2023北京燕山初三（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京燕山初三（上）期末数学（教师版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023北京燕山初三（上）期末
数 学
2022年12月
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共16分，每题2分）
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是




心形线 蝴蝶曲线 四叶玫瑰线 等角螺旋线
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是
A．3cm B．5cm
C．7cm D．10cm
3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，
若∠AOB＝120°，则∠P的度数为
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3，2)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为
A．(2，3) B．(3，2)
C．(‒2，‒3) D．(‒3，‒2)
5．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，可列方程为
A． B．
C． D．
6．一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写着数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，小乐随机从中抽取一张卡片，放回摇匀，再随机抽取一张，则小乐抽到的两张卡片上的数字都是奇数的概率是
A． B． C． D．
7．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为
A．2m B．3m
A．4m D．5m
8．下面的三个问题中都有两个变量y与x：
①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x；
②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x；
③某篮球联赛采用单循环制(每两队之间都赛一场)，比赛的场次y与参赛球队数x．
其中，变量y与x之间的函数关系(不考虑自变量取值范围)可以用一条抛物线表示的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．平面直角坐标系中，已知点P(5，‒4)与点Q(‒5，a)关于原点对称，则a＝ ．
10．一元二次方程的根是 ．
11．已知某函数当时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是 ．
12．若关于x的方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：b＝ ，c＝ ．
13．为了认真学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下：
得分(x分)
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数(人)
10
m
n
48
据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为 ．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝34°，则∠ABD＝ °．
(第14题)
(第15题)
(第16题)

15．如图，已知⊙O的半径为3，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB＝30°，则的长是 ．
16．平面直角坐标系中，已知抛物线C：与直线：如图所示，有下面四个推断：
①二次函数有最大值；
②抛物线C关于直线对称；
③关于x的方程的两个实数根为，；
④若过动点M(m，0)垂直于x轴的直线与抛物线C和直线分别交于点P(m，y1)和Q(m，y2)，则当y1＜y2时，m的取值范围是‒4＜m＜0．
其中所有正确推断的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．解方程：．


18．已知是方程的一个根，求代数式的值．


19．已知抛物线经过点A(2，0)，B(‒1，3)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 ．


20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BE．若BC＝1，求线段BE的长．





21．下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥．
作法：如图，
①在直线上任取两点A，B，连接PA，PB；
②分别作线段PA，AB的垂直平分线，，两直线交于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径作圆；
④以点A为圆心，PB长为半径作弧，与⊙O在上方交于点Q；
⑤作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接AQ，
∵点A，B，P，Q都在⊙O上，AQ＝PB，
∴＝ ，
∴∠APQ＝∠PAB，( ) (填推理的依据)
∴PQ∥．
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．

23．2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象(A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验)，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
(1)小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是 ；
(2)若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率．

24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：EF为⊙O的切线．
(2)若CD＝5，AC＝6，求EF的长．


25．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔AD水平距离为x(单位：m)的地点，主索距桥面的竖直高度为y(单位：m)，则y与x之间近似满足函数关系．

小石通过测量获得y与x的几组数据如下：
x(m)
0
4
8
24
32
40
48
64
y(m)
18
14.25
11
3
2
3
6
18
根据上述数据，解决以下问题：
(1)主索最低点P与桥面的距离PO为 m．
(2)求出主索抛物线的解析式；
(3)若与点P水平距离为12m处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．


26．在平面直角坐标系中，已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线上任意两点，其中＜．
(1)求该抛物线顶点P的坐标(用含m的式子表示)；
(2)当M，N的坐标分别为(0，‒3)，(2，‒3) 时，求m的值；
(3)若对于x1＋x2＞4，都有y1＜y2，求m的取值范围．


27．如图，在△ABC中，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，作∠CAD的角平分线AE交BC的延长线于点E，连接CD，DE．
(1)依题意补全图形，并求出∠AEC的度数；
(2)用等式表示线段AE，BE，DE之间的数量关系，并证明．







28．对于平面直角坐标系中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN＝90°，且MP＝MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”．
(1)已知点A(0，4)，B(4，4)，
①在点M1(‒2，2)，M2(0，2)，M3(2，2)中，是点O关于点A的“旋垂点”的是 ；
②若点M(m，n)是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
(2)直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为，圆心为T(t，0)．若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ＝，直接写出t的取值范围．









参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
A
C
A
B
B
D
C
二、填空题（共16分，每题2分）
9．4； 10．x1＝0，x2＝－5； 11．答案不唯一，如：，…
12．答案不唯一，如：b＝2，c＝1； 13．0.48； 14．34°；
15．π； 16．①③．
三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）
17．解：∵a＝1，b＝2，c＝-8， ………………………………… 1分
∴＝＝36， ………………………………… 2分
∴， ………………………………… 3分
∴，． ………………………………… 5分
18．解：原式＝ ………………………………… 2分
＝． ………………………………… 3分
∵是方程的一个根，
∴， ………………………………… 4分
∴，
∴原式＝5-2＝3． ………………………………… 5分
19．解：(1)∵经过点A(2，0)，B(－1，3)，
∴ ………………………………… 2分
解这个方程组，得
∴所求抛物线的解析式是． ………………………………… 4分
(2)． ………………………………… 5分
20．解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴AE＝AC，∠EAC＝60°． ………………………………… 1分
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAB＝∠EAC＋∠BAC＝90°． ………………………………… 2分
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，AC＝． ………………………………… 4分
Rt△ABE中，AB＝2，AE＝AC＝，
∴BE＝＝＝． ………………………………… 5分
21．解：(1) 补全的图形如图所示； ………………………………… 3分

