2022北京通州初三（上）期末数学（教师版）

2022北京通州初三（上）期末

数    学

一、选择题。（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）已知二次函数的图象如图所示，关于，的符号判断正确的是　　

A．， B．， C．， D．，

2．（2分）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是　　

A． B． 

C． D．

3．（2分）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是　　

A． B． C． D．

4．（2分）如图，点，，均在上，连接，，，，如果，那么的度数为　　

A． B． C． D．

5．（2分）如图，在中，为的中点，、交于点，则的值为　　

A．1 B． C． D．

6．（2分）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，，则等于　　

A．6 B．4 C． D．3

7．（2分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直距离为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

8．（2分）某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图象，那么她所选择的轴和轴分别为直线　　

A．， B．， C．， D．，

二、填空题。（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

9．（2分）如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点处观测，当量角器的0刻度线对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是　　．

10．（2分）如图，在中，，，在同一平面内，点到点，，的距离均等于为常数）．那么常数的值等于 　　．

11．（2分）在中，，，，那么的长为 　　．

12．（2分）已知，，，两点都在抛物线上，那么　　．

13．（2分）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．如果他的眼睛到地面的距离，同时量得他到平面镜的距离，平面镜到旗杆的底部的距离，那么旗杆高度　　．

14．（2分）如图，过点作平行于轴的直线分别交抛物线与于、两点，那么线段的长是 　　．

15．（2分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为　　．

16．（2分）如图，的两条中线，交于点．某同学得出以下结论：

①；

②；

③；

④．

其中结论正确的是：　　（只填序号）．

三、解答题。（本题共68分，第17～18题，每小题5分，第19～23题，每小题5分，第24～27题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．

求此二次函数的表达式及顶点的坐标．

18．（5分）如图，在中，，，．求，和．

19．（6分）如图，，点、分别在、上，且．

（1）尺规作图：作的角平分线，与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求证：．

20．（6分）已知关于的二次函数．

（1）如果二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），且，求的值；

（2）若对于每一个值，它所对应的函数值都不小于1，求的取值范围．

21．（6分）已知：，是直线上的两点．

求作：，使得点在直线上方，且，．

作法：

①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线上方交于点，在直线下方交于点；

②以点为圆心，长为半径画圆；

③作直线与直线上方的交于点；

④连接，．

就是所求作的三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接，．

，

是等边三角形．

．

，，在上，

　　（填推理的依据）．

．

由作图可知直线是线段的垂直平分线，

　　（填推理的依据）．

就是所求作的三角形．

22．（6分）如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接．求证：．

23．（6分）已知一个二次函数的表达式为．

（1）当时，若，两点在该二次函数图象上，求的值；

（2）已知点，，二次函数的图象与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．

24．（7分）如图，是的内接三角形，，，连接并延长交于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．

（1）求证：；

（2）若，求线段的长．

25．（7分）二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在二次函数的图象上．

（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；

（2）二次函数的对称轴是直线 　　；

（3）已知点，，在二次函数的图象上．若，比较，，的大小，并说明理由．

26．（7分）如图，为四边形内一点，为的中点，，，．

（1）若，，求的长；

（2）用等式表示线段和之间的关系，并证明．

27．（7分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，称线段长度的最小值为图

形，的“近距离”，记为，特别地，若图形，有公共点，规定．

已知：如图，点，．

（1）如果的半径为2，那么　　，　　；

（2）如果的半径为，且，求的取值范围；

（3）如果是轴上的动点，的半径为1，使，直接写出的取值范围．

参考答案

一、选择题。（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．【分析】根据抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置求解．

【解答】解：抛物线开口向上，

，

抛物线与轴交点在轴下方，

，

故选：．

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标与系数的关系．

2．【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的的正切值可得答案．

【解答】解：．观察图形可得，不符合题意；

．观察图形可得，符合题意；

．观察图形可得，不符合题意；

．观察图形可得，不符合题意．

故选：．

【点评】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．

3．【分析】直接利用弧长公式求出即可．

【解答】解：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是，

故选：．

【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．

4．【分析】根据垂直求出，根据圆周角定理得出，再代入求出答案即可．

【解答】解：，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了垂直定义和圆周角定理，能根据圆周角定理得出是解此题的关键．

5．【分析】根据平行四边形的性质可得，然后证明即可解决问题．

【解答】解：四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

6．【分析】连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，证明，根据等腰三角形的判定定理解答即可．

