2023北京一七一中初三（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京一七一中初三（上）期末数学（教师版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023北京一七一中初三（上）期末
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
4. 某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是【 】
A. 买1张这种彩票一定不会中奖
B. 买1张这种彩票一定会中奖
C. 买100张这种彩票一定会中奖
D. 当购买彩票数量很大时，中奖的频率稳定在1%
5. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，圆心角，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
7. 在半径为6圆中，的圆心角所对扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转得到，取的中点，的中点，则在旋转过程中，线段的最大值为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 点关于原点对称点的坐标是______．
10. 请写出一个开口向下，顶点在x轴上二次函数解析式__________________．
11. 已知，两点都在抛物线上，那么________．
12. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为11万人，5月份的参观人数增加到万人．设参观人数的月平均增长率为，则可列方程为________．
13. 如图，是 直径，，是上的两点．若，则的度数为________．

14. 如图，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长为________．

15. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50

16. 如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．

（1）点的纵坐标为________；
（2）当最大时，点的坐标为________．
三、解答题（本题共68分，17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）
17. 下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点．
求作：直线和直线，使切于点，切于点．
作法：如图，
①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；
②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点；
③作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小乐设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵是的直径，
∴________（________）（填推理的依据）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线．
18. 如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径．

19. 用配方法解一元二次方程：2x2﹣4x+1＝0．
20. 已知二次函数．

（1）二次函数的图象与轴交于点，（点在点左边），则，两点的坐标为________；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）当时，的取值范围是________．
21. 如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，在平面直角坐标系中的位置如图．

（1）画出将绕点顺时针方向旋转得到的图形；
（2）求出点经过的路径的长．
22. 在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是正数，求的取值范围．
24. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为．

与的几组对应值如下表：
（单位：）
0

1

2

3
4
…
（单位：）
2



3


4
…

（1）该喷枪的出水口到地面的距离为________；
（2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图象；

（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到，参考数据）．
25. 如图，是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，．

（1）求的大小；
（2）取的中点，连接，请补全图形；若，求的半径．
26. 已知二次函数的图象经过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）若该函数的图象与轴的一个交点为，求二次函数的解析式；
（3）当时，该函数图象上的任意两点、，若满足，，求的取值范围．
27. 如图，在三角形中，，，点为内一点，连接，，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，．

（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）当时，
①直接写出的度数为________；
②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．
28. 给出如下定义：对于的弦和外一点（，，三点不共线，且，在直线的异侧），当时，则称点是线段关于点的关联点．图1是点为线段关于点的关联点的示意图．

在平面直角坐标系中，的半径为2．
（1）如图2，，．在，，，三点中，是线段关于点的关联点的是________；
（2）如图3，，，点是线段关于点的关联点．
①的大小为________；
②在第一象限内有一点，点是线段关于点的关联点，求点的坐标；
③点在直线上，当时，直接写出点的横坐标的取值范围________．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程，得出关于的方程，解出即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1，
∴把代入方程，可得：，
解得：，
∴的值为．
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解的定义．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
2. 【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可进行解答．
【详解】解：A、既轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，解题的关键是熟练掌握相关定义．
3. 【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．
4. 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】解：A、因为中奖机会是1%，就是说中奖概率是1%，机会较小，但也有可能发生，故本选项错误；
B、买1张这种彩票中奖的概率是1%，即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错误；
C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D、当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%，故本选项正确，
故选D．
5. 【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法可直接进行求解．
【详解】解：由方程两边同时加上4可得；
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键．
6. 【答案】C
【解析】
【分析】设点是优弧上的一点，连接，，根据圆周角定理，得出，再根据圆内接四边形的对角互补，计算即可得出的度数．
【详解】解：如图，设点是优弧上的一点，连接，，

∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7. 【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式即可进行解答．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．
8. 【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据旋转的性质，得出，，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，再根据三角形三边关系，得出，进而得出当点、、三点共线时，最大，最大值为，再根据中点的性质，得出，进而即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵绕顶点顺时针旋转得到，，，，
∴，，
∵的中点，
∴，
∵，
∴当点、、三点共线时，最大，最大值为，
∵点是的中点，，
∴，
∴最大值为．