(2)，
同弧或等弧所对的圆周角相等． ………………………………… 5分
22．(1)证明：由题意得，
＝＝
＝＝≥0，
∴该方程总有两个实数根． ………………………………… 2分
(2)解：，
解这个方程得 ，．
∵方程恰有一个实数根为非负数，
∴≥0，
∴≥3． ………………………………… 5分
23．解：(1) ； ………………………………… 2分
(2) 记从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”为事件M．
方法一：用列表法列举所有可能出现的结果：


A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
BA

BC
BD
C
CA
CB

CD
D
DA
DB
DC







………………………………… 4分
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BC，CB，
∴P(M)＝＝． ………………………………… 6分
方法二：根据题意可以画出如下的树状图：




………………………………… 4分
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BC，CB，
∴P(M)＝＝． ………………………………… 6分
24．(1) 证明：如图，连接OE．
∵Rt△ABC中，CD为斜边中线，
∴CD＝DA＝DB＝AB，
∴∠DCB＝∠B．
∵OC＝OE，
∴∠DCB＝∠OEC，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥AB．
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∵OE为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线． ………………………………… 3分
(2)解：如图，连接DE．
∵CD为Rt△ABC斜边中线，
∴DB＝CD＝5，AB＝2CD＝10．
Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝8．
∵CD为⊙O直径，
∴DE⊥BC，
∴BE＝BC＝4．
Rt△BDE中，BD＝5，BE＝4，
∴DE＝3，
∴EF＝＝＝． ………………………………… 6分
25．解：(1) 2； ………………………………… 2分
(2) 由表中数据可知，抛物线的顶点为P(32，2)，
∴
∵抛物线经过点D(0，18)，代入中，得
，
解得，
∴主索抛物线的解析式． ………………………………… 4分
(3) ∵点P的横坐标为32，
∴距离点P水平距离为12m的点的横坐标为20，或44，
将x＝20代入中，得＝4.25，
即此时吊索的长度为4.25m．
由抛物线的对称性可得，x＝44时，吊索的长度也为4.25m，
∴两条吊索的总长度为8.5m． ………………………………… 6分
26．解：(1)
＝，
∴抛物线的顶点为P(m，‒ 4)． ………………………………… 2分
(2)∵M(0，‒3)，N(2，‒3)在抛物线上，
∴抛物线的对称轴经过MN的中点(1，‒3)，
∴． ………………………………… 4分
(3) 抛物线的开口向上，对称轴为．
①若x1＜x2≤m，显然y1＞y2，即y1＜y2恒不成立；
②若m≤x1＜x2，显然y1＜y2恒成立；
③若x1＜m＜x2，由y1＜y2可得
m－x1＜x2－m，
∴x1＋x2＞2m，
故对于x1＋x2＞4，都有x1＋x2＞2m，
∴2m≤4，
m≤2．
综上，m的取值范围是m≤2． ………………………………… 6分
27．(1)依题意补全图形，如图． ………………………………… 1分


如图，取BC中点P，连接AP．
∵AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC，∠APE＝90°．
∵AE为∠CAD的角平分线，
∴∠CAE＝∠EAD＝∠CAD，
∴∠PAE＝∠CAP＋∠CAE＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠PAE＝45°，
∴∠AEC＝45°． ………………………………… 3分
(2)BE＋DE＝AE． ………………………………… 4分
证明：如图，延长CB至F，使BF＝CE，连接AF． ………………… 5分
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABF＝∠ACE，
∴△ABF≌△ACE，
∴AF＝AE，∠F＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝90°，
∴EF＝AE．
∵AC＝AB＝AD，AE为∠CAD的角平分线，
∴AE垂直平分CD，
∴DE＝CE＝BF，
∵BE＋BF＝EF，
∴BE＋DE＝AE． ………………………………… 7分
28．解：(1)①M1，M3； ………………………………… 2分
②如图，

∵点M是点O关于线段AB的“旋垂点”，
∴在线段AB上存在点N，使得∠OMN＝90°，且OM＝MN，
当点N与点A重合时，点M的坐标为(‒2，2)，或(2，2)；
当点N与点B重合时，点M的坐标为(0，4)，或(4，0)．
观察图象可知m的取值范围是‒2≤m≤0，或2≤m≤4． ………………… 5分
(2)≤t≤‒2，或≤t≤6． ………………………………… 7分