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新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案29第五章平面向量与复数第一讲平面向量的概念及其线性运算
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案29第五章平面向量与复数第一讲平面向量的概念及其线性运算,共9页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
练案[29] 第五章 平面向量与复数 第一讲 平面向量的概念及其线性运算A组基础巩固一、单选题1.如图,设P,Q两点把线段AB三等分,则下列向量表达式错误的是( D )A.= B.=C.=- D.=[解析] 由数乘向量的定义可以得到A,B,C都是正确的,只有D错误.2.(2022·四川成都七中一诊)已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则( B )A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上[解析] ∵2=2+,∴2-2=,即2=,∴点P在线段AB的反向延长线上,故选B.3.(2018·课标全国Ⅰ)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( A )A. B. C. D.[解析] +=(+)+(+)=(+)=,故选A.4.(2022·辽宁丹东模拟)设平面向量a,b不共线,若=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则( A )A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线[解析] ∵=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),=++=(a+5b)+(-2a+8b) +3(a-b)=2(a+5b)=2,∴与共线,即A,B,D三点共线,故选A.5.(2022·唐山模拟)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则等于( A )A.-2 B.- C.- D.[解析] =+=+=-+=-,所以λ=1,μ=-,因此=-2.6.(2022·南昌质检)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是( A )A.λμ=1 B.λμ=-1C.λ-μ=-1 D.λ+μ=2[解析] ∵A,B,C三点共线,∴存在实数t,使=t,即λa+b=ta+μtb,则消去参数t,得λμ=1;反之,当λμ=1时,=a+b=(a+μb)=,此时存在实数使=,故和共线.∵与有公共点A,∴A,B,C三点共线,故选A.7.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为DE的中点,若=x+,则x等于( C )A. B. C. D.[解析] 连接AE(图略),因为F为DE的中点,所以=(+),而=+=+=+,所以=(+)==+,又=x+,所以x=.8.(2023·东北师大附中等五校联考)已知向量a=,b=(cos α,1),α∈,且a∥b,则sin=( C )A.- B. C. D.-[解析] 向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则=tan α·cos α=sin α,又α∈,知cos α=-,所以sin=-cos α=.二、多选题9.(2023·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是( BC )A.单位向量都相等B.模为0的向量与任意向量共线C.平行向量一定是共线向量D.任一向量与它的相反向量不相等[解析] 对于A,单位向量的模相等,方向不一定相同,所以A错误;对于B,模为0的向量为零向量,零向量和任意向量共线,所以B正确;对于C,共线向量是方向相同或相反的非零向量,也叫平行向量,所以C正确;对于D,零向量与它的相反向量相等,所以D错误,故选B、C正确.10.下列选项中的式子,结果为零向量的是( AD )A.++B.+++C.+++D.-+-[解析] 利用向量运算,易知A,D中的式子结果为零向量.11.(2023·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( AC )A.||=||一定成立B.=+一定成立C.=一定成立D.=-一定成立[解析] 在平行四边形ABCD中,=+一定成立,=一定不成立,=-一定成立,但||=||不一定成立,故选A、C.三、填空题12.如图所示,下列结论正确的是_①③__.①=a+b;②=-a-b;③=a-b;④=a+b.[解析] 由a+b=,知=a+b,①正确;由=a-b,从而②错误;=+b,故=a-b,③正确;=+2b=a+b,④错误.故正确的为①③.13.若||=||=|-|=2,则|+|= 2 .[解析] 因为||=||=|-|=2,所以△ABC是边长为2的正三角形,所以|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,所以|+|=2.14.设a和b是两个不共线的向量,若=2a+kb,=a+b,=2a-b,且A,B,D三点共线,则实数k的值等于_-4__.[解析] ∵A,B,D三点共线,∴∥.∵=2a+kb,=+=a-2b,∴k=-4.故填-4.15.如图所示,已知∠B=30°,∠AOB=90°,点C在AB上,OC⊥AB,若用和来表示向量,则= + .[解析] 易知=+=+=+(-)=+.四、解答题16.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.[证明] (1)若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),∴-=m(-),即=m,∴与共线.又∵与有公共点B,则A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使=λ,∴-=λ(-).∴=λ+(1-λ), ①又=m+n, ②由①②得λ+(1-λ)=m+n,∵,不共线,∴∴m+n=1.17.(1)设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.①求证:A,B,D三点共线;②若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求实数k的值;(2)已知a、b不共线,若向量ka+b与a+kb共线反向,求实数k的值.[解析] (1)①证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵=2e1-8e2,∴=2,又与有公共点B,∴A,B,D三点共线.②由①可知=e1-4e2,又=3e1-ke2,由B,D,F三点共线,得=λ,即3e1-ke2=λe1-4λe2,∴解得k=12,(2)∵ka+b与a+kb共线反向,∴存在实数λ使ka+b=λ(a+kb)(λ<0).∴∴k=±1.又λ<0,∴k=-1.B组能力提升1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( C )A.矩形 B.平行四边形C.梯形 D.菱形[解析] ∵=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,∴∥.又与不平行,∴四边形ABCD是梯形.2.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中,与向量相等的向量有几个( C )A.1 B.2C.3 D.4[解析] 根据正六边形的性质和相等向量的定义,易知与向量相等的向量有,,,共3个.3.(2022·广西玉林高中模拟)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=( D )A. B. C. D.[解析] ∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴+2+3=(+)+2×(+)+3×(+)=+++++=++=. 4.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( ACD )A.若=+,则点M是边BC的中点B.若=2-,则点M在边BC的延长线上C.若=--,则点M是△ABC的重心D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的[解析] 若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;若=2-,即有-=-,即=,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若=--,即++=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;如图,=x+y,且x+y=,可得2=2x+2y,设=2,则M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.故选ACD.5.(2023·湖南师大附中高一期末)在△ABC中,已知D为BC上一点,且满足=3,则=( B )A.+ B.+C.+ D.+[解析] 在△ABC中,=3,所以=+=+=+(-)=+.故选B.6.(2023·衡水调研)如图所示,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则=( D )A.-+ B.+C.- D.-[解析] =-,=+.∵E为BC的中点,F为AE的中点,∴=,=,∴=-=-=(+)-=+-,又=,∴=-.7.(2022·兰州诊断)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是 .[解析] 由已知得AD=1,CD=,所以=2.因为点E在线段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).因为=+=+λ=+,又=+μ,所以μ=.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.
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