新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案35第六章数列第二讲等差数列及其前n项和

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案35第六章数列第二讲等差数列及其前n项和，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[35]  第二讲　等差数列及其前n项和A组基础巩固一、单选题1．(2022·北京模拟)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6＝( D )A．38  B．39 C．41  D．42[解析]　设等差数列{an}的公差为d，由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，得3×2＋6d＝24，得d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.2．(2023·福州质检)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列为等差数列，则a9＝( C )A.  B． C．  D．－[解析]　因为数列为等差数列，a3＝2，a7＝1，所以数列的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，则n＝( D )A．3  B．7 C．9  D．10[解析]　因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，所以d＝＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.4．(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.若S10＝40，a6＝5，则( C )A．d＝3  B．a10＝12C．S20＝280  D．a1＝－4[解析]　依题意，得S10＝＝5(a5＋a6)＝40，解得a5＝3，则d＝a6－a5＝2，则a10＝a6＋4d＝5＋8＝13，a1＝a5－4d＝3－8＝－5，S20＝20a1＋190d＝－100＋380＝280，故选C.5．(2022·济南二模)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝( A )A．－  B．－3 C．－6  D．2[解析]　因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝2a8＝－6，a8＝－3，a2a14＝2，所以＝＝－.故选A.6．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( D )A．d>  B．d<C.<d<  D．<d≤[解析]　由题意可得即解得<d≤.故选D.7．(2022·六校联盟第二次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝( C )A．18  B．16 C．14  D．12[解析]　设{an}的公差为d，由可得解得所以a10＝－4＋9×2＝14，选C.8．(2023·菏泽联考)跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要( B )A．16天  B．17天C．18天  D．19天[解析]　依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程(单位：千米)依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，设经过n天后他完成健身计划，则8n＋×≥200，整理得n2＋31n－800≥0.因为函数f(x)＝x2＋31x－800在[1，＋∞)上为增函数，且f(16)<0，f(17)>0，所以n≥17.故选B.二、多选题9．在等差数列{an}中，其前n项的和是Sn，若a1＝－9，d＝3，则( ABD )A．{an}是递增数列B．其通项公式是an＝3n－12C．当Sn取最小值时，n的值只能是3D．Sn的最小值是－18[解析]　由d＝3>0，可知等差数列{an}为递增数列，A正确；由题设，an＝a1＋(n－1)d＝－9＋3(n－1)＝3n－12，B正确；Sn＝＝＝，故当n＝3或4时，Sn取最小值且为－18，故C错误，D正确，故选ABD.10．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是( AD )A．d>0B．a1>0C．当n＝5时Sn最小D．Sn>0时，n的最小值为8[解析]　∵a7＝3a5，∴a1＋6d＝3a1＋12d，∴a1＝－3d，由已知得d>0，∴a1<0，故A正确，B不正确．Sn＝n2＋(a1－)n＝n2－dn＝(n2－7n)，当n＝3或4时，Sn最小，故C不正确．Sn>0解得n>7或n<0，因此Sn>0时n最小为8，故D正确，选AD.11．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有( AC )A．a10＝0  B．S10最小C．S7＝S12  D．S20＝0[解析]　根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d，又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，则有a10＝0，故A一定正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，则有S7＝S12，故C一定正确；则S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d，∵d≠0，∴S20≠0，则D不正确．三、填空题12．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝_25__.[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.13．已知等差数列{an}的前n项为Sn，若S4＝3，S5＝4，则a9＝ 　.[解析]　由题知：，解得a1＝，d＝.∴a9＝a1＋8d＝＋8×＝.14．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝_3__.[解析]　因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.15．记Sn为正项等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，a3·a4＝S7，则Sn＝ n2－n　.[解析]　设等差数列的公差为d，由题意得a3·a4＝S7＝×7＝7a4，所以a3＝7，所以1＋2d＝7，∴d＝3，所以Sn＝n＋×3＝n2－n.故答案为：n2－n.四、解答题16．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．[解析]　(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由S9＝－a5得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．17．(2022·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足an·Sn＝(Sn－1)2.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解析]　(1)证明：当n＝1时，由an·Sn＝(Sn－1)2得a1＝S1＝，当n≥2时，由an·Sn＝(Sn－1)2有(Sn－Sn－1)·Sn＝(Sn－1)2，所以Sn＝，则－＝－＝－＝＝－1，又＝－2.