河北省石家庄市第二中学2016-2017学年高二上期中考试数学试题
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数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2.以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
3.下列命题中是假命题的是（ ）
A．方程表示一个点
B．若，则方程表示焦点在轴上的椭圆
C．已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的一支
D．以过抛物线焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是相切
4.双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
5.椭圆的两顶点为，且左焦点为，是以为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．128 B．127 C.64 D．63
7.“函数在上为单调递减函数”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充要条件 D．既不充分又不必要条件
8.已知点，的焦点是，是上的动点，为使取得最小值，则点坐标为（ ）
A． B． C. D．
9.设为椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
10.已知为双曲线右支上的一点，是该双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为（ ）
A． B． C. D．
11.设，，若是的充分而不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.已知双曲线的右顶点为，若双曲线右支上存在两点使得为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“”的否定为 ．
14.在平面直角坐标系中，曲线的离心率为，且过点，则曲线的方程为 ．
15.过点且与圆内切的圆的圆心的轨迹方程为 ．
16.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦的中点在准线上的射影为，则的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，其中左焦点为
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆外，求的取值范围.
- （本小题满分12分）
已知函数，
（I）求函数的最小值；
（II）已知，命题：关于的不等式对任意的恒成立；命题：指数函数是增函数，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.
- （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形侧面底面，为中点，
（I）在线段上是否存在点,使得//平面，指出点的位置并证明；
（II）求二面角的余弦值.
- （本小题满分12分）
已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足（为坐标原点），记点的轨迹为.
（I）求曲线的方程；
（II）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程.
21. （本小题满分12分）
如图，已知与所在的平面互相垂直，且，，，点分别在线段上，沿直线将向上翻折，使与重合.
（I）求证：；
（II）求直线与平面所成的角.
22. （本小题满分12分）
已知椭圆的焦点在原点，左焦点，左顶点，上顶点，的周长为，的面积为
（I）求椭圆的标准方程；
（II）是否存在与椭圆交于两点的直线使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5:ADCBB 6-10:BBACB 11、12：AA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（I）由题得：…………………………………………2分
解得，所以椭圆方程为…………………………………………3分
，…………………………………………6分
，…………………………7分
在圆外
，所以或………………………9分
所以或………………………10分
- （I）由得函数的最小值为1………………4分
（II）由（I）得对任意恒成立
即，解得
命题……………………………………………6分
命题指数函数是增函数，
命题…………………………8分
由“或”为真，“且”为假分两种情况：
若真假，则，解得………………………10分
若假真，则，解得
所以实数的取值范围为…………………………………12分
19.（I）存在点，为线段的中点…………………1分
证明：如图，连结
因为底面是正方形，所以与互相平分
又因为是中点，所以是中点
所以………………………………3分
又因为，
所以…………………………5分
（II）取中点
在中，因为，所以
因为面底面，且面面
所以
因为，所以
又因为是的中点，所以……………………7分
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系
因为，所以，则
于是
因为，所以是平面的一个法向量………………9分
设平面的一个法向量是………………11分
因为，所以，即
令，则
所以
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为……………12分
- （I）设点，点
因为，所以，即
当时，三点共线，不合题意，故
所以曲线的方程为…………4分
（II）直线与曲线相切，所以直线的斜率存在
设直线的方程为
由得……………6分
直线与曲线相切，
……………8分
点到直线的距离
当且仅当时等号成立，此时……………11分
所以直线的方程为……………12分
- （I）证明：，又
，…………4分
（II）取中点，中点
如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系……………5分
不妨设，则……………6分
由,即
解得，所以……………8分
故……………9分
设为平面的一个法向量，
因为
由，即，所以……………10分
设直线与平面所成的角为，
则，所以
即直线与平面所成的角为……………12分
- （I）设椭圆的方程为，半焦距为
依题意的周长为，
的面积为
又，所以
所以椭圆的方程为……………3分
（II）存在直线，使得成立……………4分
利用如下：由得
，
化简得……………6分
设，在
若成立，即
等价于，所以……………7分
化简得，……………9分
将，
解得……………10分
又由，……………11分
从而，
所以实数的取值范围是……………12分
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