2022北京四中初三（下）3月月考数学（教师版）

这是一份2022北京四中初三（下）3月月考数学（教师版），共37页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2022北京四中初三（下）3月月考
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图，下列水平放置的几何体中，从上面看是矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
3. 2019年4月10日，天文学家召开全球新闻发布会，发布首次直接拍摄到的黑洞照片，这颗黑洞位于代号为的星系当中，距离地球5500万光年，质量相当于65亿颗太阳，太阳质量大约是千克，那么这颗黑洞的质量约是（ ）
A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克
4. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（　　）

A. 35° B. 70° C. 85° D. 95°
5. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（　　）
A. B. C. D.
6. 如果，那么代数式的值为（ ）
A. 12 B. 6 C. 2 D.
7. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（ ）

A. B.
C. D.
8. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y =+c上，其中y2=a + c．下列说法正确的是（ ）
A. 若|x1 - x2|≤|x3 - x2|，则y2 ≥ y3 ≥ y1
B. 若|x1 - x2|≥|x3 - x2|，则y2 ≥ y3 ≥ y1
C. 若y1＞ y3 ≥ y2，则|x1 - x2|＜|x2 - x3|
D. 若y1＞ y3 ≥ y2，则|x1 - x2|＞|x2 - x3|
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 如图所示网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）．

10. 写出一个满足的整数的值为_____．
11 分解因式：____________．
12. 如图，在中，，，则__________°．

13. 盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是．
（1）用含的式子表示____________；
（2）与满足___________函数关系．（从“一次”函数，“反比例”函数，“二次函数”中选一个）
14. 如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为___________．

15. 如图，在四边形纸片中，，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为，若，则的长为___________．

16. 为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确实其中感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为8，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出，需要经过4轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．

（1）的值为___________；
（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值___________；
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
18. 计算
19. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
20. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．

求作：直线PE，使得PE∥BC．
作法：如图2．
①在直线BC上取一点A，连接PA；
②作∠PAC的平分线AD；
③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；
④作直线PE．
所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD．
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝　 　，
∴∠PEA＝　 　，
∴PE∥BC．（　 　）（填推理依据）．
21. 已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.
22. 如图，在▱ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC=DEC，连接CF，DE．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）如果AB=13，DF=14，tan∠DCB=，求CF的长．

23. 有这样一个问题：
如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.

小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令，，

设的内切圆分别与相切于点，的长为
根据切线长定理，得，，
根据勾股定理得，
整理，得
所以

请你参考小冬的做法.
解决以下问题：
（1）当时，求的面积；
（2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 .
24. 如图，直线与双曲线交于两点，点坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．

（1）直接写出的值和点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值．
26. 如图，△ABC内接于以AB为直径⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．

（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，sinB，求EF长．
27. 品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎．节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：
a．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分：

b．丙参加比赛的得分统计图如下：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知点A的坐标为，则此轮比赛中：甲的得分为_________，与甲同场答题的百人团中，有_______人答对；
（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有________轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为_______；
（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，则________（填“＞”，“＜”或“＝”）．
28. 已知，二次函数的图象为抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴垂线，交抛物线于点，分别作关于各自抛物线对称轴的对称点，连接，当为正方形时，求的值．
（3）抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个整点，直接写出的取值范围．
30. 如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，求∠CAM的度数．

31. 对于平面直角坐标系上的点与图形，给出如下定义：若图形上有一点，使得，且以为旋转中心，把点顺时针旋转90°后的对应点也在图形上，则称点为图形的“初心点”；例如：如图1，给出点与轴，过点作轴于点，则可得点的坐标为，此时，且使点绕点顺时针旋转90°后得到的对应点也在轴上，因此点为轴的“初心点”．


（1）如图2，已知点，，，，，，，．
①点，，，，，中，为线段的“初心点”的是____；
②已知反比例函数，若该反比例函数图象上只有1个点为线段的“初心点”，求的取值范围；
（2）如图3，已知点为轴上的一个动点，以为圆心的半径长为，以，为端点的线段上同时存在2个点为的“初心点”，求的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图，下列水平放置的几何体中，从上面看是矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形，据此逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故此选项不合题意；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项不符合题意；
D、长方体的俯视图是矩形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可．
【详解】解：由题意得：

A错误，B错误，C错误，D正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
3. 2019年4月10日，天文学家召开全球新闻发布会，发布首次直接拍摄到的黑洞照片，这颗黑洞位于代号为的星系当中，距离地球5500万光年，质量相当于65亿颗太阳，太阳质量大约是千克，那么这颗黑洞的质量约是（ ）
A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解．
4. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（　　）

A. 35° B. 70° C. 85° D. 95°
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再据角平分线定义求得∠BAD的度数，最后求得∠ADB度数．
【详解】在△ABC中：
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B＝60°，∠C＝50°
∴∠BAC=；
又∵AD平分∠BAC
∴
在△BAD中：
∵∠B+∠ADC+∠BAD=180°
∴∠ADB=．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线意义．灵活运用三角形内角和定理、角平分线意义进行角的计算是解题关键．
5. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（　　）
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别求出∠α、∠β关系，做出判断即可.
【详解】解：A. ∠α、∠β互余,不合题意；
B.根据根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，符合题意；
C. ∠α=60°，∠β=75°，不合题意；
D. ∠α=45°，∠β=60°，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了互为余角的意义.掌握同角的余角相等是解题的关键.
6. 如果，那么代数式的值为（ ）
A. 12 B. 6 C. 2 D.
【6题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先根据分式的运算法则化简代数式，再将代入求值即可．
【详解】解：原式


，
∵
∴原式．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
7. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（ ）

A. B.
C. D.
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．
详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
8. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y =+c上，其中y2=a + c．下列说法正确的是（ ）
A. 若|x1 - x2|≤|x3 - x2|，则y2 ≥ y3 ≥ y1
B. 若|x1 - x2|≥|x3 - x2|，则y2 ≥ y3 ≥ y1
C. 若y1＞ y3 ≥ y2，则|x1 - x2|＜|x2 - x3|
D. 若y1＞ y3 ≥ y2，则|x1 - x2|＞|x2 - x3|
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】可确定抛物线的顶点坐标为，即，分a>0与a0时，，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；当a0时，，顶点B为最高点，则最大
当|x1 - x2|≤|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不超过C点离对称轴的距离，则
∴
当a0时，，顶点B为最高点，则最大
当|x1 - x2|≥|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不小于C点离对称轴的距离，则
∴
当a