2023北京门头沟初三（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京门头沟初三（上）期末数学（教师版），共28页。
2023北京门头沟初三（上）期末
数 学
1.本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2.请将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
3.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答．
4.考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如果，那么的值是（ ）
A B. C. D.
2. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）

A. B. C. D.
4. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）

A. B. C. D.
7. 二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C.
D. 一元二次方程的近似解为，
8. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）

A. 圆的面积y与它的半径x；
B. 正方形的周长y与它的边长x；
C. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
D. 小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9 如果，那么锐角___________度．
10. 如果一个扇形的圆心角为，半径为2，那么该扇形的面积为___________（结果保留π）．
11. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，那么与的大小关系是___________（填“”，“”或“”）时．
12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么的面积与的面积的比是___________．

13. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是___________．
14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为___________寸．

15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米．

16. 如图1，在等边中，D是中点，点P为边上一动点，设，，如果y与x的函数关系的图象如图2所示，那么___________．

三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．

19. 下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，．

求作：等边，使得等边内接于．
作法：
①如图2，作半径；

②以M为圆心，长为半径作弧，交于点A，B，连接；
③以B为圆心，长为半径作弧，交于点C；
④连接，．
∴就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，，，．
由作图可知，
∴，是等边三角形．
∴ ．
∴．
∵，
∴．（ ）（填推理依据）
∵，
∴是等边三角形．
20. 已知二次函数

（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
21. 如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围．
23. 定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为，定都阁底端B的俯角β为，此时无人机到地面的垂直距离为米，求定都阁的高．（结果保留根号）

24. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…


请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
25. 如图，在等腰中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E．

（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．

（1）当时，如果，直接写出，值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
27. 如图，在中，，点D在上，连接，在直线右侧作，且，连接交于点F．

（1）如图1，当时，
①依题意补全图1，猜想与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，的数量关系，并证明．
（2）如图2，当时，直接用含m的等式表示线段，的数量关系．
28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．已知点．

（1）在，，中，点M的等积点是 ；
（2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；
（3）已知点，，的半径为1，连接，点A在线段上．如果在上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 【答案】B
【解析】
【分析】由得到，再代入即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了比例的基本性质，由比例的基本性质得到是解题的关键．
2. 【答案】A
【解析】
【分析】根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得OP的范围即可解答．
【详解】解：∵的半径为4，点在内，
∴0≤OP＜4，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键．
3. 【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
4. 【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度可得，
故选：C
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．
5. 【答案】B
【解析】
【分析】根据得出，然后直接代入数据求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，得出．
6. 【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：如图：连接，

是直径，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
7. 【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质逐项分析即可作出判断．
【详解】解：A．由二次函数的图象可知，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∴，
故选项正确，符合题意；
B．∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，则，故选项错误，不符合题意；
D．∵抛物线的图象与x轴有一个交点在0和之间，抛物线的对称轴直线，
∴图象与x轴另一个交点在2和3之间，
∴一元二次方程的近似解为，不成立，
故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8. 【答案】C
【解析】
【分析】根据题意写出两个变量之间的函数关系分别断即可．
【详解】解：A、圆的面积y与它的半径x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；
B、正方形的周长y与它的边长x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；
C、设铁丝的长度为a，则矩形的面积，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示，故此选项符合题意；
D、设路程为s，则所用时间y与平均速度x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是判断两个变量之间所满足的函数关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 【答案】45
【解析】
【分析】根据三角函数的值，求角的度数.
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵扇形的圆心角为，半径为2，
∴该扇形的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．
11. 【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质即可判定．
【详解】解：在反比例函数中，
随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键．
12. 【答案】##
【解析】
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴,
故答案为：
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
13. 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】首先由①得到；由②得到；只要举出满足以上两个条件的的值即可得出所填答案．
【详解】解：二次函数，
①开口向下，
；
②当时，随着的增大而增大，，即；
∴只要满足以上两个条件就行，
如时，二次函数解析式是．
故答案为：．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
14. 【答案】450
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
∴，
解得．
答：竹竿长为450寸，
故答案为：450．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
15.【答案】10
【解析】
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：连接，，，
可得：，，
∵，拱高米，
∴，
设，则，
根据题意可得：，
即，
解得：，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是米．
故答案为：10
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
16. 【答案】4
【解析】
【分析】从图2的函数图象可知y的最小值为，结合等边三角形的图形可知，当点P运动到位置时，长为最小值，利用等边三角形的特殊角可求出的长．
【详解】解：由图2可得y的最小值为，
∵为等边三角形，分析图1可知，当P点运动到时，长为最小值，
∴此时，
∵，
∴，
解得，
∵D为的中点，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解P点运动到何处时长最小是关键，同时也考察了学生对函数图象的观察能力．
三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 【答案】3
【解析】
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式、绝对值分别化简后进行合并即可．
【详解】解：


