新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案5第一章集合常用逻辑用语不等式第五讲一元二次不等式及其解法

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案5第一章集合常用逻辑用语不等式第五讲一元二次不等式及其解法，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[5]　 第五讲　一元二次不等式及其解法A组基础巩固一、单选题1．下列不等式中解集为R的是( C )A．－x2＋2x＋1≥0  B．x2－2x＋>0C．x2＋6x＋10>0  D．2x2－3x＋4<0[解析]　在C项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R.2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( D )A.B.C.D.[解析]　不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，所以(2x＋9)(x－1)≤0，解得－≤x≤1.所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是.故选D.3．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( B )A．{x|x<－n或x>m}  B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n}  D．{x|－m<x<n}[解析]　不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)(x＋n)<0，因为m＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n<x<m}，故选B.4．若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为( D )A.B.C.D.[解析]　当0<m<1时，m<.5．不等式≥2的解集是( D )A.  B．C.∪(1,3]  D．∪(1,3][解析]　不等式可化为≤0，即≤0，解得－≤x<1或1<x≤3.6．(2023·武汉调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( C )A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析]　∵关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，∴关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，∴不等式的解集为{x|1<x<2}．7．(2023·山东淄博模拟)若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是( A )A．(－∞，1)  B．(－∞，1]C．(－1,1)  D．(－1,1][解析]　“存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0”的否定为“对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0”，下面先求对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0恒成立时a的范围．①当a＝0时，该不等式可化为2x≥0，即x≥0，显然不合题意；②当a≠0时，有解得a≥1.综合①②得a的范围为[1，＋∞)，所以存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的a的取值范围为(－∞，1)．8．(2022·广东广州期末)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为( B )[解析]　∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，∴a<0，方程ax2－x－c＝0的两个根为－2和1，则－2＋1＝，－2×1＝－，∴a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝ax2－x－c＝－x2－x＋2，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，与x轴交于点(－1,0)，(2,0)．故选B.二、多选题9．下列四个解不等式，正确的有( BCD )A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为－1[解析]　对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为，故A错误；对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－，故B正确；对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝，∴a＝3，故C正确；对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．10．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( BCD )A．a>0  B．b>0C．c>0  D．a＋b＋c>0[解析]　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0.又a<0，故b>0，c>0，故B，C正确；由二次函数的图象(图略)，可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．11．(2022·山东聊城期末)若“x2＋3x－4<0”是“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”的充分不必要条件，则实数k可以是( ACD )A．－8  B．－5 C．1  D．4[解析]　由x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，由x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0，即(x－k)[x－(k＋3)]>0，解得x<k或x>k＋3.由题意知(－4,1)(－∞，k)∪(k＋3，＋∞)，所以k≥1或k＋3≤－4，即k∈(－∞，－7]∪[1，＋∞)．故选ACD.三、填空题12．不等式－x2－3x＋4>0的解集为_{x|－4<x<1}__.[解析]　－x2－3x＋4>0⇔x2＋3x－4<0⇔(x＋4)(x－1)<0⇔－4<x<1.13．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是 　.[解析]　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.14．一元二次方程x2－(k－2)x＋k＋1＝0有一正一负实数根，则k的取值范围是_(－∞，－1)__.[解析]　解法一：依题意解得k<－1.解法二：f(0)<0.15．(2022·四川泸县四中线上月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 ∪　.[解析]　由ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知－＝5，＝6，由a<0易知c<0，－＝，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为∪.四、解答题16．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为，求k的值；(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．[解析]　(1)由不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}可知k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝，解得k＝－.(2)由不等式的解集为，可知解得k＝－.(3)依题意知解得k<－.(4)依题意知解得k≥.17．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．[解析]　(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)．因为a>0，且0<x<m<n<，所以x－m<0,1－an＋ax>0.所以f(x)－m<0，即f(x)<m.B组能力提升1．(2022·衡水中学调研卷)已知A＝{x|x2－3x－4≤0，x∈N}，B＝{x|2x2－x－6>0，x∈Z}，则A∩B的真子集个数为( B )A．2  B．3 C．7  D．8[解析]　A＝{x|(x－4)(x＋1)≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤4，x∈N}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|(2x＋3)(x－2)>0，x∈Z}＝，∴A∩B＝{3,4}，其真子集个数为22－1＝3.2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(4)<f(5)，则不等式f(1－x)<f(1)的解集为( C )A．(0，＋∞)  B．(－2，＋∞)C．(－4,0)  D．(2,4)[解析]　依题意，由f(3＋x)＝f(3－x)可知二次函数关于直线x＝3对称，又因f(4)<f(5)，则f(x)＝ax2＋bx＋c，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(x)开口向上且f(1)＝f(5)，根据二次函数的对称性，若f(1－x)<f(1)，即有1<1－x<5，所以－4<x<0.故选C.3．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( D )A．(－3,5)  B．(－2,4)C．[－3,5]  D．[－2,4][解析]　关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a,1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2.又当a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2,4]，故选D.4．(2023·江西南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( A )A．(0,1)  B．(－2,1)C．(－2,0)  D．(－，)[解析]　记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有即解得0<m<1.选A.5．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则( ABD )A．a2－b2≤4B．a2＋≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4[解析]　因为f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0.对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确；对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝>0，即b＝时，等号成立，故B正确；对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，故x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，因为不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则方程x2＋ax＋b－c＝0的两根为x1，x2，故可得＝＝＝2＝4，故可得c＝4，故D正确．6．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3,2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．[解析]　(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3,2)时，f(x)>0.所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两个根．所以所以a＝－3，b＝5.所以f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋.因为函数图象关于x＝－对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，所以f(x)max＝f(0)＝18，f(x)min＝f(1)＝12.故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝25＋12c≤0，所以c≤－，所以实数c的取值范围为.7．(2023·江苏月考)我们知道，一元二次方程的根与一元二次不等式的解集有着密切的关系．已知abc>0，且关于x的一元二次方程ax2－bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，请你研究下列问题：(1)讨论关于x的一元二次不等式ax2－bx＋c<0的解集；(2)讨论关于x的不等式ax＋<b的解集．[解析]　(1)根据题意，若a>0，则不等式的解集为：(x1，x2)，若a<0，则不等式的解集为：(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．(2)不等式可化为：或由题意，abc>0，x1<x2，①a>0，b>0，c>0时，0<x1<x2，则不等式的解集为：{x|x1<x<x2或x<0}；②a>0，b<0，c<0时，x1<0<x2，则不等式的解集为：{x|0<x<x2或x<x1}；③a<0，b>0，c<0时，x1<x2<0；则不等式的解集为：{x|x>0或x1<x<x2}；④a<0，b<0，c>0时，x1<0<x2，则不等式的解集为：{x|x>x2或x1<x<0}．