2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测9解三角形

这是一份2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测9解三角形，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点过关检测9解三角形一、单项选择题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝，c＝，B＝60°，则C＝(　　)A．30°    B．60°C．150°    D．30°或15°2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＋b＝2c(cos A＋cos B)，则角C的大小为(　　)A．    B．C．    D．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A cos C＝sin B，4b2＝a2，则(　　)A．2c＝aB．2c＝aC．2a＝c    D．2a＝c4．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围为(　　)A．(，)    B．(，)C．(，)    D．二、多项选择题5．[2023·江西上饶期末]若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是(　　)A．若＝，则△ABC为等腰三角形B．若＝，则△ABC为等腰三角形C．若a cos B－b cos A＝c，则△ABC为直角三角形D．若cos2＝，则△ABC为直角三角形[答题区]题号12345答案     三、填空题6．[2023·河北张家口一中模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cosC＋c sin A＝0，c＝2，b＝4，则sin A＝________．7．[2023·安徽安庆模拟]如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A＝30°，BD＝2AD，AC＝5，则△ABC的面积为________.四、解答题8．[2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.(1)求△ABC的面积；(2)若sin A sin C＝，求b.         9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC为钝角，且2AC·sin ∠BAC＝BC.(1)求∠ABC的大小；(2)AB＝2，AC＝2，BD平分∠ABC，且△BCD的面积为3，求边CD的长．         10．[2023·河北深州中学模拟]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，若b＝，________．请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答．条件：①a sin ＝b sin A；②b sin A＝a cos (B－)；③a2＋c2－b2＝ab cos A＋a2cos B．结论：①求△ABC的周长的取值范围；②求△ABC的面积的最大值．        考点过关检测9　解三角形1．答案：A解析：因为b＝，c＝，B＝60°，由正弦定理＝，即＝，解得sin C＝，因为0°<C<120°，所以C＝30°.故选A.2．答案：B解析：因为a＋b＝2c（cos A＋cos B），则a＋b＝2c（＋），整理得（a＋b）（c2－a2－b2＋ab）＝0，所以c2－a2－b2＋ab＝0即a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），所以C＝.故选B.3．答案：B解析：∵sin A cos C＝sin B，sin A≠0，∴由正弦定理得cos C＝＝，因为a2＝4b2，所以a＝2b，即cos C＝，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝a2，即2c＝a.故选B.4．答案：A解析：△ABC为锐角三角形，故⇒⇒<A<，故cos A∈（，），进而由正弦定理可得＝＝＝＝∈（，）.故选A.5．答案：ACD解析：在△ABC中，正弦定理＝＝＝2R，对于A，若＝，则根据正弦定理得：＝⇒a2＝b2⇒a＝b，即△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，若＝，则根据正弦定理得：＝⇒sin A cos A＝sin B cos B⇒sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈（0，π），A＋B∈（0，π），∴2A，2B∈（0，2π）且2A＋2B∈（0，2π），∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由射影定理得a cos B＋b cos A＝c，又a cos B－b cos A＝c，即b cos A＝0，而b≠0，则cos A＝0，A＝，△ABC为直角三角形，C正确；对于D，cos2＝⇔＝⇔c cos A＝b，由射影定理b＝a cos C＋c cos A得，即a cos C＝0，而a≠0，则cos C＝0，C＝，△ABC为直角三角形，D正确．故选ACD.6．答案：解析：由a cos C＋c sin A＝0，所以sin A cos C＋sin C sin A＝0，因为A∈（0，π），所以sin A>0，所以cos C＋sin C＝0，则tan C＝－，又C∈（0，π），所以C＝.由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即（2）2＝42＋BC2－2×4·BC·cos ，解得BC＝2或BC＝－6（舍去），由正弦定理得＝，即＝，所以sin A＝.7．答案：解析：因为BD＝2AD，设AD＝m，则BD＝2m，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos A＝m2＋75－15m，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝9m2＋75－45m，因为CD⊥BC，即BD2＝BC2＋CD2，于是得10m2－60m＋150＝4m2，解得m＝5，则AB＝15，所以△ABC的面积S＝AB·AC sin A＝×15×5sin 30°＝.8．解析：（1）由题意得S1＝·a2·＝a2，S2＝b2，S3＝c2，则S1－S2＋S3＝a2－b2＋c2＝，即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理得cos B＝，整理得ac cos B＝1，则cos B>0，又sin B＝，则cos B＝ ＝，ac＝＝，则S△ABC＝ac sin B＝.（2）由正弦定理得：＝＝，则＝·＝＝＝，则＝，b＝sin B＝.9．解析：（1）由条件可得＝，由正弦定理得＝，∴sin ∠ABC＝.由题意，<∠ABC<π，∴∠ABC＝.（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC，∴28＝4＋BC2－4BC×，解得BC＝4，由题意，∠DBC＝，S△BDC＝BD·BC·sin ∠DBC＝×4×BD＝3，∴BD＝3，在△DBC中，由余弦定理得：CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝32＋42－2×3×4×＝13，∴CD＝.综上，CD＝.10．解析：若选条件①，则由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，因为△ABC的内角A，B，C，sin A>0，所以sin ＝sin B，所以sin ＝2sin cos ，即cos ＝2sin cos ，又因为cos >0，所以sin ＝，因此B＝；若选条件②，则由正弦定理＝可得b sin A＝a sin B，∴b sin A＝a cos （B－）＝a sin B，∴cos （B－）＝cos B＋sin B＝sin B，可得tan B＝.又B∈（0，π），因此B＝；若选条件③，则由余弦定理a2＋c2－b2＝ab cos A＋a2cos B＝2ac cos B，即b cos A＋a cos B＝2c cos B，∴sin B cos A＋sin A cos B＝2sin C cos B，所以sin （A＋B）＝2sin C cos B＝sin C，又sin C>0，所以cos B＝，又B∈（0，π），因此B＝；若选择结论①，因b＝，所以由余弦定理可得：a2＋c2－ac＝13，所以（a＋c）2－13＝3ac≤3·，解得a＋c≤2（当且仅当a＝c＝时取等号）又a＋c>b＝，所以<a＋c≤2，即2<a＋b＋c≤3，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]；若选择结论②，因b＝，所以由余弦定理可得：a2＋c2－ac＝13，即13＋ac＝a2＋c2≥2ac（当且仅当a＝c时取等），故ac≤13，所以△ABC的面积S＝ac sin B＝ac≤，即△ABC的面积的最大值为.