2022北京密云初三（上）期末数学（教师版）

2022北京密云初三（上）期末

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一、选择题。（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的。

1．（2分）如果，那么下列比例式成立的是　　

A． B． C． D．

2．（2分）已知的半径为4，点在外部，则需要满足的条件是　　

A． B． C． D．

3．（2分）抛物线的对称轴是　　

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

4．（2分）在中，，，，则的值为　　

A． B． C． D．

5．（2分）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的处向前走了8米到达点处时，发现自己在地面上的影子的长是2米，则路灯的高为　　

A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米

6．（2分）如图，在中，、为上两点，是的直径，已知，则的度数为　　)

A． B． C． D．

7．（2分）如图所示的网格是正方形网格，，，，，，是网格线的交点，则的面积与的面积比为　　

A． B． C．2 D．4

8．（2分）如图，一个矩形的长比宽多，矩形的面积是．设矩形的宽为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是　　

A． B． C． D．

二、填空题。（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）如果，那么锐角的度数为　　．

10．（2分）点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是　　．（填“”，“ ”或“”

11．（2分）如图，正六边形内接于，若的周长为，则正六边形的边长为 　　．

12．（2分）请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式 　　．

13．（2分）已知扇形的圆心角为，其半径为3，则该扇形的面积为　　．

14．（2分）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．如图2，若量得支撑板长，，则点到底座的距离为 　　．（结果保留根号）

15．（2分）如图，，是的切线，，是切点．若，则　　．

16．（2分）如图，抛物线．将该抛物线在轴和轴上方的部分记作，将轴下方的部分沿轴翻折后记作，和构成的图形记作．

关于图形，给出如下四个结论：①图形关于轴成轴对称；②图形有最小值，且最小值为0；③当时，图形的函数值都是随着的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题。（共68分，其中17～22题每题5分，23～26题每题6分，27、28题每题7分）

17．（5分）计算：．

18．（5分）下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．

已知：在中，，平分交于点．

求作：，使．

作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，连接交于点；

②以点为圆心，的长为半径作；

③在劣弧上任取一点（不与点、重合），连接和．

所以．

根据小玟设计的尺规作图过程．

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接、．

，平分，

且．

．

是线段的垂直平分线，

　　．

．

为的外接圆．

点在上，

　　（填推理的依据）．

19．（5分）已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；

（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．

20．（5分）已知：如图，在中，，平分．

求证：．

21．（5分）如图，在中，，，为上一点，，．求的长．

22．（5分）如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，反比例函数的图象经过点，点是该函数图象上的一个动点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）当时，结合图象直接写出的取值范围．

23．（6分）在平行四边形中，为上一点，连接，为上一点，且．

（1）求证：；

（2）若，，，求线段的长．

24．（6分）从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，，，分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号）

25．（6分）如图，是的直径，弦于点，是的外角的平分线．

（1）求证：是的切线；

（2）连接并延长交于点，若的半径为2，，求的长．

26．（6分）在平面直角坐标系中，关于的二次函数与轴相交于点．

（1）当抛物线的图象经过点时，求该抛物线的表达式；

（2）求这个二次函数的对称轴（用含的式子表示）；

（3）若抛物线上存在两点，和，，其中，．当，时，总有，求的取值范围．

27．（7分）如图，在正方形中，点是边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作的垂线交延长线于点，连接．

（1）依据题意，补全图形；

（2）求的度数；

（3）连接交于点，若，用含的等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由．

28．（7分）在平面直角坐标系中，已知点和点．对于线段和直线外的一点，给出如下定义：点到线段两个端点的连线所构成的夹角叫做线段关于点的可视角，其中点叫做线段的可视点．

