2023北京顺义初三（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京顺义初三（上）期末数学（教师版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2023北京顺义初三（上）期末
数 学
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 中国高铁是一张亮丽的名片，中国成功建设世界上规模最大、现代化水平最高的高速铁路网，形成了具有自主知识产权的世界先进高铁技术体系，打造了具有世界一流运营品质的中国高铁品牌．截止到2021年底，中国电气化铁路总里程突破11万公里，其中高铁41000公里．将41000用科学记数法表示应为（　　）
A. B. C. D.
2. 已知，那么下列比例式不成立是（　　）
A. B. C. D.
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线平移，可以得到抛物线，下列平移的叙述正确的是（　　）
A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度
C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度
5. 如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为( )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则AF的长为（　　）

A. 1 B. C. D. 2
7. 如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（　　）

A. 折扇 B. 圆扇 C. 一样大 D. 无法判断
8. 下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　）
A. ①是反比例函数，②是二次函数 B. ①是二次函数，②是反比例函数
C. ①②都是二次函数 D. ①②都是反比例函数
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 分解因式：x2y-4y=____．
10. 对于二次函数，当的取值范围是___________时，随的增大而减小．
11. 某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为，小李测得一棵树的影长为，那么这棵树的高是___________．
12. 将二次函数化为的形式，则___________，___________．
13. 如图，点A，B，C都在上，如果，那么的度数为___________．

14. 若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________．
15. 如图，在等腰直角中，，点D是AC上一点，如果，，那么AB的长为___________．

16. 如图，正方形的顶点A，B都在上，且边与相切于点E，如果的半径为1，那么正方形的边长为___________．

三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明．

20. 已知：在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线都经过点．

（1）分别求k，m的值；
（2）若点P的坐标为，过点P作平行于y轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，直接写出n的取值范围．
21. 在中，，若．请你添加一个条件：___________，设计一道解直角三角形的题目（不用计算器计算），并画出图形，解这个直角三角形．
22. 如图，A是的直径延长线上的一点，点B在上，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
23. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上点D处（不与B、C重合），折痕为．

（1）求证：；
（2）若，，分别求，的周长；
（3）在（2）的条件下，求BE的长．
24. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：．




25. 如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
60
5.5
4.0

（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．
（3）若如图2汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
26. 已知：二次函数．
（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）若点，在抛物线上，且，求n的取值范围．
27. 已知：在平行四边形中，于点，平分，交线段于点．

（1）如图1，若，延长到点，使得，连接，依题意补全图形并证明；
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果．
28. 在平面直角坐标系中，图形M上存在一点P，将点P先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点Q，若点Q在图形N上，则称图形M与图形N成“斜关联”．

（1）已知点，，，．
①点A与B、C、D中的哪个点成“斜关联”？
②若线段与双曲线成“斜关联”，求k的取值范围；
（2）已知的半径为1，圆心T的坐标为，直线l的表达式为，若与直线l成“斜关联”，请直接写出t的取值范围．

