2022北京四中初三（下）4月月考数学（教师版）

这是一份2022北京四中初三（下）4月月考数学（教师版），共36页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2022北京四中初三（下）4月月考
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 有人说2021年12月2日是世界完全对称日．事实上，世界完全对称日更严谨的叫法是“回文日”．将年月日表示为YYYYMMDD的形式，如果倒过来写成DDMMYYYY，和原先的数相同，则称该日期为回文日期．将2021年的回文日用下图表示，则该图形为（ ）

A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，不是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为，则数所对应的点在线段（ ）上．

A. B. C. D.
4. 从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是( )

A. B.
C. D.
5. 如果，那么代数式的值为
A. B. C. D.
6. 现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题有（ ）个．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7. 如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．


A. 六 B. 八 C. 十 D. 十二
8. 如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于A，B两点．若A，B两点间的距离为m，n是m的函数，且表示n与m的函数关系的图象大致如图2所示，则n可能为（　　）

A. PA+AB B. PA-AB C. D.
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 如果实数m，n满足方程组，那么=______．
11. 与 最接近的自然数是 ________．
12. 一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是___________．
13. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．
14. 已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是 _____．
15. 为了传承中华文化，激发学生的爱情怀，提高学生的文学素养（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小奕同学第三轮的得分为 ___分．

第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小恩
a


a


27
小地

a


b
c
11
小奕

b

b


10

16. 已知n行n列的数表中，对任意的，都有或1．
若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记表A中所有的和记为．
（1）若数表，其中典型表是_________；
（2）的最小值为________．
三．解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
19. 下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点A，如图1．


求作：，使得．
作法：如图2．
①在直线l上取点D；
②分别以点A，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，E（B在E的上方）；
③作直线，交直线l于点C；
④连接，
就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接．
∵；
∴是等边三角形．
∴．
∵________，
∴四边形是菱形．
∴（________）（填推理的依据）．
∴．
∴（_____________）（填推理的依据）．
∴．
20. 已知，求代数式的值．
21. 某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.

23. 如图，在平面直角坐标系中，函数图象经过点，直线与x轴交于点．
（1）求的值；
（2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D．
①当时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；
②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

24. 如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，时，求的长．

25. 某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长频数分布统计表如表1所示（不完整）：
甲试验田穗长频数分布表（表1）
分组/cm
频数
频率
4.5≤x5
4
0.08
5≤x5.5
9
0.18
5.5≤x6

n
6≤x65
11
0.22
6.5≤x7
m
0.20
7≤x7.5
2

合计
50
1.00
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：

c．乙试验田穗长在6≤x6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.924
58
5.8
0.454
乙
5.924
w
6.5
0.608
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中m的值为　 　，n的值为　 　；
（2）表2中w的值为　 　；
（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是　 　；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是　 　；
A．甲 B．乙 C．无法推断
（4）若穗长在5.5≤x7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为　 　万个．
26. 在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．
（1）当y0＝﹣1时，求m的值．
（2）求y0的最大值．
（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是　　．
（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
27. 如图，已知，EF为射线OM上一长度为定值的动线段（点E不与点O重合），EF的垂直平分线交射线ON于点A，交射线OM于点D，连接AF，过点E作AF的垂线，垂足为B，延长BE交ON的反向延长线于点C．

（1）依题意补全图形，证明：；
（2）用等式表示线段OC，OA和OF的关系，并证明；
（3）若，作，G在射线ON上．在线段EF的运动过程中，判断是否为定值，若是，直接写出该定值，若不是，说明理由．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的倍相关圆.
例如，在如图1中，点的1倍相关圆为以点为圆心，2为半径的圆.

（1）在点中，存在1倍相关圆的点是________，该点的1倍相关圆半径为________.
（2）如图2，若是轴正半轴上动点，点在第一象限内，且满足，判断直线与点的倍相关圆的位置关系，并证明.
（3）如图3，已知点，反比例函数的图象经过点，直线与直线关于轴对称.
①若点在直线上，则点的3倍相关圆的半径为________.
②点在直线上，点的倍相关圆的半径为，若点在运动过程中，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出的最大值.


