【解析版】河北省石家庄市第二中学2019届高三上学期期末考试模拟文科数学试卷

这是一份【解析版】河北省石家庄市第二中学2019届高三上学期期末考试模拟文科数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

石家庄二中2018-2019学年第一学期期末试卷
高三数学理科模拟试题
一、选择题：本题共12小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
设，代入，得，由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．
【详解】解：设，[来^源:中&~#教*网]
由，得，
即，
，解得，．[来^&源%:中教*网#]
复数z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.已知全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）

A. B. [中^国教@育出版~*&网]
C. D.
【答案】C
【解析】[来#源:~中国%教*育@出版网]
【分析】
由题意可得，，由文氏图可得题中表示的集合为，据此可得图中阴影部分表示的集合.
【详解】求解分式不等式可得，
求解指数不等式可得，
由文氏图可得题中表示的集合为，
易知，故.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的基本运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.等差数列的前9项的和等于前4项的和，若，则k=（ ）
A. 10 B. 7 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】[来&^@源:中教网%~]
由等差数列的性质可得，然后再次利用等差数列的性质确定k的值即可.[来@源#:^中国教育&出版~网]
【详解】由等差数列的性质可知：,
故，则，结合题意可知：.[来@*源:中%教网~&]
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.
4.某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（ ）[中^%&国#教育@出版网]
A. B. C. D.
【答案】D[中国*教育^#出&版网%]
【解析】[来^%源:中教网#~*]
【分析】[来@源:^中国教~%育出版#网]
已知随机选派2人参加围棋比赛的方法有种，而选出的2人中没有女队员的方法有种，据此可得满足题意的概率值.
【详解】由题意结合排列组合公式可得随机选派2人参加围棋比赛的方法有种，而选出的2人中没有女队员的方法有种，[来@*源:中%^教网&]
结合古典概型计算公式可得：选出的2人中有女队员的概率为.[来源^:中~#&教*网]
本题选择D选项.[来*源:&@#^中教网]
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
5.双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）[来%源&~:*zzstep.co@m]
A. 2 B. C. 1 D. 与m的值有关
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，据此可得右焦点坐标为，渐近线方程为,利用点到直线距离公式求解其距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线方程即：，
故，
则右焦点坐标为，易知双曲线的渐近线方程为,
故右焦点到一条渐近线的距离为.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.[www.%zzs@t&ep#.com*]
6.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）[中~国#教育出版网&^%]
A. 向左平行移动个单位长度[来@#源*:中%&教网]
B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度
D. 向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
结合辅助角公式可得，据此确定函数需要平移的方向和长度即可.
【详解】由于，[来^源#:%中教&@网]
故要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查函数的平移变换公式，三角函数图像平移的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.在中，，则的形状可能是（ ）[中国教育出%~@版#网*]
A. 钝角或锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 锐角或直角三角形[w#ww.z@zs^te%p~.com]
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理可得，结合大边对大角可知∠B为△ABC中的最大角，求解的值即可确定△ABC的形状.
【详解】由余弦定理有：，即，
整理可得：，解得：，
由于，结合大边对大角可知∠B为△ABC中的最大角，
当时，，△ABC为锐角三角形；
当时，，△ABC为钝角三角形；[来源~:zzst%ep.c&*#om]
综上可得：的形状可能是钝角或锐角三角形.
本题选择A选项.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
8.若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（ ）
A. -7 B. C. D. [来^*源:%zzstep&.com@]
【答案】C
【解析】
【分析】
首先画出不等式组表示的可行域，目标函数即：，结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值时点的坐标即可求得其最大值.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，[来源:&^中国#教~育出版@网]
其中表示可行域内的点与连线的斜率值，
据此结合目标函数的几何意义可知在点处取得最小值，
此时目标函数的最大值为：.[ww&w.zz*step.co#~m@]
本题选择C选项.
【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．[来源*:%z#zstep.^co&m]
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
9.下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】[来^%源:中教网#~*]
由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，结合题中所给的数据求解组合体的表面积即可.
【详解】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，
其中长方体的长宽高分别为为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
据此可得，组合体的表面积.[中~国%&教*育出^版网]
本题选择A选项.
【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
10.若函数的图象关于点（-2，0）对称，分别是的极大值与极小值点，则（ ）
A. B. C. D. [来源:中国教育出版&@网^~#]
【答案】C
【解析】
【分析】[来源*:^zz~step.#co&m]
由题意可得：，由函数的解析式结合对称性可得，据此可得函数的解析式为，结合导函数研究函数的极值，由韦达定理可定的值.
【详解】由题意可得：，
函数图象关于点（-2，0）对称，且，故，
即：,
据此可得：，解得：,
故函数的解析式为：，[中#@国%教育&出^版网]
，
结合题意可知：是方程的两个实数根，且，
故.
本题选择C选项.[www#.zz%st*ep.c@om~]
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.[来*源:%@中~教网&]
11.函数的零点个数为（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
很明显不是的零点，当时，原问题等价于考查函数与函数交点的个数，绘制函数图像，结合函数的性质确定零点的个数即可.
【详解】很明显不是的零点，当时，
令可得，
则原问题等价于求解函数与函数交点的个数，
注意到两个函数都是奇函数，故考查当时两函数交点的个数，

