2023北京东城初三（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京东城初三（上）期末数学（教师版），共13页。试卷主要包含了5B．5，5D． 10，1），67）代入，得．等内容，欢迎下载使用。

2023北京东城初三（上）期末
数 学
2023.1
一、选择题（每题2分，共16分）
1．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为0，则m的值为
A．2 B．1 C．0 D．－1
2．下列图形中是中心对称图形的是
A．正方形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形
3．关于二次函数，下列说法正确的是
A．最大值4 B．最小值4 C．最大值6 D．最小值6
4．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
5．某厂家2022年1～5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程

A． B．
C． D．
6．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5，点D在圆上，且∠ADC＝30°， 则⊙O的半径为
A．2.5 B．5
C．7.5 D． 10
7．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为，则图中的长为

A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
8．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是

A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
二、填空题 (每题2分，共16分）
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
10．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式
为 ．
11．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以
是 ．
12．2022年3月12日是我国第44个植树节，某地林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数（棵）
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
13．以□ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为　　 ．

14．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD等于　　 °．

15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=(弦×矢+矢2)．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为120°，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______米2．（）

16．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB=4，AD=2，中心为O，在矩形外有一点P，OP＝3，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________．

三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）
17．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知：点A在⊙O上 .
求作：⊙O的切线AB.

作法： ①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ ．
∴BA OA．
∵ 点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线( ) (填写推理依据) ．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，若AB=4，求CD的长.


19．下面是小聪同学用配方法解方程：（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．

解：移项，得 ．
二次项系数化为1，得 ．
配方，得．
即.
∵ p＞0 ，
∴ ．
∴ ，．
（1）第步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
20．如图，抛物线经过点A(0，－5)，B(5，0) ．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，与该抛物线的对称轴于点M，求点M的坐标．




21．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．
(1)作点A关于点O的对称点A1；
(2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
(3)连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．


22．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．
他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．


23．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．




24．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k（a<0）．某位同学进行了两次投掷．
(1)第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.67
2.63
2.95
2.63
1.67
0.07
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x-h)2+k(a<0)；
(2)第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1_____ d2 (填“＞”“＝”或“＜”)．


25．如图，点在以为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)若∠A=30°，，求DF的长．

26．已知二次函数．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点(3，y1) ，(1，y2) ， (－1，y3) ，(－2，y4)都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 y2（用“＞”“＝”“＜”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．




27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．



28．在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x=3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x=3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．
已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________;
（2）若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．
若线段AB=1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时 P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．

参考答案
一、选择题（每题2分，共16分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
A
C
B
B
B
二、填空题(每题2分，共16分）
9．（0，5） 10． 11．答案不唯一，c＜1即可．如： 12．0.9
13．（2，－1） 14．20 15．8.92 16．≤d≤2
三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分)
17．（1）补全图形如图所示．
………………..2分
（2）BD；⊥；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…..……5分
18．解：如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE．……………………………..1分
又∵CD＝2OE，
∴CE＝DE． …………………………..2分
∵ AB=4，
∴ OC=2．……………………………..3分
在Rt△COE中，可求CE=． ……………….4分
∴CD＝．……………….………………..5分
19．解：（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；…..1分
（2）不正确，解答从第步开始出错. ………………..3分
此方程的解为，.………………..5分
20．解：(1) 将点A(0，－5)，B(5，0) 代入．
得 ………………..1分
解这个方程组，得………………..3分
（2）抛物线的解析式是．
对称轴为直线x=2．
可求直线AB的解析式为．
∴ 此抛物线的对称轴与直线AB的交点M的坐标为（2，－3）．……………..5分
21．解：（1）（2）画图结果如图所示．
………………..3分
（3）． ……..5分
22．画树状图如下：

由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有9种，并且每一个结果出现的可能性相同．其中小明和小亮选择相同模块有3种．
∴P（小明和小亮选择相同模块） . …………5分
23．(1)证明：∵，
∵ ≥0，………………..2分
∴ ＞0．
∴ 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．………………..3分
(2)解：由题意可知，当m=0时，的值最小．
将m=0代入，得
解方程可得 …………6分
24．解：（1）2.95；
由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，2.95），
设抛物线的解析式为，
将点（0，1.67）代入，得．
解得．
∴ 抛物线的解析式为.…………4分
(2) ＞. …………6分
25．解：（1）证明：连接OD．
∵ AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，
∴ ∠AOD=∠BOD=90°.
又∵ ，
∴ ∠ODF=90°．
即 OD⊥DF．
∴ 直线DF为⊙O的切线．……………..3分
（2）解：∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°．
又∵∠A=30°，，
∴ AB=4．
∴ OD=2．
∵ AO=CO，
∴ ∠COB=60°.
∵ FD∥AB，
∴ ∠F=60°．
∴ 在Rt△ODF中，可求FD=．……………..6分
26．解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，3) ．
对称轴x＝． …………….2分
（2）①＝
②∵函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴点(3，y1) ，(1，y2)关于直线x＝2对称，
∴y1＝y2，
∵3＞1＞－1＞－2，
∴点(1，y2) ， (－1，y3) ，(－2，y4)在对称轴的左侧，点(3，y1)在对称轴的右侧.
当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴y1=y2＜y3＜y4，不合题意．
当a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则y1=y2＞y3＞y4，
y1，y2，y3，y4四个函数值可以满足y1=y2＞y3≥0＞y4，
∴y3≥0，y4＜0，
即当x=－1时，y3=a+4a+3≥0， x=－2时，y4=4a+8a+3＜0．
解得 ． ……………..6分
27．解：（1）补全图形如图所示.
……………..1分
（2）AF＝CD．
证明：∵EF⊥AD，
∴∠EFD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠EFD＝∠BCD．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD＋∠CDB＝90°.
由题意可知，∠BDE＝90°，
∴∠EDF＋∠BDC＝90°．
∴∠EDF＝∠CBD.
在△EFD和△DCB中

∴△EFD≌△DCB(AAS)．
∴EF＝CD，DF＝BC．
∵BC＝AC，
∴AC＝DF．
∴AF＝CD． ……………..4分
（3）结论：．
证明：连接DG，FG．
∵ DE=BD，G为BE的中点，∠BDE=90°，
∴EG＝BG=DG, ∠DGB=90°．
∵∠EFD＝∠DGE＝90°,
∴ ∠GEF＝∠CDG.
在△EFG和△DCG中

∴△EFG≌△DCG.
∴FG＝CG, ∠EGF=∠DGC．
∴∠EGF+∠EGC=∠DGC+∠EGC=90°．
即 ∠CGF=90°.
∴△CGF为等腰直角三角形．
∴ .
∵ ，AF＝CD，
∴． …………..7分
28．（1）（2，3）；……………..2分
（2）（3，－2）；………….4分
（3）(3，－3) ，0≤≤. …………..7分