参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 有人说2021年12月2日是世界完全对称日．事实上，世界完全对称日更严谨的叫法是“回文日”．将年月日表示为YYYYMMDD的形式，如果倒过来写成DDMMYYYY，和原先的数相同，则称该日期为回文日期．将2021年的回文日用下图表示，则该图形为（ ）

A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，不是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】C
【解析】
【详解】由图可知，该图形不是轴对称图形，是中心对称图形
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念，即把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将0.00000201表示成的形式，其中，，进而可得结果．
【详解】解：将0.00000201表示成的形式，其中，为负整数
∵ ，
∴0.00000201表示成
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于求出的值．
3. 如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为，则数所对应的点在线段（ ）上．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意表示出AE、AB的长，再求出与AB的倍数关系，即可判断数所对应的点在哪段线段上．
【详解】 A点表示数为10，E点表示的数为







在AB段
故选：A
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离以及数轴上数的表示，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
4. 从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是( )

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从正面看两个直角三角形，即可得出答案.
【详解】从正面看图2的几何体，看到的平面图形是两个直角三角形.
故选D.
【点睛】此题主要考查的是从不同方向看几何体，题目比较简单，通熟练掌握简单的几何体的观察方法是解决本题的关键.
5. 如果，那么代数式的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把整体代入即可.
详解：原式，
∵，
∴原式．
故选A.
点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
6. 现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题有（ ）个．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、不等式的性质和开平方运算判断即可．
【详解】①若，则，原命题是假命题；
②若，则，是真命题；
③若，则或，原命题是假命题；
综上，真命题有②
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，涉及幂的乘方、不等式的性质和开平方运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．


A. 六 B. 八 C. 十 D. 十二
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴,，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．
8. 如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于A，B两点．若A，B两点间的距离为m，n是m的函数，且表示n与m的函数关系的图象大致如图2所示，则n可能为（　　）

A. PA+AB B. PA-AB C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】;设A( ,0)，B( ,0)，则m=|−|=(x1+x2)2-4x1x2=b2+4c
∵顶点P(,)
∴顶点P纵坐标为
∴PA=
∵PA+AB=
PA−AB=


由图2可知,n可能是
故选：C
点睛:本题考查了抛物线与x轴交点，根与系数等知识，首先用m表示出PA,写出PA+PB，PA-AB，，根据图象来判断，解题关键是会用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】x＞3，
【解析】
【分析】根据分式和二次根式的定义，列式运算求解即可．
【详解】解：由题意得，2x﹣6＞0，
解得，x＞3，
故答案为：x＞3．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的取值，熟悉掌握分式和二次根式的定义是解题的关键．
10. 如果实数m，n满足方程组，那么=______．
【答案】1
【解析】
【分析】方程组中的两个方程相减可得，然后整体代入所求式子计算即可．
【详解】解：对方程组，①－②，得，
所以．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和代数式求值，灵活应用整体的思想是解题的关键．
11. 与 最接近的自然数是 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据得到，进而得到，因为14更接近16，所以最接近的自然数是2．
【详解】解：，可得，
∴，
∵14接近16，
∴更靠近4，
故最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．
12. 一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：画树状图如下：

由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，
∴抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为，
故选：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．
【答案】（0，12）或（0，﹣12）
【解析】
【详解】试题分析：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）.
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，

则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=.
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=∠BPA=45°，则点C即为所求.
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=，
由勾股定理得：，
∴OC=OF+CF=5+7=12.
∴点C坐标为（0，12）.
（2）如答图2所示，根据圆满的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）.

