2022北京燕山初三（上）期末数学（教师版）

这是一份2022北京燕山初三（上）期末数学（教师版），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题．解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2022北京燕山初三（上）期末
数 学
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试试卷120分钟．
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在等式①；②；③；⑤；⑤中，符合一元二次方程概念的是（ ）
A. ①⑤ B. ① C. ④ D. ①④
3. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ）
A B. C. D.
4. 利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（ ）
A. 直径所对圆周角为 B. 如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径
C. 直径是最长的弦 D. 垂直于弦的直径平分这条弦
5. 计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（ ）

A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题
9. 抛物线的顶点坐标是________，图象的开口方向是________．
10. 已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________．

11. 在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可）

12. 下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是________．
① ② ③ ④
13. 下面是用配方法解关于的一元二次方程的具体过程，

解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：，
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是________．
14. 时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是________．
15. 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则________，________．
16. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④中正确的是________．

三、解答题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）．
（2）
18. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则，
（1）计算：________；
（2）判断是否为一元二次方程，并求解．
（3）判断方程的根是否为，，并说明理由．
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，是的弦，是上的一点，且，于点，交于点．若的半径为6，求弦的长．

21. 已知：如图，射线．

求作：，使得点在射线上，，．
作法：①在射线上任取一点；
②以点为圆心，的长为半径画圆，交射线于另一点；
③以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上方交于点；
④连接、．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：为的直径，点在上，
（___________________________）（填推理依据）．
连接．
，
为等边三角形（___________________________）（填推理依据）．

所以为所求作的三角形．
22. 已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求 m的值．
23. 苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富“绿色银行”．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数（）
成活数（）
成活率（）
移植棵数（）
成活数（）
成活率（）
50
47
0.940
1500
1335
0.890
270
235
0.870
3500
3203
0.915
400
369
0.923
7000
6335

750
662
0.883
14000
12628
0.902
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是________，那么成活率是________
（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是________
（3）若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活________；
（4）若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论正确吗？说明理由．
24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：

…

0
1
2
3
…

…
0



0
…

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求的值；
（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

（4）这个二次函数的图象经过点和两点，写出________，________．
25. 数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．班主任决定从4名同学（小迎，小冬，小奥，小会）中通过抽签的方式确定2名同学去参加宣传活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，班主任先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
（1）“小冬被抽中”是________事件，“小红被抽中”是________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小会的概率是________；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小奥被抽中的概率．
26. 如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，点、在上，过点作的延长线于点，已知平分．

（1）求证：是切线；
（2）若，，求的半径和的长．
27. 中，，以点为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点．
（1）如图1，若，的度数为________；

（2）如图2，当吋，
①依题意补全图2；
②猜想与数量关系，并加以证明．

28. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（在的左侧）．

（1）抛物线的对称轴为直线，．求抛物线的表达式；
（2）将（1）中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点，且与正半轴交于点，记平移后的抛物线顶点为，若是等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）当时，抛物线上有两点和，若，，，试判断与的大小，并说明理由．

2022北京燕山初三（上）期末数学
参考答案
一、选择题，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2. 【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个分析判断即可．
【详解】解：①，是一元二次方程，符合题意；
②，不是方程，不符合题意；
③，不是整式方程，不符合题意；
⑤，是二元一次方程，不符合题意；
⑤，是一元一次方程，不符合题意
故符合一元二次方程概念的是①
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程定义，掌握一元二次方程定义是解题的关键．
3. 【答案】C
【解析】
【分析】可以采用列表法或树状图求解：可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．
【详解】画“树形图”如图所示：

∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选Ｃ．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解
4. 【答案】A
【解析】
【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.
【详解】A选项，直径所在圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为，A选项符合要求；
B、C选项，根据圆的定义可以得到；
D选项，是垂径定理；
故选：A
【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.
5. 【答案】B
【解析】
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
6. 【答案】D
【解析】
【分析】由题意观察的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可.
【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：，，
所以方程的近似解是，.
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数图象与轴交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解进行分析.
7. 【答案】C
【解析】
【分析】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，
整理得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理可将AB的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角为90°的扇形．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=，
∴点B所走过的路径长为=
故选D．

【点睛】本题主要考查了求弧长，勾股定理，解题关键是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
二、填空题
9. 【答案】 ①. （1，5） ②. 开口向上
【解析】
【分析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k的图象的开口方向由a决定，a＞0时开口向上；a＜0时开口向下以及对称轴为直线x=h和顶点坐标（h，k），进行分析即可．
【详解】解：∵a=2＞0，
∴抛物线开口向上，
∵顶点坐标（h，k），
∴顶点坐标（1，5）.
故答案为：（1，5），开口向上.
【点睛】本题考查二次函数的性质，注意掌握抛物线顶点式y=a（x-h）2+k（）与顶点坐标（h，k）．
10. 【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
【详解】解：，都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而点不在圆上，则不是圆周角
故④不正确；
是圆心，在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．
11. 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
12. 【答案】②③④①
【解析】
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可．
【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②，
第二步：画出圆的一条直径，即画图③；
第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①，
故答案为：②③④①．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
13. 【答案】④①③②
【解析】
【分析】根据配方法的步骤：二次项系数化为1，移项，配方，求解，进行求解即可．
【详解】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键．
14. 【答案】
【解析】
【分析】先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到两人同坐2号车的结果数，再依据概率公式求解即可．
【详解】解：列树状图如下：