所以数列是以－2为首项，以－1为公差的等差数列．(2)由(1)知＝－2－(n－1)＝－n－1，所以Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.当n＝1时，a1＝也满足an＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.B组能力提升1．(2023·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S5＝10，则{an}的公差为( C )A.  B． C．  D．[解析]　由题意知a1＋a2＝3①，S5＝＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝，故选C.2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S674＝2，S1 348＝12，则S2 022＝( C )A．22  B．26 C．30  D．34[解析]　由等差数列的性质知，S674，S1 348－S674，S2 022－S1 348成等差数列，则2(S1 348－S674)＝S674＋S2 022－S1 348，即2×(12－2)＝2＋S2 022－12，解得S2 022＝30.3．(2020·课标Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( C )A．3 699块  B．3 474块 C．3 402块  D．3 339块[解析]　本题考查等差数列的性质及其前n项和．设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列{an}，由题意知a1＝9.又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，所以数列{an}为公差为9的等差数列．解法一：设每层环数为n(n∈N*)，则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a1，a2，…，an，中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为an＋1，an＋2，…，a2n，下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a2n＋1，a2n＋2，…，a3n.由题意知(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝729，由等差数列的性质知a2n＋1－an＋1＝a2n＋2－an＋2＝…＝a3n－a2n＝9n，所以9n2＝729，得n＝9.则数列{an}共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和，即27×9＋×9＝3 402，故选C.解法二：设每层环数为n(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝9n2，则9n2＝729，解得n＝9.则数列{an}共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和，即27×9＋×9＝3 402，故选C.4．(多选题)(2023·商洛市高考模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有( ABC )A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短[解析]　由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d1寸，则135＝15＋12d1，解得d1＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d2＝－10(单位都为寸)．故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d2＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d1＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d1＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d1＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d2＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误．故选A、B、C.5．(2022· 北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( C )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　设无穷等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，若{an}为递增数列，则d>0，则存在正整数N0，使得当n>N0时，an＝dn＋a1－d>0，所以充分性成立；若存在正整数N0，使得当n>N0时，an＝dn＋a1－d>0，即d>对任意的n>N0，n∈N*均成立，由于n→＋∞时，→0，且d≠0，所以d>0，{an}为递增数列，必要性成立．故选C.6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且对任意正整数n都有＝－1，则Sn＝ 　.[解析]　∵对任意正整数n都有＝－1，∴＝－＝－1，即－＝1，又＝1，∴数列是首项与公差都为1的等差数列．∴＝1＋n－1＝n，解得Sn＝.7．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.[解析]　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，∵a1＝8，a4＝2，∴d＝＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，∴Tn＝8．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<2.[解析]　(1)解法一：因为a1＝1，所以＝1，又是公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝.因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以＝(n≥2)，所以＝(n≥2)，整理得＝(n≥2)，所以××…××＝××…××＝(n≥2)，所以Sn＝(n≥2)，又S1＝1也满足上式，所以Sn＝(n∈N*)，则Sn－1＝(n≥2)，所以an＝－＝(n≥2)，又a1＝1也满足上式，所以an＝(n∈N*)．解法二：因为a1＝1，所以＝1，又是公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝，所以Sn＝an.因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以an－1＝an(n≥2)，所以＝(n≥2)，所以××…××＝×××…××＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，又a1＝1也满足上式，所以an＝(n∈N*)．(2)证明：因为an＝，所以＝＝2，所以＋＋…＋＝2＝2<2.