故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握三角形的三边关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 【答案】
【解析】
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
【详解】解：点（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
10. 【答案】y=-2（x+1）2．答案不唯一
【解析】
【分析】先设出二次函数解析式方程，，再根据图像开口向下可知a<0，可以得出结论.
【详解】设该二次函数的解析式为
∵抛物线的开口向下
∴a<0
又∵在x轴上
∴k=0
∴y=-2（x+1）2,答案不唯一，满足上述条件即可.
【点睛】本题主要考查了二次函数中，当a<0，时开口向下，且顶点在x轴上时要满足的条件，熟练掌握函数性质是本题解题的关键.
11. 【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
12. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为人，则5月份的人数为，根据5月份的参观人数增加到万人，列一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．
13. 【答案】##30度
【解析】
【分析】根据圆周角定理，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
14. 【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理和切线的性质，得出，，再根据等腰三角形的判定定理，得出为等腰三角形，再根据角之间的数量关系，得出，再根据等边三角形的判定定理，得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，进而即可得出答案．
【详解】解：∵，分别为的切线，
∴，，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
15. 【答案】0.5
【解析】
【分析】利用频率的计算公式进行计算即可.
【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为0.5．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度不大．
16. 【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】（1）根据三角形外心的定义，可得出的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，即可求解；
（2）点P在切点处时，最大，而四边形是矩形，由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴线段的垂直平分线为直线，
∵点M在的垂直平分线上，
∴点M的纵坐标为4，
（2）过点，，作与x轴相切，则点P在切点处时，最大，
理由：

如上图，若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，
设交于点E，连接，则，
∵是的外角，
∴，
∴，即点P在切点处时，最大，
∵经过点，，
∴点M在线段的垂直平分线上，即点M在直线上，
∵与x轴相切于点P，轴，从而，即的半径为4，
设AB的中点为D，连接，如上图，则， ，，
∵，轴，，
∴四边形是矩形，从而，
由勾股定理，得
，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）
17. 【答案】（1）见解析 （2），直径所对的圆周角为直角
【解析】
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图：
【小问2详解】
证明：∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线．
故答案为：，直径所对的圆周角为直角
【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18. 【答案】5
【解析】
【分析】根据垂径定理可得，，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵是的弦，为的中点，，
∴，，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：．
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理相关内容，根据勾股定理列出方程求解．
19. 【答案】，
【解析】
【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可．
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
20. 【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图象与轴交于点，，得出，即，解出即可得出，两点的坐标；
（2）列表、描点、连线，画出图象即可；
（3）根据（2）的图象，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象与轴交于点，（点在点左边），
∴，即，
解得：，，
∴，；
故答案为：，
【小问2详解】
解：列表：
















描点、连线，画出图象，如图所示：
【小问3详解】
解：观察图象，可得：当时，的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、用描点法画二次函数图象、二次函数的图象与性质，解本题的关键在正确画出二次函数的图象．
21. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的作图方法和作图步骤即可进行解答；
（2）点C经过的路径是以点B为圆心，长为半径，旋转角为圆心角的弧长．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
根据勾股定理得：，
点C经过的路径长为：．
【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．
22. 【答案】不公平
【解析】
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，

