念及应用，熟练掌握方差公式是解答此题的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．【分析】代入特殊角的三角函数值，化简算术平方根，绝对值，零指数幂，然后算乘法，再算加减．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查实数的混合运算，理解，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，求出，最后代入求出答案即可．
【解答】解：

，
，
，
当时，原式．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．【分析】（1）过点作交于点，线段可即为所求；
（2）利用平行线的性质求解即可．
【解答】（1）解：如图2中，线段即为所求；


（2）证明：，
（两直线平行，内错角相等），
地的纬度为．
故答案为：，两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形；
（2）设，则，根据勾股定理列式，计算可得的值，然后利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
【解答】（1）证明：，是的中点，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：设，则，
，
，
，
，
，
菱形的面积．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
22．【分析】（1）先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点结合图象即可求得．
【解答】解：（1）一次函数的图象由函数的图象平移得到，
，
又一次函数的图象经过点，
．
，
这个一次函数的表达式为；

（2）解得，
直线与直线的交点为，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23．【分析】（2）根据图象上点连线即可；
（3）根据图表即可求出答案．
【解答】解：（2）函数图象如图所示：

（3）①根据图表可知，半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积大，
故答案为：大．
②根据图表可知，当，或，
故答案为：2.5或5.3．
【点评】本题考查了函数图象，根据结合图象和表格信息是解题的关键．
24．【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据垂径定理的推论得，便可得；
（2）连接与交于点，连接，在中，解直角三角形得，进而由勾股定理求得，再由中位线定理求得，在中由勾股定理求得，在中由勾股定理求得，最后由求得，由求得．
【解答】（1）证明：连接，

与相切于点，
，
点为的中点，
，
；
（2）解：连接与交于点，连接，

是直径，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是运用相似三角形的知识解题．
25．【分析】（1）①根据图象直接得到，再求平均即可；
②符合题目要求的范围在直线的左边，直线以上，圈出即可；
（2）根据统计图数出落在各区间的频数，再与在直方图上表示的数对照即可求解；
（3）用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可．
【解答】解：（1）①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是，
故答案为：90，87.5；
②如图所示，符合题目要求的范围在直线的左边，直线以上，在图中圈出的就是所求．


（2）由统计图可以看出，第一次成绩的点有6个，的点有2个，的点有2个，的点有2个，的点有5个，的点有4个，
第二次成绩的点有4个，的点有3个，的点有1个，的点有1个，的点有5个，的点有6个，
作图正确．
故答案为：；

（3）400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：（人．
故答案为：180．
【点评】本题考查了看图知识，求平均数，频数分布直方图，解题的关键是掌握频数分布直方图知识．
26．【分析】（1）把点代入得出关于的方程，解方程求出的值，进而求出二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先求出一次函数的解析式，把点代入一次函数解析式得出，把点代入二次函数解析式得出，再由得出，即，利用二次函数的性质求出不等式的解集，即可得出的取值范围．
【解答】解：（1）将点代入得：，
解得：，
，
图象顶点的坐标为；
（2）一次函数的图象经过点，
，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
点在二次函数的图象上，
，
，
，即，
令，
当时，，
解得：，，
抛物线与轴交点为和，
抛物线开口项上，
的解为：，
的取值范围是．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解决问题的关键．
27．【分析】（1）由题意知，，三点重合，则，，含的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，，，然后求出比值即可；
（2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，，则，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用，表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用，表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用．，表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据与的数量关系判断与的位置关系即可．
【解答】解：（1），．理由如下：
由题意知，，，三点重合，
，，
，，
，，
，
，
点为线段的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，．
（2），的关系仍成立．
证明：如图，连接，作于，轴，过作交于，交于，

由题意可知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，
设，，
，，，，，，，，，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
．
【点评】本题属于三角形综合题，涉及勾股定理，中位线定理，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形等知识．计算比较复杂，作出正确的辅助线是解题关键．
28．【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）设点的等和点为，则，设，则点的等和点为，则，即可求；
（3）由题意可得点的等和点在直线上，点的等和点在直线上，设直线与轴的交点为，再由，可得点在以为圆心，半径为1的圆上，则点的等和点是两条直线，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，由的最小值为5，可得最小值为4，在△中，，可求，同理当点在轴左侧时，
【解答】解：（1），则，
是点的等和点；
，则，
不是点的等和点；
，则，
是点的等和点；
故答案为：，；
（2）设点的等和点为，
，
设，则点的等和点为，
，
，
；
（3），
点的等和点在直线上，
，
点的等和点在直线上，
设直线与轴的交点为，
，
点在以为圆心，半径为1的圆上，
点的等和点是两条直线，
以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，
的最小值为5，
最小值为4，
在△中，，
，
，
同理当点在轴左侧时，
．

【点评】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键．