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）.
14. 已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是 _____．
【答案】m≤1
【解析】
【分析】所给的一元二次方程中二次项的系数时一个字母，要根据字母的取值进行讨论，当m=0，m<0，m>0三种不同的情况进行讨论，得到结果．
【详解】解：①当m=0时，y=-3x+1．令y=0，则-3x+1=0，
得．
∵，
∴；
②当m<0时，令x=0，则y=1，即当二次函数的y=mx2+（m-3）x+1图象向下时，该抛物线与y轴交于正半轴，
所以方程mx2+（m-3）x+1=0有一正一负两个根，符合题意；
③当m>0，则，
解得，0 综上所述，得m≤1．
故答案为：m≤1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要分类讨论，以防漏解或错解．
15. 为了传承中华文化，激发学生的爱情怀，提高学生的文学素养（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小奕同学第三轮的得分为 ___分．

第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小恩
a


a


27
小地

a


b
c
11
小奕

b

b


10

【答案】2
【解析】
【分析】根据三维同学的最后得分情况列出关于，，的等量关系式，然后结合且，，均为正整数确定，，的值，从而确定小奕同学第三轮的得分．
【详解】解：由题意可得：，
，
，，均为正整数，
若每轮比赛第一名得分为4，则最后得分最高的为，
必大于4，
又，
最小取3，
，
，，，
小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；
小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；
又表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，
第二轮比赛中小恩第二，
第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，
小奕的第三轮比赛得2分，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．
16. 已知n行n列的数表中，对任意的，都有或1．
若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记表A中所有的和记为．
（1）若数表，其中典型表是_________；
（2）的最小值为________．
【答案】 ①. C ②. 13
【解析】
【分析】（1）有题意典型表的定义，结合给定的数表判断即可；
（2）根据题设及给定数表可表示出5行5列的数表A，即可得到答案．
【详解】（1）对于数表B有 ，
而，
数表B不为典型表；
对于数表C有 ，
总有
数表C为典型表；
故答案为：C；
（2）要使最小，即典型表A中的“1”最少或
则或，
则有的最小值为13
故答案为：13．
【点睛】本题考查数字类规律，能准确理解题意且根据题意得出一定的规律是解题的关键．
三．解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值，二次根式的性质化简，特殊角三角函数值，负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了绝对值，二次根式的性质化简，特殊角三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为：，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
所以，不等式组的解集为：，
将不等式组的解集在数轴上表示为：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
19. 下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点A，如图1．


求作：，使得．
作法：如图2．
①在直线l上取点D；
②分别以点A，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，E（B在E的上方）；
③作直线，交直线l于点C；
④连接，
就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接．
∵；
∴等边三角形．
∴．
∵________，
∴四边形是菱形．
∴（________）（填推理的依据）．
∴．
∴（_____________）（填推理的依据）．
∴．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）按照题目要求作图即可；
（2）先证是等边三角形．得到．再证四边形是菱形．得到得到，即可推出．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；

【小问2详解】
证明：连接．
∵；
∴是等边三角形．
∴．
∵ED，
∴四边形是菱形．
∴（菱形的性质）（填推理的依据）．
∴．
∴（直角三角形两锐角互余）（填推理的依据）．
∴．

【点睛】本题主要考查了尺规作图—作三角形，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，直角三角形两锐角互余等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20. 已知，求代数式的值．
【答案】1.
【解析】
【详解】试题分析：将化为，整体代入化简后的代数式即可.
∵
∴
∵
∴当时，原式=1
考点：1.代数式求值；2.整体思想的应用．
21. 某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
【答案】甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元
【解析】
【分析】设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，
依题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40（元），
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是设出未知数，根据题目中的等量关系列出方程，注意：分式方程要检验．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【详解】（1）由四边形ABCD为平行四边形得出AD//BC，证得△BEF∽△DAF即可得出结论；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB、DF 即可得到AD的长.
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD
∵点E为BC的中点
∴BE=BC=A D
∵AD//BC,∴△BEF∽△DAF
∴
∴DF=2BF
（2）解：∵CD=
∴AB=CD=
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°