由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1种，
∴两人同坐2号车的概率，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，熟知树状图或列表法求解概率是解题的关键．
15. 【答案】 ①. 2 ②. 2
【解析】
【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：2；2．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键．
16. 【答案】①③④
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=3时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①根据图示知，该函数图象的开口向下，
∴a<0；
故①正确；
②当x=3时，故②错误；
③该函数图象交于y轴的正半轴，∴c>0，故③正确；
④观察图像，结合抛物线的对称轴可知：，故④正确；
所以①③④四项正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
三、解答题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）直接利用开平方法解一元二次方程即可；
（2）直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 【答案】（1）
（2）是一元二次方程，
（3）不是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据直接代入求值即可；
（2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可；
（3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可
【小问1详解】

故答案为：
【小问2详解】




是一元二次方程

解得：
【小问3详解】
的根不是，
，则，即





【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
19. 【答案】；-1
【解析】
【详解】试题分析：先把代数式化简，再根据已知求出，最后带入代数式即可.
试题解析：原式 ==.
∵.
∴原式=="-1."
考点：整式的化简，平方差和完全平方公式，求代数式的值.
20. 【答案】
【解析】
【分析】连接OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=120°，再由垂径定理得出∠AOE=∠AOB=60°、AB=2AE，在Rt△AOE中，由OA=2OE求解可得答案．
【详解】如图，连接OB，

则∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠AOB=60°，
∵AO=6，
∴在Rt△AOE中，，

∴AB=2AE，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
21. 【答案】（1）图形见解析
（2）直径所对的圆周角是直角；三边相等的三角形是等边三角形．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据圆周角定理等边三角形的判定和性质解决问题即可．
【小问1详解】
如图，△ABC即为所求作．

【小问2详解】
∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
连接OC．
∵OA=OC=AC，
∴△AOC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴∠A=60°．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22. 【答案】（1）证明见解析；（2）m=5．
【解析】
【分析】（1）由题意列出一元二次方程“根的判别式”的表达式，化简后判断其值可得结论；
（2）由（1）中所得求出两根（用含“m”的式子表达），在代入2x1=x2+1中可得关于“m”的方程，解方程即可求得“m”的值．
【详解】解：（1）∵在关于的方程中，，
∴△=
=
=
∴关于的方程总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）可知：△=36，
∴原方程的两根为：，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
解得：
23. 【答案】（1）6335；0.905；
（2）0.900； （3）9000棵；
（4）此结论不正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；
（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
（3）利用成活数=总数×成活概率即可得到答案；
（4）根据概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由表格可知，当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是6335，
∴成活率，
故答案为：6335；0.905；
【小问2详解】
解：∵大量重复试验下，频率的稳定值即为概率值，
∴可以估计树苗成活的概率是0.900，
故答案为：0.900；
【小问3详解】
解：由题意得：若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活课树苗，
故答案为：9000棵；
【小问4详解】
解：若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论不正确，理由如下：
∵概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，
∴若小王移植20000棵这种树苗，不一定能成活18000棵，只能说是可能成活18000棵．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
24. 【答案】（1）；
（2）；
（3）见解析； （4）4；5
【解析】
【分析】（1）设这个二次函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据所求的函数解析式，把代入函数解析式中求出y的值即可得到答案；
（3）根据题目所给的表格，先描点，然后连线，画出函数图像即可；
（4）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性即可求出a的值，然后把代入函数解析式中即可求出b的值．
【小问1详解】
解：设这个二次函数解析式为，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵二次函数解析式为，
∴当时，，
∴；
【小问3详解】
解：函数图像如下所示：
【小问4详解】
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴当和时的函数值相同，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：4；5．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图像，求二次函数的函数值，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
25. 【答案】（1）随机；随机；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【小问1详解】
解：“小冬被抽中”是随机事件，“小红被抽中”是随机事件，
第一次抽取卡片抽中小会的概率是；
【小问2详解】
解：根据题意可列表如下：（A表示小迎，B表示小冬，C表示小奥，D表示小会）

由表可知，共有12种等可能结果，其中小奥被抽中（含有C）的有6种结果，
所以小月被选中的概率=．
【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
【小问1详解】
证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
【小问2详解】
解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt△OFD中，OF=AE=4，
∴，
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
∴，
∴AD的长是．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
27. 【答案】（1）120°
（2）①图形见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据进而判断出点E在边AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；②先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF=90°，即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF，进而求出∠CAF=∠CAE=30°，即可得出结论．
【小问1详解】
（1）如图1，


在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，
∴点E在边AB上，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，
故答案为120°；
【小问2详解】
（2）①依题意补全图形如图2所示，

②如图2，连接AF，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAB，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠AEF=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，
∴∠EAF=∠CAF，
∴∠CAF=∠CAE=30°，
在Rt△ACF中，CF=AF，且AC2+CF2=AF2，
∴
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．
28. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对称性求得点的坐标，进而设抛物线交点式即可求得解析式；
（2）根据对称性以及等腰直角三角形的性质即可求得点的坐标；
（3）根据，求得对称轴，根据抛物线开口向下，离对称轴越远的点，其函数值越大，据此分析即可．
【小问1详解】
，，且抛物线与轴交于点，，在的左侧．
设

解得

设抛物线的解析式为
又，

即
【小问2详解】

抛物线的对称轴为
将抛物线向左平移2个单位，则新抛物线的对称轴为
关于对称

设
是等腰直角三角形
都小于90°
是直角



解得
根据函数图象可知当时不合题意，舍去


【小问3详解】


，，，

和在抛物线上，则点离抛物线的对称轴更近，

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．