（1）在点、、中，使得线段的可视角为的可视点是 　　；

（2）为经过，两点的圆，点是上线段的一个可视点．

①当为的直径时，线段的可视角为 　　度；

②当的半径为4时，线段的可视角为 　　度；

（3）已知点为轴上的一个动点，当线段的可视角最大时，求点的坐标．

参考答案

一、选择题。（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的。

1．【分析】根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．

【解答】解：．因为，所以，故不符合题意；

．因为，所以，故符合题意；

．因为，所以，故不符合题意；

．因为，所以，故不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．

2．【分析】当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．

【解答】解：当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，

，

故选：．

【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：

①点在圆外

②点在圆上

①点在圆内

3．【分析】由抛物线的顶点式直接看出对称轴是直线．

【解答】解：抛物线的顶点式为，

对称轴是直线．

故选：．

【点评】要求熟练掌握抛物线解析式的各种形式的运用．

4．【分析】根据勾股定理求出，根据正切的定义解答即可．

【解答】解：在中，，，，

由勾股定理得，，

则，

故选：．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．

5．【分析】根据，得出，进而得出比例式求出即可．

【解答】解：由题意知，米，米，米，，

则米，

，

，即，

解得，

即路灯的高为8米；

故选：．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出是解决问题的关键．

6．【分析】求出，根据圆周角定理得出，代入求出答案即可．

【解答】解：，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了圆周角定理，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．

7．【分析】通过证明，可得，即可求解．

【解答】解：由题意可得：，，，，，，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．

8．【分析】根据已知可得矩形的长为，然后利用矩形的面积公式进行计算即可．

【解答】解：由题意得：

，

与满足的函数关系是：，

故选：．

【点评】本题考查了函数关系式，熟练掌握矩形的面积计算公式是解题的关键．

二、填空题。（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】根据角的余弦值等于解答．

【解答】解：，

锐角的度数为．

故答案为：．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记、、的三角函数值是解题的关键．

10．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点和点坐标代入反比例函数解析式可计算出，，从而可判断它们的大小．

【解答】解：点，是反比例函数图象上的两点，

，，

．

故答案为．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．

11．【分析】由正六边形内接于，由的直径得出的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果．

【解答】解：连接，，

正六边形内接于，的周长为，

的半径为4，

，

是等边三角形，

，

正六边形的边长为4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．

12．【分析】根据决定抛物线的开口方向，决定抛物线与轴的交点即可解答．

【解答】解：开口向上，

，

与轴交于点，

，

一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式为：，

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

13．【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可．

【解答】解：扇形的圆心角为，其半径为3，

．

故答案为：．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

14．【分析】作于，根据三角函数求出的长度即可．

【解答】解：作于，

，，

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角三角函数及其应用是解题的关键．

15．【分析】先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．

【解答】解：，是的切线，，是切点，

，，

，

，

．

故答案为．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．

16．【分析】画出翻折后的，然后根据图形即可判断．

【解答】解：①由图形可知，图形关于轴成轴对称，故正确；

②图形有最小值，且最小值为0，故正确；

③当时，图形的函数值先随着的增大而减小，当函数值为0后，再随的增大而增大，故③错误；

④当时，图形恰好经过，，，，共5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故④正确，

所以，①②④是正确的结论．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．

三、解答题。（共68分，其中17～22题每题5分，23～26题每题6分，27、28题每题7分）

17．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．

【解答】解：

．

【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

18．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；

（2）根据同弧所对圆周角相等，即可完成证明．

【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：连接、．

，平分，

且．

．

是线段的垂直平分线，

．

．

为的外接圆．

点在上，

（同弧所对圆周角相等）．

故答案为：，同弧所对圆周角相等．

【点评】本题考查了作图复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

19．【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；

（2）利用描点法画出二次函数图象即可．

【解答】解：（1）

；

（2），

顶点坐标为，对称轴方程为．

函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，，

其图象为：

【点评】本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键．

20．【分析】根据，平分可以求出，然后证明：．

【解答】证明：，平分，

，

又，

，

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，准确识图比较重要，也考查了学生的识图能力．

21．【分析】根据已知条件求出，再根据正弦的定义求出，再根据勾股定理求出，最后根据求出的长

【解答】解：，，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是直角三角形的性质、正弦的定义、勾股定理，关键是根据题意求出的长．