由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）= ，P（小亮赢）=，故此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．
23. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次函数的判别式，进行求解即可；
（2）首先根据十字相乘法解一元二次方程，得出，，然后再根据题意：方程的两个实数根都是正数，得出不等式组，解出即可得出结果．
【小问1详解】
证明：在关于的一元二次方程中，
∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：
因式分解，可得：，
于是得：或，
∴，，
∵方程的两个实数根都是正数，
∴可得：，
解得：，
∴的取值范围为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、因式分解法解一元二次方程、解不等式组，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解本题的关键．
24. 【答案】（1）
（2）见解析 （3），
【解析】
【分析】（1）令时，求得值即可；
（2）按照描点，连线的基本步骤画函数图象即可；
（3）设直线为，把，和，代入解析式，联立方程组，解出即可得出直线的解析式为，然后再把代入，求得，进而得出抛物线的顶点坐标，然后设出抛物线解析式为，把代入解析式，确定，得到抛物线解析式，再令，求得的值即可．
【小问1详解】
解：令时，得，
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意，画图如下：
【小问3详解】
解：设直线为，
把，和，代入，可得：，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，可得：，
∴水流的最高点到地面的距离为，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入解析式，可得：，
解得：，
∴，
令，可得：，
解得：或（舍去），
且，
∴此时水流的射程约为．
故答案为：，
【点睛】本题考查了一次函数图象的画法、待定系数法求一次函数的解析式、求二次函数解析式、一元二次方程的解法、 二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解本题的关键．
25. 【答案】（1）
（2）图形见解析，
【解析】
【分析】（1）连接，先求出，从而得出，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，最后根据切线的定义即可求解；
（2）连接，证明为等边三角形，将的长度用半径表示出来，再证明，根据勾股定理列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，连接，
∵，，
∴为等边三角形，
∵点M为中点，
∴，，
∴，
设半径为r，
在中，，
∵，，
∴中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
∴半径为．

【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是掌握圆周角定理，圆的切线的定义，直角三角形两个内角互余，勾股定理等相关知识．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把代入可得关于a和b的等式，再进行整理即可；
（2）把，代入，求出a和b的值即可；
（3）先求出函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性即可进行解答．
【小问1详解】
解：把代入得：
，
整理得：．
【小问2详解】
把，代入可得：
，解得：，
∴该二次函数的解析式为：．
【小问3详解】
由（1）可知，
∴该函数的对称轴为直线，
∵，
∴函数开口向下，
∴在对称轴左边，y随x增大而增大；在对称轴右边，y随x增大而减小；当时，函数取得最大值；
∵，，
∴点P在对称轴左侧，
①当点P和点Q在对称轴同侧时：，即，
②当点P和点Q在对称轴两侧时：
∵，
∴带你P到对称轴的距离，
∴点P关于直线的对称点的横坐标为：
∴．
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 【答案】（1），证明见解析
（2）①，②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明，即可得出结论；
（2）①根据三角形的内角和得出，，即可得出，再根据，即可得出结论；②延长至点Q，使，连接，先证明，得出，，再证明，得出，再根据等腰直角三角形边之间的关系，即可进行解答．
【小问1详解】
解：，证明过程如下：
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
①在中∵，
∴，
在中∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
②连接，延长至点Q，使，连接，

∵点M为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（1）可得，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：．
【点睛】本题主要考查了旋转的综合应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质，三角形的内角和，等腰直角三角形的性质．
28. 【答案】（1）
（2）①；②；③
【解析】
【分析】（1）由题意线段关于点的关联点的是以线段的中点为圆心，为半径的圆上，再结合点的坐标，即可得出答案；
（2）①作轴于，根据锐角三角函数，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据题意，得出，然后计算即可得出答案；
②作轴于，根据锐角三角函数，得出，进而得出，再根据，推出、、、四点共圆，然后再作的外接圆，再根据圆周角定理，得出，进而得出点的纵坐标和点的纵坐标相同，即，由此即可得出点的坐标；
③由②可知，，进而得出点在直线上，设直线交于、，结合图象，可得点的横坐标等于，观察图形即可得出满足条件的点的横坐标的取值范围．
【小问1详解】
解：∵由题意线段关于点的关联点的是以线段的中点为圆心，为半径的圆上，
∴，
又∵，
∴线段关于点的关联点的是；
故答案为：
【小问2详解】
解：①如图3-1中，作轴于．

∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是线段关于点的关联点，
∴，
∴；
故答案：
②如图3-2中，作轴于．

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴、、、四点共圆，
如图3-3，作的外接圆，

∵是的直径，
∴，
∴轴，
∴点的纵坐标和点的纵坐标相同，
又∵，
∴，
∴，
③如图3-3，

由②可知，，
∴点在直线上，
设直线交于、，
∵点是的中点，
∵，
∴点的横坐标等于，
观察图象，可知满足条件的点的横坐标的取值范围．
故答案为：
【点睛】本题考查了坐标与图形、锐角三角函数、圆周角定理、一次函数的图象与性质、直线与圆的位置关系，解本题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．