绘制函数图像如图所示，当时，，
故当时两函数交点的个数为4个，
结合函数的对称性可知函数与函数交点的个数为8个.
综上可得：函数的零点个数为8.[来源:%z~&zstep*.c@om]
本题选择B选项.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．[来源^:z&zstep.c@~o%m]
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
12.已知实数满足，，则的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可.
【详解】设点在圆上，且，
原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，

如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，
作直线于点，直线于点，
取的中点，作直线于点，
由梯形中位线的性质可知，
当直线时，直线方程为，
两平行线之间的距离：，
由圆的性质，
综上可得：的最大值.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题：本题共4小题。
13.已知向量满足，则=___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，据此结合题意求解的值即可.
【详解】由题意结合平行四边形的性质和向量的运算法则有：
，
结合题意可得，解得：.
【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.在的展开式中，项的系数为_______（结果用数值表示）.
【答案】19
【解析】
【分析】
由，，结合排列组合的结论计算可得项的系数.
【详解】由于：，，，
据此结合排列组合的性质可得项的系数为：
.
故答案为：19．
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
15.已知点和抛物线，过C的焦点作直线与C交于两点，若，则弦长=_______.
【答案】5
【解析】
【分析】
由题意，设直线AB的斜率为k，点，首先利用抛物线的定义和性质求得直线的斜率为k=2，然后利用弦长公式确定弦长的值即可.
【详解】设直线AB的斜率为k，点，则，[来源:中^&国%*教育出版网@]
，
设AB中点，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，
则.[来源:%zzste*p.com~@&]
为AB中点，
∴M为A'B'的中点，平行于x轴，
∴y1+y2=2，k=2.
设直线AB的倾斜角为，则：，故，
由弦长公式可得：.[来%*源:中@教网^&]
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，抛物线的焦点弦的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.[来源:~中%#国@教育&出版网]
16.定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____.[www&.z@zstep~.*c%om]
【答案】
【解析】
【分析】
首先求解n=1,2,3,4,5时的值，然后利用递推关系可得的值.
【详解】易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.
当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，
所以.
当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，[www~.#zzst&*e%p.com]
；
当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以；
当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，[来源:z~@z^step.#*com]
所以.
由此类推：.
故.[ww^w#*.~zzste@p.com]
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.[来源:zzst&ep~@.c^o%m]
三、解答题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，AC=2，∠ADC=∠CAB=90°，设∠DAC=θ．
（1）若θ=60°，求BD的长度；
（2）若∠ADB=30°，求tanθ．

【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）第（1）问，在△ABD中，利用余弦定理直接求出BD.(2)第（2）问，在△ABD中，写出正弦定理再化简即得解.
试题解析：
（1）由题意可知，AD＝1．[w*ww.#@zz&step.^com]
在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝2，AD＝1，由余弦定理可知，
BD2＝(2)2＋12－2×2×1×(－)＝19,
BD＝．[来@源:中#&%~国教育出版网]
（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ，
在△ABD中，由正弦定理可知，.
18.为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.

（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；[w~ww.zzs^tep*&.co@m]
（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）
附：①；
②，则；
③.
【答案】（1）分；（2）634人；（3）0.499
【解析】
【分析】
（1）根据加权平均数公式计算；
（2）根据正态分布的对称性计算P（z≥84.81），再估计人数；
（3）根据二项分布的概率公式计算P（ξ≤3）．
【详解】（1）由题意知：
中间值






概率








∴ ，
∴名考生的竞赛平均成绩为分.
（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴ .
【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.[来~@源:%中国教育&出版#网]
19.如图，三棱柱中，分别为棱的中点.