22．【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式；

（2）利用函数图象和反比例函数的性质解决问题．

【解答】解：（1）设反比例函数解析式，

把代入得，

所以反比例函数的解析式为；

（2）当时，的取值范围为．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设反比例函数解析式为常数，，然后把一组对应值代入求出得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数的性质．

23．【分析】（1）根据平行四边形的性质即可证明结论；

（2）过点作延长线于点，结合（1），可得，所以，设，则，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题．

【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，

，．

，，

，

；

（2）如图，过点作延长线于点，

，

，

，

设，则，

，

，

，

，，

，

，

．

【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题关键．

24．【分析】根据方向角的定义构造直角三角形，在中求出、，在中求出，进而求出即可．

【解答】解：如图，由于方向为东西方向，为南北方向，因此，垂足为，

由方向角的定义可知，，，公里，

在中，，，

，

在中，，，

，

公里，

答：此时独象距离象群公里．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握方向角的定义以及直角三角形的边角关系是解决问题的关键．

25．【分析】（1）要证明是的切线，只要求出即可；

（2）根据已知可得，，然后再证明，最后证明是等边三角形即可解答．

【解答】（1）证明：是的直径，弦于点，

，

，

，，

，

是的外角的平分线，

，

，

是圆的半径，

是的切线；

（2），，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等边三角形，

．

【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．

26．【分析】（1）把和分别代入解析式，解答即可；

（2）根据对称轴为直线计算即可；

（3）把坐标代入解析式后进行代换，保留，后进行作差，因式分解，解不等式求解．

【解答】解：（1）把和分别代入解析式，

，解得，

抛物线的解析式为：．

（2）二次函数的对称轴为直线：，

（3），和，是二次函数上的两点，

，，

，，

，，

①，②，

①②得，，

，

，

，，，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查了二次函数的解析式，对称轴的性质，不等式的性质，熟练掌握待定系数法，对称轴的公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质是解题的关键．

27．【分析】（1）根据已知补全图形即可；

（2）由四边形是正方形，得，，而，可证明，即得是等腰直角三角形，故；

（3）过作于，过作于，根据四边形是正方形，可得是等腰直角三角形，从而，由，可知，，即得，，故．

【解答】解：（1）补全图形如下：

（2）四边形是正方形，

，，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

；

（3）过作于，过作于，如图：

四边形是正方形，

，

是等腰直角三角形，

，

，，，

四边形是正方形，

，

，，

，，

，

，，

，，

而，

，即．

【点评】本题考查四边形综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，相似三角形的判定及性质等，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形转化线段比．

28．【分析】（1）以为底作等腰直角三角形，以直角顶点为圆心，直角边为半径作圆，则、两点与优弧上点形成的角是的可视角的可视点；

（2）①是直径，可视角是；

②半径是4时，圆心和、两点形成的是等边三角形，圆心角是，故可视角是；

（3）当是最大时，过两点的圆与轴相切，进而可求得结果．

【解答】解：（1）如图1，

以为底在轴作等腰和，以和为圆心，为半径作和，

当点在优弧上或上时，线段的可视角是，

此时，点，，

因为点在圆外，所以点不是的可视角为的可视点，

，

点是的可视角为的可视点，

，

点不是的可视角为的可视点，

故答案是：；

（2）①是直径，

，

②，

，

，

故答案是：，；

（3）如图2，

（3）作的外接圆，作直径，连接，

，

，

，

，

当最小时，最大，即最大，

点在上，

当和轴相切时，最大，

此时，连接，作于，

轴，

，

在中，，，

，

，

或．

【点评】本题是新定义理解题，考查了圆周角定理及其推论，圆的切线性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是确定最大时，是的外接圆与轴相切．