参考答案
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法：，进行表示即可．
【详解】解：；
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法，是解题的关键．
2. 【答案】A
【解析】
【分析】利用比例的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，与已知不符，符合题意；
B、∵，∴，与已知相符，不符合题意；
C、∵，∴，与已知相符，不符合题意；
D、∵，∴，与已知相符，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项积等于外项积，是解题的关键．
3. 【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB==5，
∴cos∠B=，
故选C．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4. 【答案】C
【解析】
【分析】将转化为顶点式，再根据抛物线的平移规则，进行判断即可．
【详解】解：，它的图象是由的图象向左平移一个单位得到的；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，是解题的关键．
5. 【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BC、AC的关系，根据AC即可求得BC的长度，即可解题.
【详解】解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=，
∴=tanα，
∴BC=AC•tanα=50tanα．
故选A.
【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算BC、AC的关系是解题的关键.
6. 【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质，得到：，从而得到：，再根据菱形的四边相等，和，得到，再根据相似三角形对应边对应成比例，列式求解即可．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：；
故选C．
【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的对边平行，四边相等，证明三角形相似，是解题的关键．
7. 【答案】A
【解析】
【分析】分别利用扇形面积公式和圆的面积公式求出两把扇子的扇面面积，然后比较即可．
【详解】解：折扇的扇面面积为为：
圆扇扇面的面积为
∵
∴折扇的扇面面积大．
故选A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的面积公式等知识点，牢记扇形的面积公式是解答本题的关键．
8. 【答案】B
【解析】
【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答．
【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 【答案】y(x+2)(x-2)
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．
10. 【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点坐标是，且图像开口向下，由此即可求解．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，图象开口向下，
当时，随增大而减小，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像的性质和特点，理解二次函数图像的性质是解题的关键．
11. 【答案】
【解析】
【分析】根据同一时刻，物高与影长的比对应成比例，列式求解即可．
【详解】解：设树高为：，则由题意，得：
，
解得：；
∴这棵树的高是；
故答案为：．
【点睛】本题考查利用影长求物高．熟练掌握同一时刻，物高与影长的比对应成比例，是解题的关键．
12. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将转化为顶点式，即可得解．
【详解】解：；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键．
13. 【答案】##120度
【解析】
【分析】如图：在优弧AC上取一点D，连接,由圆周角定理和圆的内接四边形可得,，再结合求得，最后根据四边形的内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：在优弧AC上取一点D，连接,
∴,
∵
∴，解得：
∵四边形
∴
∴．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、四边形的内角和等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．
14. 【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴有交点，，列式计算即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与轴交点问题．熟练掌握抛物线与轴有交点：，是解题的关键．
15. 【答案】
【解析】
【分析】先根据正弦的定义和已知条件求得，再运用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的性质可得，最后运用勾股定理求得即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴，解得：
∴
∵等腰直角
∴
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，根据正弦定义求得是解答本题的关键．
16. 【答案】
【解析】
【分析】连接并延长，交于点，连接，设正方形的边长为，根据正方形的性质和切线的性质，得到，，根据垂径定理和勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：连接并延长，交于点，连接，

∵正方形的边与相切于点E，
∴，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵正方形的顶点A，B都在上，
∴，
∵的半径为1，
∴，
设正方形边长为，则：，，
在中：，
即：，
解得：（舍掉）或；
∴正方形的边长为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，正方形的性质以及勾股定理．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，再进行加减运算．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质和运算．熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的性质和运算法则，零指数幂法则，是解题的关键．
18.【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集．
详解】解：由，得，
由，得，
不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．
19. 【答案】；证明见解析
【解析】
【分析】根据得出，然后根据相似三角形的判定方法可得，．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据得出，熟记相似三角形的判定方法．
20. 【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，把的坐标分别代入和，得出两个方程，分别解出，即可得出答案；
（2）根据（1）的结论，得出反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，然后根据题意，得出，，进而得出且，然后再求出两图象的交点，观察图象，即可得出n的取值范围．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象与直线都经过点，
∴把的坐标分别代入和，
∴可得：，，
解得：，；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，，
∴反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，
∵点P的坐标为，过点P作平行于y轴的直线，
∴过点P作平行于y轴的直线为：，
又∵直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，
∴，，
∵点D在点C的上方，
∴可得：且，
如图，

∵直线与直线相交于两点分别为和，
∴观察图象，可得：的取值范围为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用图象法解不等式，解本题的关键在正确求出，的值．
21. 【答案】见解析
【解析】
【分析】已知斜边，可添加，先根据勾股定理求出第三边，再灵活选择三角函数求出两锐角．
【详解】解：如图，添加条件为：（答案不唯一）