【解答】解：如图，连接，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

7．【分析】在△中，利用正弦的定义可得出，进而可得出米．

【解答】解：在△中，米，，，

，

（米．

故选：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦的定义是解题的关键．

8．【分析】由已知求得顶点坐标为，再结合，即可确定坐标轴的位置．

【解答】解：，

顶点坐标为，

，

抛物线与的交点为顶点，

为轴，

，

为轴，

故选：．

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键．

二、填空题。（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

9．【分析】过点作，根据题意可得，进而可得，即可得此时观测旗杆顶端的仰角度数．

【解答】解：根据题意可知：如图，

过点作，

，

，

，

答：此时观测旗杆顶端的仰角度数是．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角和俯角定义．

10．【分析】根据直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点处，进行解答即可．

【解答】解：在同一平面内，点到点，，的距离均等于为常数），

，

是直角三角形，，，

，

常数的值等于：5，

故答案为：5．

【点评】本题考查了三角形外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点处，是解题的关键．

11．【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．

【解答】解：在中，，，，

，

故答案为：6．

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．

12．【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到，解得．

【解答】解：，，，两点都在抛物线上，

抛物线的对称轴为直线，

，

故答案为：4．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．

13．【分析】根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．

【解答】解：，，

，

，

，

，

，

，

故答案为：12．

【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．

14．【分析】根据点的坐标依次求出、的坐标，从而求得的长．

【解答】解：点，

把代入得，

解得：，

，

把代入得，

解得：，

，

，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标的特征，求得各个点的坐标是解题的关键．

15．【分析】过点作半径于，如图，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长．

【解答】解：过点作半径于，如图，

，

在中，，

，

答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．

16．【分析】先判断为的中位线，则利用三角形中位线性质可对①进行判断；根据利用三角形相似的判定方法可对②进行判断；接着根据平行线分线段成比例定理得到，则利用三角形面积公式可对③进行判断；利用比例的性质可对④进行判断．

【解答】解：和为的中线，

为的中位线，

，所以①正确；

，所以②正确；

，

，

，

，所以③错误；

，

，即，所以④正确．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查了三角形的重心：重三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．

三、解答题。（本题共68分，第17～18题，每小题5分，第19～23题，每小题5分，第24～27题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．【分析】把、的坐标代入，根据待定系数法即可求得一般式，化成顶点式即可求得顶点坐标．

【解答】解：二次函数的图象经过点，；

，

解得：，

，

，

顶点的坐标为．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．

18．【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．

【解答】解：在中，，，．

，

，

，

．

【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．

19．【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据角平分线定义和相似三角形的判定定理即可得到结论．

【解答】解：（1）如图所示，线段即为所求；

（2），

，

平分，

，

是的一个外角，

，

．

，

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，作图基本作图，角平分线定义，三角形的内角和定理，正确的作出图形是解题的关键．

20．【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线可求出对称轴为直线，从而求出点，的坐标，进而求解．

（2）将代入抛物线解析式可得函数值最小值为，进而求解．

【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为直线，

，两点在轴上（点在点的左侧），且，

，．

把点代入中得，

．

（2）对称轴为直线，把代入中得，

抛物线顶点坐标为，

抛物线开口向上，

函数最小值为，

由题意得，

．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数与方程的关系．

21．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；

（2）根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．即可完成证明．

【解答】解：（1）如图所示：即为补全的图形；

（2）证明：连接，．

，

是等边三角形．

．

，，在上，

（同弧所对圆周角等于圆心角的一半）．

．

由作图可知直线是线段的垂直平分线，

（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．

同弧所对圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

【点评】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．

22．【分析】根据垂径定理得到，则，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，等量代换得到，再根据等角对等边即可得解．

【解答】证明：为的直径，点是弦的中点，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．

23．【分析】（1）将代入二次函数解析式求出对称轴，根据抛物线对称性求解．

（2）由可得抛物线与轴交点坐标为，，分类讨论点不在线段上，或与重合．

【解答】解：（1）当时，二次函数表达式为，

对称轴为直线，

，两点在该二次函数图象上，

，

．

（2），

抛物线与轴交点坐标为，，

点在线段上，

不在线段上，或与重合，

或或．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的交点式与函数图象的关系．

24．【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理证明结论；

（2）过点作交于，根据正方形的性质求出，根据正弦的定义计算即可得出答案．

【解答】（1）证明：连接，

是的切线，

，

，，

，

，

；

（2）解：过点作交于点，

，，

，

，

，

，

，

，，，

四边形是正方形，

，

，

，

在中，

，

．

【点评】本题考查的是切线的性质，正方形的性质，锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解此题的关键．

25．【分析】（1）求出点的坐标为，由平移的性质可得出点坐标；

（2）由抛物线的对称性质可得出答案；

（3）由二次函数的性质可得出答案．

【解答】解：（1）令，

，

点的坐标为，

将点向右平移4个单位长度，得到点，

点的坐标为．

（2）点的坐标为，．

，

二次函数的对称轴是直线；

故答案为：；

（3）对称轴是直线，，

点，在对称轴的左侧，

点在对称轴的右侧，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律及二次函数的性质是解题的关键．

26．【分析】（1）通过证明，可得，即可求解；

（2）如图，延长到点，使得，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，，由“”可证，可得，可得结论．

【解答】（1）解：，，

，

，

，为的中点，

，

，

，（不合题意舍去），

；

（2）解：线段和的数量关系是，理由如下：

如图，延长到点，使得，连接，，

，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

27．【分析】（1）根据点在上，点在外，可得答案；

（2）过点作于点，根据含角的直角三角形的性质得，由，只要与线段有公共点即可；

（3）当点在点的右侧时，则，，得；当点在点的左侧时，得，则；当点与点重合时，，从而解决问题．

【解答】解：（1）的半径为2，，，

，，

点在上，点在外，

，，

故答案为：0，；

（2）过点作于点，

在中，

，

；

在中，，

，

，

的取值范围是；

（3）如图，过点作于点，

，，

，，

，

，

，

当点在点的右侧时，，

，

，

，的半径为1，

，

，

当点与点重合时，，

此时，

当点在点的左侧时，，

，

，

，

，

综上所述：．

【点评】本题是圆的综合题，属于新定义题，主要考查了直线与圆的位置关系，三角函数等知识，根据点与点的位置，进行分类讨论，从而列出的不等式是解题的关键．