【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 【答案】（答案不唯一），证明见解析
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【详解】解：添加，
又∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
19. 【答案】（1）见解析 （2），同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【解析】
【分析】（1）按照作图方法补全图形即可；
（2）连接，，，，证明，是等边三角形．得到．由圆周角定理得到，由即可得到结论．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
证明：连接，，，．

由作图可知，
∴，是等边三角形．
∴．
∴．
∵，
∴．（ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）
∵，
∴是等边三角形．
故答案为：，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【点睛】此题考查了基本作图、等边三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，准确作图和证明是解题的关键．
20. 【答案】（1）
（2）与
（3）
【解析】
【分析】(1)把解析式化成顶点式，即可解答；
(2)令，解方程即可求得；
(3)根据此二次函数图象的开口方向及与x轴的交点坐标，即可求得
【小问1详解】
解：，
故此二次函数图象的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：令，则，
解得，，
故此二次函数图象与x轴的交点坐标为与；
【小问3详解】
解：，
此二次函数图象的开口向上，
又此二次函数图象与x轴的交点坐标为与，
当时，x的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题及性质，熟练掌握和运用二次函数的性质是解决本题的关键．
21. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等角的余角相等得到，又由即可得到；
（2）由勾股定理求得，得到，由得到，则，即可求得答案．
【小问1详解】
证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22. 【答案】（1）反比例函数的解析式为：；
（2）k的取值范围是．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
【小问1详解】
解：对于，当时，，
∴一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：解方程组，得或，
由题意得：，
解得：，
则k的取值范围是．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键．
23. 【答案】米
【解析】
【分析】过点A作于点D，则，，得到四边形是矩形，则，，设，则，
得到，在中，，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于点D，则，，

由题意得，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，则，
∵, ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
24. 【答案】（1）见解析 （2）3.2
（3）
（4）1或9
【解析】
【分析】（1）描点，连线即可；
（2）观察函数图象可得答案；
（3）用待定系数法可得解析式；
（4）结合解析式，令可解得答案．
【小问1详解】
解：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
【小问2详解】
解：由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为，
故答案为：3.2；
【小问3详解】
解：设二次函数表达式为将，，代入得：
，
解得：
∴二次函数表达式为；
【小问4详解】
解：在中，令得：
，
解得或，
∴石柱距喷水枪的水平距离为或．
故答案为：1或9．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出函数解析式．
25. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由，得到，先证明，得到，则，由是的半径，即可得到结论；
（2）由，得到，由勾股定理得到，由,得到,连接，由得到，由勾股定理即可求得的长．
【小问1详解】
证明：连接，

∵，
∴，
∵等腰中，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴,
∵,
∴,
连接，

∵为的直径，
∴,
∵,
∴，
∴，
∴，
即的长为．
【点睛】此题考查了切线的判定定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26. 【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，当时，，由抛物线的对称轴为，得到关于对称轴对称的点的坐标为，即可写出答案；
（2）首先由，得到图象开口向下，满足，，可得到，求出点关于对称轴对称的点为，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，；
【小问2详解】
解：根据题意可知，当时，，
∵,
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为,
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，,，
∴解得，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 【答案】（1）①见解析；，证明见解析；②；证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形，根据余角的性质，证明即可；
②先证明，得出，说明，再证明，即可得出结论；
（2）过点E作于点G，先证明，得出，从而得出，证明，得出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：①根据题意补全图形，如图所示：

，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
过点E作于点G，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
过点E作于点G，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
28. 【答案】（1）、
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等积点的定义进行判断即可；
（2）先求出点M的等积点一定在直线，再根据点M的等积点N在双曲线上，求出直线与双曲线的交点坐标即可；
（3）根据点M的等积点在直线上，点P的等积点在直线上，从而得出点A的等积点在直线和直线于第一象限交成的锐角的内部或边上，画出图形求出边界点的坐标，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴是M的等积点；
∵，
∴不是M的等积点；
∵，
∴是M的等积点；
故答案为：、；
【小问2详解】
解：设点M的等积点为，则，
即，
∴点M的等积点一定在直线，
又∵点M的等积点N在双曲线上，
∴联立，
解得：，，
点N的坐标为或．
【小问3详解】
解：根据解析（2）可知，点M的等积点在直线上，
设点P的等积点为，则，即，
∴点P的等积点在直线上，
∵点A在线段上，
∴点A的等积点在直线和直线于第一象限交成的锐角的内部或边上，
点Q在直线上，直线与的交点为，与直线的交点，与x轴的交点，
∴，
，，
如图，当正好与直线相切于点F时，上一定存在点A的等积点，当正好与直线相切于点E时，上一定存在点A的等积点，且圆心Q在与之间时，上一定存在点A的等积点，

连接，，则，
∵直线与相切于点E，直线与相切于点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
此时，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
此时，
∴a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，求直线与双曲线的交点坐标，切线的性质，勾股定理，坐标特点，解题的关键是理解题意，作出相应的图形，求出边界点的坐标．