∴设AF=x，则BF=2x
∴AB = =， x =
∴x=1，AF=1，BF=2
∵DF=2BF
∴DF=4
∴ AD = =.
23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与x轴交于点．
（1）求的值；
（2）过第二象限点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D．
①当时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；
②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【答案】（1）．（2）①判断：．理由见解析；②或．
【解析】
【分析】（1）利用代点法可以求出参数 ；
（2）①当时，即点P的坐标为，即可求出点的坐标，于是得出；
②根据①中的情况，可知或再结合图像可以确定的取值范围；
【详解】解：（1）∵函数的图象经过点，
∴将点代入，即 ，得：
∵直线与轴交于点，
∴将点代入，即 ，得:
(2)①判断： ．理由如下：
当时，点P的坐标为，如图所示：

∴点C的坐标为 ，点D的坐标为
∴ ， ．
∴．
②由①可知当时
所以由图像可知，当直线往下平移的时也符合题意，即 ，
得；
当时，点P的坐标为
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为
∴ ，
∴
当 时，即，也符合题意，
所以 的取值范围为：或 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数，熟练求反比例函数和一次函数解析式的方法、坐标与线段长度的转化和数形结合思想是解题关键.
24. 如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，时，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）BP=．
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论；
（2）根据切线的判定定理得到是切线，求得，连接，得到，根据平行线分线段长比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论．
【详解】解：（1）连接，
，
，
，
，
是的直径，

，
，
又，
，
是切线；
（2），为半径．
是切线，
，
连接和交于
由切线长定理可得:
在和中：

，
在和中：

，
，
，
，
，
，
是的中点，且
是的中位线，
，

，，
，
，
．

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25. 某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
甲试验田穗长频数分布表（表1）
分组/cm
频数
频率
4.5≤x5
4
0.08
5≤x5.5
9
0.18
5.5≤x6

n
6≤x65
11
0.22
6.5≤x7
m
0.20
7≤x7.5
2

合计
50
1.00
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：

c．乙试验田穗长在6≤x6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.924
5.8
5.8
0.454
乙
5.924
w
6.5
0.608
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中m的值为　 　，n的值为　 　；
（2）表2中w的值为　 　；
（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是　 　；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是　 　；
A．甲 B．乙 C．无法推断
（4）若穗长在5.5≤x7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为　 　万个．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）由频数等于频率乘以数据的总数可得的值，先求解5.5≤x6这组的频数，再利用频数除以数据的总数可得的值，从而可得答案；
（2）由乙组一共有个数据，排在最中间的数据为第个数据，而第个数据落在6≤x6.5这一组，把这一组的数据按从小到大重新排列为：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3， 6.3，6.3， 6.4，6.4，所以第个数据为： 再按照中位数的概念可得答案；
（3）由中位数的含义可判断穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田，由方差的含义可判断稻穗生长（长度）较稳定的试验田，从而可得答案；
（4）先穗长在5.5≤x7范围内的稻穗占比： 再利用样本估计总体可得甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．
【详解】解：（1）由表格中的数据可得：
所以：5.5≤x6这组的频数为：

故答案为：
（2）由乙组一共有个数据，排在最中间的数据为第个数据，
而第个数据落在6≤x6.5这一组，
把这一组的数据按从小到大重新排列为：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3， 6.3，6.3， 6.4，6.4，
所以第个数据为：
所以
故答案为：
（3）由甲组的中位数是 乙组的中位数为
所以穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，
由甲组的方差是 乙组的方差为
而＜
所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，
故选：
（4）由穗长在5.5≤x7范围内的稻穗占比：
所以：甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．
故答案为：
【点睛】本题考查的是频数分布表，频数直方图，频数与频率，中位数与方差的含义，利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．
（1）当y0＝﹣1时，求m的值．
（2）求y0的最大值．
（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是　　．
（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）或﹣1；（2）；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞或≤m＜1
【解析】
【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；
（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；
（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；
（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，

∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），
此时最底点P（m，﹣m2+m），
由题意﹣m2+m＝﹣1，
解得m＝或（舍弃），
当m＝0时，显然不符合题意，
当m＜0时，如图2中，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），
此时最底点P是纵坐标为m，
∴m＝﹣1，
综上所述，满足条件的m的值为或﹣1；
（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴m＝时，y0的最大值为，
当m＝0时，y0＝0，
当m＜0时，y0＜0，
综上所述，y0的最大值为；
（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，
当抛物线顶点x轴上时，4m2﹣4m＝0，
∴m＝1或0（舍弃），
∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，
故答案为0＜x1＜1；
（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，
当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，

当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，

观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．
则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，
解得m＞，
或﹣m≤2m﹣2＜0，
解得≤m＜1（不合题意舍弃），
当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．

即或﹣m≤2m﹣2＜0，
解得≤m＜1，
综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞或≤m＜1．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
27. 如图，已知，EF为射线OM上一长度为定值的动线段（点E不与点O重合），EF的垂直平分线交射线ON于点A，交射线OM于点D，连接AF，过点E作AF的垂线，垂足为B，延长BE交ON的反向延长线于点C．

（1）依题意补全图形，证明：；
（2）用等式表示线段OC，OA和OF的关系，并证明；
（3）若，作，G在射线ON上．在线段EF的运动过程中，判断是否为定值，若是，直接写出该定值，若不是，说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形，并连接，设，证明，证明是等腰直角三角形，可得，从而可得，等量代换即可得；
（2）过点作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，，可得，进而即可证明；
（3）根据已知条件可得，取的中点，以为半径，点为圆心作圆，连接，根据等腰三角形的性质可得，由（2）可知，代入数据即可求解．
小问1详解】
补全图形，如图，连接，

设
是的垂直平分线，
，
又







，

是等腰直角三角形，




即

又

【小问2详解】
，理由如下，
如图，过点作，交的延长线于点，




是等腰直角三角形
，


，



是等腰直角三角形



即
【小问3详解】
，理由如下，如图，


四点共圆，
取的中点，以为半径，点为圆心作圆，连接，

是的直径






是等腰直角三角形


由（2）可知


即
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质的，等边对等角，等腰直角三角形的性质，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，适当的添加辅助线是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的倍相关圆.
例如，在如图1中，点的1倍相关圆为以点为圆心，2为半径的圆.

（1）在点中，存在1倍相关圆的点是________，该点的1倍相关圆半径为________.
（2）如图2，若是轴正半轴上的动点，点在第一象限内，且满足，判断直线与点的倍相关圆的位置关系，并证明.
（3）如图3，已知点，反比例函数的图象经过点，直线与直线关于轴对称.
①若点在直线上，则点的3倍相关圆的半径为________.
②点在直线上，点的倍相关圆的半径为，若点在运动过程中，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出的最大值.

【答案】（1）解：，3（2）解：直线与点的倍相关圆的位置关系是相切. （3）①点的3倍相关圆的半径是3；②的最大值是.
【解析】
【分析】（1）根据点的倍相关圆的定义即可判断出答案；
（2）设点的坐标为，求得点的倍相关圆半径为，再比较与点到直线直线的距离即可判断；
（3）①先求得直线的解析式，
【详解】（1）的1倍相关圆，半径为：，
的1倍相关圆，半径为：，不符合，
故答案为：，3；
（2）解：直线与点的倍相关圆的位置关系是相切，
证明：设点的坐标为，过点作于点，

∴点的倍相关圆半径为，
∴，
∵，
∴，
∴点的倍相关圆半径为，
∴直线与点的倍相关圆相切，
（3）①∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴点B的坐标为： ，
∵直线经过点和 ，
设直线的解析式为，
把代入得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线与直线关于轴对称，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
设点C的坐标为： ，
∴点的3倍相关圆的半径是：，
故点的3倍相关圆的半径是3；
②的最大值是.
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，还涉及到平面坐标系内，一次函数的性质，反比例函数的性质，两点间的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练掌握待定系数法，属于中考压轴题．