在中，
由勾股定理得，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的解法和特殊角的三角函数值是解题的关键．
22. 【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）如图：连接，先根据三角形内角和定理可得，再说明，然后再说明即可证明结论；
（2）如图：过B作,垂足为E，先根据直角三角形的性质求得，再由勾股定理求得，然后再说明三角形是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
解：如图：连接
∵
∴
∵
∴
∴
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如图：过B作，垂足为E
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴．

【点睛】本题主要考查了切线的证明、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键．
23. 【答案】（1）见解析 （2）14,10
（3）2.8
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论；
（2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得,，最后根据三角形周长的定义即可解答；
（3）根据相似三角形的性质列式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵等边三角形
∴
∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处
∴
∵,
∴
∵
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴
∵等边三角形
∴
∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处
∴,
∴的周长为：
的周长为：．
【小问3详解】
解：∵，的周长为14，的周长为：10
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
24. 【答案】见解析
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，同理可得：，然后根据即可证明结论．
【详解】证明：∵
∴
∴
同理：
∵
∴即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键．
25. 【答案】（1）6，．
（2）见解析
（3）隧道需标注的限高应为4.4米
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答．
【小问1详解】
解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6，
设
∵D的坐标为
∴，解得
∴．
故答案为：6，．
【小问2详解】
解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
【小问3详解】
解：令，可得
隧道需标注的限高应为（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.4米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
26. 【答案】（1）对称轴为，顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）将转化为顶点式，即可得解；
（2）根据二次函数的性质，分点在对称轴的同侧和异侧两种情况，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴抛物线的对称轴为：；顶点坐标为：；
【小问2详解】
解：，
∵，抛物线开口向上，对称轴为：，
∴在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；
①当点在对称轴的同侧时：
∵，，
∴随的增大而减小；
∴点在对称轴的左侧，即：，解得：；
②当点在对称轴的异侧时：即：，解得：时，
根据抛物线的对称性，可得，和的函数值相等，
∵在对称轴的右侧，随的增大而增大，，
∴，解得：，
∴当时，；
综上：当时，．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
27. 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，由平行四边形的性质得，，得出，进而由证得，从而得到；
（2）由（1），得到，，再由平行四边形的性质，得出，，，再由角平分线的定义，可知，进而得出，根据等边对等角得，最后得出；
（3）延长至点，使得，连接，根据两边对应成比例且夹角相等，证得，求得相似比，与（2）同理，．
【小问1详解】
证明：如图所示，

四边形是平行四边形，
，
，
，即，
在与中，
，

；
【小问2详解】
，证明如下：
，
，，
，
，
，即，
平分，
，
，，
，
，
即；
【小问3详解】
，
如图，延长至点，使得，连接，

四边形是平行四边形，
，，，
，
，即，
又，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键在于要有类比推理的思想．
28. 【答案】（1）①点②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据斜关联的定义，将点先向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可得到与点成“斜关联”的点；②先求出线段的“斜关联”线段，使它与双曲线有交点，从而求出的取值范围；
（2）先求出直线的“斜关联”直线，使它与至少有一个交点，利用临界条件相切，再利用相似求出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：①将点先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到：，与点相同，
∴点与点成“斜关联”；
②点 “斜关联”坐标为，点“斜关联”坐标为，
∴线段与线段成“斜关联”，
∵线段与双曲线成“斜关联”，
∴线段与双曲线相交，如图所示：

线段所在直线解析式为，将代入双曲线，得到，
∵交点落在点和之间，
∴，
解得：；
【小问2详解】
将直线先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到直线，整理得，
∴直线：与直线：成“斜关联”，
∵与直线成“斜关联”，
∴直线与至少有一个交点，
设直线与轴，轴分别交于点，点，当与直线相切于点时，在直线右侧，连接，如图所示，则：，

直线：，令，则，
∴点，
令，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：；
当与直线相切于点时，在直线左侧，连接，如图所示：

同理可得，
∴，即；
综上所述：．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，反比例函数的综合应用，切线的性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握“斜关联”的定义，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．