2022-2023学年江西省上饶市高一（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年江西省上饶市高一（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

1.  已知全集，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知是实数，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  为庆祝中国共产党成立周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生人、人、人，现欲采用分层随机抽样法组建一个人的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

4.  不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  函数的部分图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若，，，则有(    )

A.  B.  C.  D.

7.  现有件正品和件次品，从中不放回的依次抽取件产品，则事件“第二次抽到的是次品”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  一组数据，，，的平均数是，方差为，关于数据，，，，下列说法正确的是(    )

A. 平均数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 方差是

10.  若，则下列不等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是(    )

A. 函数的值域为
B. 若，则
C. 若，则
D. ，

12.  已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 函数在上是减函数
C.
D. 不等式的解集为

13.  我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内有夹谷，抽样取米一把，数得粒米内有夹谷粒，则这批米内夹谷约为        石

14.  若，，则的取值范围为______．

15.  已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______ ．

16.  设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为        ．

17.  ；
．

18.  从某中学随机抽样名学生，获得了他们一周课外阅读时间单位：小时的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：，，，，，，．

求该样本数据的平均数同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替；
估计该校学生每周课外阅读时间超过小时的概率．

19.  已知函数，
当时，求不等式的解集；
若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围．

20.  已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
补充完整图像，写出函数的解析式和其单调区间；
若函数，求函数的最小值．

21.  为了做好新冠疫情防控工作，某学校准备每天对各班级利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量单位：随时间单位：的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为、为常数，其图象经过，，根据图中提供的信息，解决下面的问题．
求从药物释放开始，与的函数关系式；
据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由．

22.  已知函数，．
判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
若对一切实数成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为全集，集合，
所以．
故选：．
根据集合补集运算求解即可．
本题主要考查补集的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为是实数，
当时，可能为，也可能不为，故不是的充分条件；
当时，必有，故是的必要条件；
所以“”是“”的必要而不充分条件．
故选：．
利用充分必要条件的定义进行推理即可．
本题考查了充分条件和必要条件的判断问题，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：依题意，设应抽取高三学生人，
则，解得，
所以应抽取高三学生人．
故选：．
利用分层抽样的计算公式即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，
故选：．
根据解一元二次不等式的方程进行求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，，故选项D错误；
当时，，故选项B错误；
当时，，故选项C错误；
故选：．
特殊值检验即可．
本题考查根据函数解析式确定函数图象，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为指数函数为上的增函数，则，
对数函数为上的增函数，则，
对数函数为上的增函数，则，
因此．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系．
本题主要考查对数值大小的比较，考查函数思想与运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：记件正品为，件次品分别记为、，用表示第一次抽到正品，第二次抽到次品，
从这件产品中不放回的依次抽取件产品，所有的基本事件有：、、、、、，共种，
其中，事件“第二次抽到的是次品”所包含的基本事件有：、、、，共种，
故所求概率为．
故选：．
记件正品为，件次品分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为是定义在上的偶函数，且该函数在上为减函数，
所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，即，即，
解得或．
故选：．
分析可知偶函数在上为增函数，由可得出，解之即可．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：数据，，，的平均数是，方差为，
数据，，，的平均数是，方差为．
故选：．
根据平均数和方差的性质，即可求解．
本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，，，故结论成立；
取，，则
，不正确；
，，不正确；
，，，不正确．
故选：．
对于，用不等式的性质可以论证，对于，，，列举反例，可以判断．
本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，不正确结论，列举反例．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查狄利克雷函数的应用，根据条件讨论变量是有理数还是无理数是解决本题的关键，是中档题．
根据狄利克雷函数的表达式讨论是有理数和无理数时是否成立即可．

【解答】

解：函数的值域为，故A错误，
若，则，则，即成立，故B正确，
若，即，
当时，，，则，
当时，，，则不一定成立，故C错误，
当时，满足，此时，成立，故D正确，
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的应用，考查了函数的单调证明与函数求值及利用单调性解不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．
利用赋值法求得，判断；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断；利用，可求得中式子的值，判断；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断．

【解答】

解：
对于，令，得，所以，故A正确；
对于，令，得，所以，
任取，，且，则，
因为，所以，所以，所以在上是减函数，故B正确；
对于，
，故C错误；
对于，因为，且，所以，
所以，所以等价于，
又在上是减函数，且，
所以，
解得，故D正确，
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：设这批米内夹谷约为粒，
则，解得，
则这批米内夹谷约为．
故答案为：．
用样本频率估计总体频率，按比例计算．
本题主要考查简单随机抽样的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，所以，则，
又因为，所以，
故的取值范围为．
故答案为：．
利用不等式的性质逐步计算即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．
故答案为：．
利用相互独立事件的概率以及对立事件的概率公式求解即可．
本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用以及对立事件的概率关系的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：画出函数的图象如下图所示，

令，则方程可化为．
由图可知：当时，与有个交点，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同实数根，所以，，
解得，因此，实数的取值范围为．
故答案为：．
作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可．
本题主要考查分段函数的及其应用，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：原式；
原式


． 

【解析】利用指数的运算性质计算，可得出所求代数式的值；
利用对数的运算性质计算，可得出所求代数式的值．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：依题意，结合频率分布直方图，
该周课外阅读时间在的频率为：，
所以该样本数据的平均数为；
阅读时间超过小时的概率为，
所以估计该校学生每周课外阅读时间超过小时的概率为． 

【解析】利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；
结合中结论，求得，，频率之和即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为，
所以令，则，
当时，，
令，解得或，
即或，解得或，
所以原不等式的解集为或．
因为函数在上单调递增，
所以函数在上存在两个零点等价于函数在存在两个零点，
因为开口向上，对称轴为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为． 

【解析】令，先由得到的取值范围，再求得的取值范围即可；
结合中结论，将问题转化函数在存在两个零点，从而利用二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，属于中档题．
 

20.【答案】解：根据题意，当时，，可得，
函数是定义在上的偶函数，可得，
则；函数图象如图：
其递减区间为、，递增区间为、；
当时，，
对称轴为，
当，即时，在递增，可得为最小值，且为；
当，即时，在递减，可得为最小值，且为；
当，即时，的最小值为，且为，
故． 

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，涉及函数的图象和最值，属于基础题．
由，可得，运用已知函数解析式和偶函数的定义可得解析式，作出函数的图象，由此分析单调性可得答案；
根据题意，求得的解析式，以及对称轴，讨论区间与对称轴的关系，结合单调性可得最小值．
 

21.【答案】解：依题意，当时，设，
因函数的图象经过点，即，解得，
又当时，，解得，
而图象过点，则，因此，
所以与的函数关系式是；
由知，因药物释放完毕后有，其中，
则当空气中每立方米的药物含量降低到以下，有，
所以，，解得，
因此至少需要分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为分钟，
所以学校可以选用这种药物用于教室消毒． 

【解析】当时，设，根据图象求出、、的值，可得出与的函数关系式；
由知，因药物释放完毕后有，其中，解不等式，即可得出结论．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数不等式的解法，属于中档题．
 

22.【答案】解：是定义在上的偶函数，
证明：由题意得的定义域为，
则，
故是定义在上的偶函数；
，，对一切实数成立，
对一切实数成立，即，
对一切实数成立，
，当且仅当，即时等号成立，
，即，
，解得，
故实数的取值范围为． 

【解析】由题意得的定义域为，是定义在上的偶函数，利用定义，即可证明结论；
题意转化为，即对一切实数成立，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．