新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案33第五章平面向量与复数第五讲复数

练案[33] 第五讲　复数

A组基础巩固

一、单选题

1．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( A )

A．a＝1，b＝－1  B．a＝1，b＝1

C．a＝－1，b＝1  D．a＝－1，b＝－1

[解析]　解法一：由题意知a＋b＋2ai＝2i，所以解得故选A.

解法二：由题意知a＋b＋(2a－2)i＝0，所以解得故选A.

2．(2022·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为( D )

A．1  B．2

C．  D．

[解析]　依题意，|z|＝＝，故选D.

3．(2023·3月份北京市高考适应性测试)在复平面内，复数i(3－2i)对应的点的坐标为( B )

A．(3,2)  B．(2,3)

C．(－2,3)  D．(2，－3)

[解析]　i(3－2i)＝3i＋2＝2＋3i，故选B.

4．(2020·课标Ⅲ)复数的虚部是( D )

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　利用复数除法法则得＝＝，所以虚部为，选D.

5．(2023·贵州37校联考)复数z＝的共轭复数是( D )

A．1＋i  B．1－i

C．i  D．－i

[解析]　因为z＝＝i，故z的共轭复数＝－i，故选D.

6．(2021·全国乙理)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝( C )

A．1－2i  B．1＋2i

C．1＋i  D．1－i

[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.

7．(2023·五省优创名校联考)若复数z1，z2满足z1＝－，z1(z2－2)＝1，则|z2|＝( A )

A.  B．3

C．  D．4

[解析]　因为z1＝－＝，z2＝＋2＝，所以|z2|＝.

8．(2022·咸阳模拟)设复数z满足|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为( D )

A．(x＋1)2＋y2＝1

B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1

D．(x－1)2＋(y＋1)2＝1

[解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即＝1，则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.

二、多选题

9．如果复数z＝，则下面正确的是( ABD )

A．z的共轭复数为－1＋i

B．z的虚部为－1

C．|z|＝2

D．z的实部为－1

[解析]　因为z＝＝＝＝－1－i，所以z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，故选A、B、D.

10．已知复数z满足i2k＋1·z＝2＋i，(k∈Z)则复数z在复平面内对应的点可能位于( BD )

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

[解析]　∵i2k＋1·z＝2＋i，∴z＝，

当k为奇数时，i2k＋1＝－i，

∴z＝－1＋2i，位于第二象限；

当k为偶数时，i2k＋1＝i，

∴z＝1－2i，位于第四象限，

故选B、D.

11．(2022·福州期中)设z∈C，则下列说法正确的是( AD )

A．|z|2＝·z

B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|

C．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0

D．若|z|＝1，则|z－i|≤2

[解析]　A选项，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，|z|2＝a2＋b2，·z＝a2＋b2，所以|z|2＝·z，故A正确；

B选项，令z1＝1＋i，z2＝1－i，则|z1＋z2|＝2，|z1|＋|z2|＝2，不满足|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，故B错误；

C选项，若z1＝i，z2＝1，则z＋z＝0，但不满足z1＝z2＝0，故C错误；

D选项，若|z|＝1，不妨令z＝cos θ＋sin θ·i，则|z－i|＝＝≤2，故D正确．故选AD.

三、填空题

12．(2022·上海卷)已知复数z＝2＋i(其中i为虚数单位)，则＝_2－i__.

[解析]　若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝2－i.

13．设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量对应的复数是_5－5i__.

[解析]　∵向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴＝(2，－3)，＝(－3,2)，∴＝－＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.

14．(2022·江苏南京十三中调研)已知复数z＝，则复数z的虚部为 　.

[解析]　由题意得，复数z＝＝＝＋i，所以复数z的虚部为.

15．(2023·浙江温州联考)已知复数z＝(a∈R)的实部为，则a＝ 　，|z|＝_2__.

[解析]　∵z＝＝＝a－i的实部为，∴a＝，则|z|＝＝2.

16．(2022·辽宁模拟)若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝_1＋i__.

[解析]　z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i.由|z－2i|＝|z|知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i.

17．(2022·潍坊模拟)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝_0__；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第_二__象限．

[解析]　由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得解得a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0，所以z＝－1＋i，复数z在复平面内对应的点为(－1,1)，位于第二象限．

B组能力提升

1．(2023·河北张家口期末)已知i为虚数单位，复数z满足(1－2i)z＝3－4i，则复数z在复平面内对应的点位于( C )

A．第二象限  B．第三象限

C．直线2x－11y＝0上  D．直线2x＋11y＝0上

[解析]　本题考查复数代数形式的四则运算及复数的几何意义．

由(1－2i)z＝3－4i，得z＝＝＝＋i.

故复数z在复平面内对应点的坐标为，位于直线2x－11y＝0上，故选C.

2．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝( A )

A.－i  B．－＋i

C．－－i  D．＋i

[解析]　由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i，则z2＝3＋i，则根据复数的运算，得＝＝－i.

3．(多选题)已知复数z＝，则( ABC )

A．z2 021是纯虚数

B．|z＋i|＝2

C．z的共轭复数为－i

D．复数＋z·i在复平面内对应的点在第二象限

[解析]　由题意知，z＝＝＝i，所以z2 021＝i2 021＝i，A正确；|z＋i|＝|2i|＝2，B正确；z的共轭复数为－i，C正确；＋z·i＝－i＋i·i＝－1－i，该复数在复平面内对应点(－1，－1)在第三象限，D错误．

4．(2022·河南商丘九校联考)若复数z＝(a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则|z|的值为( A )

A．1  B．

C．  D．2

[解析]　由题意可设z＝＝bi(b∈R且b≠0)，则b＋abi＝1＋i，解得b＝1，即z＝i，则|z|＝1，故选A.

5．(2022·潍坊模拟)在复数范围内，已知p，q为实数，1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q等于( C )

A．2  B．1

C．0  D．－1

[解析]　因为1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则1＋i是方程x2＋px＋q＝0的另一根，由根与系数的关系可得解得p＝－2，q＝2，所以p＋q＝0.

6．(2023·福建福州五校联考)若复数(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为( B )

A．－6  B．－3

C．3  D．6

[解析]　解法一：由题意可设＝a＋ai(a∈R)，即1－bi＝(2＋i)(a＋ai)，得∴b＝－3.

解法二：＝＝，

∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.

7．(2022·西藏拉萨十校联考)已知复数z满足：|z|＝|3－2z|，且z的实部为2，则|z－1|＝( B )

A．3  B．

C．3  D．2

[解析]　设z＝2＋bi(b∈R)，根据题意得到4＋b2＝1＋4b2⇒b＝±1，∴z＝2±i.则|z－1|＝，故选B.

8．(2023·山西大同模拟)若复数z满足|z－－i|＝1(i为虚数单位)，则|z|的最大值为( C )

A．1  B．2

C．3  D．＋1

[解析]　本题考查复数的四则运算及复数的模．设z＝x＋yi(x，y∈R)，

由|z－－i|＝1可得复数(x－)2＋(y－1)2 ＝1，

即复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(，1)为圆心，以1为半径的圆，则|z|的最大值为＋1＝3，故选C.