（1）在上确定点M，使平面，并说明理由。[中^国教#育出版~*&网]
（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值。
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】[来#源:~中国%&教育@出版网]
【分析】
(1)取BC中点M,连接AM,则AM∥平面PQB1；利用面面平行证明线面平行即可；[来#源:中&国*教^育出~版网]
(2)作QO⊥平面ABB1A1,与A1A延长线交于O,作PN∥C1A1,则直线A1C1与平面PQB1所成角即直线PN与平面PQB1所成角，结合几何关系求解直线与平面所成角的正弦值即可.
【详解】(1)取BC中点M,连接AM,则AM∥平面PQB1；[来@&%^源:#中教网]
如图所示，取BB1中点N，连结AM,AN，
为平行四边形，点N,P为中点，则，由线面平行的判定定理可得平面PQB1，
同理可得，平面PQB1，
据此可得平面AMN∥平面PQB1，故平面.

(2)作QO⊥平面ABB1A1,与A1A延长线交于O,

则，
，
，
，[中@#国教育出~&版*网]
，
，
.
作PN∥C1A1,则直线A1C1与平面PQB1所成角即直线PN与平面PQB1所成角，
.
设N到平面PQB1的距离为h,则，
∴直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为：.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，直线与平面所成的角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.过点作圆的两条切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆C：的右顶点和上顶点.
（1）求椭圆C方程；
（2）过椭圆C左焦点F的直线l交椭圆C于两点，椭圆上存在一点P，使得四边形为平行四边形，求直线l的方程。
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
（1）由题意可设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径确定斜率的值可得切线方程，据此确定点N的坐标为，从而可得椭圆方程；
（2）①k不存在或k=0时，在椭圆上不存在点P使得四边形OAPB为平行四边形,
②当k存在且不为0时，设点，设直线l的方程为y=k（x+1），联立直线方程与椭圆方程，结合题意和韦达定理确定直线的斜率即可确定直线l的方程.
【详解】（1）过作圆的两条切线，一条切线方程为y=1，切点为M（0，1）.
设另一条切线为，即，
由直线与圆相切，有：，
，解得k=0(舍去)或.
故切线方程为，
由可得：.
可得直线MN的方程为.
由上可知，上顶点坐标为（0，1），右顶点坐标为.
所以椭圆C的方程为.
（2）①k不存在或k=0时，在椭圆上不存在点P使得四边形OAPB为平行四边形,[中国教育出版网*~&%@]
②当k存在且不为0时，设点，
设直线l的方程为y=k（x+1），
联立直线方程与椭圆方程可得：，
故，
若四边形OAPB为平行四边形，则有：[来源:中*@教网&#~]
，[中^国教*~育@%出版网]
.
又点P在椭圆上，则有，
整理得.[中国~教@育&#出^版网]
∴直线的方程为.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21.函数（为常数）的图象与x轴有唯一公共点M
（1）求函数的单调区间.
（2）若，存在不相等的实数，满足，证明：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)函数f（x）的定义域为R，结合函数的解析式可得，据此分类讨论函数的单调性即可；
（2）时，，由结合函数的解析式和基本不等式证明题中的结论即可.
【详解】(1)函数f（x）的定义域为R，且f（0）=0，
由题意可知，曲线f（x）与x轴存在公共点M（0，0），
又，
若a≤0，f’（x）>0，f（x）单调递增；
若a>0，由f’（x）=0得x=1+lna，
当时，f（x）<0，f（x）单调递减；
当时，f'（x）>0，f（x）单调递增.
①当1+lna=0，即时，f（x）的极小值为f（0）=0，
曲线f（x）与x轴只有一个公共点，符合题意；[来源:中国%^@教*育~出版网]
②当1+lna>0，即时，由基本结论“x>0时，”，
知，
又f（1+lna） 由零点存在定理知，此时的函数f（x）在区间（1+lna，a+2）有一个零点，
则f（x）与x轴有两个公共点，与条件不符，舍去；
③当1+lna<0，即时，设，
则，
即.
又f（1+lna） 由零点存在定理知，此时函数f（x）在区间有一个零点，
则f（x）与x轴有两个公共点，与条件不符，舍去；
综上所述，时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.
当a≤0时，f（x）单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）时，，由得：
，
所以，
由基本不等式知即，[来源:zzs%t&ep.^co@m#]
即，即，
而f（x）在单调递增，故，所以.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，直线1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为[来&源:*zzstep.c@~om%]
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于两点，求.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
分析：（1）利用消参得到直线l的普通方程，利用极坐标公式得到曲线的直角坐标方程. （2）利用解三角形求弦长|AB|.[中国教育@出~^版*&网]
详解：（1）直线的普通方程为；
，
曲线的直角坐标方程为；
（2）曲线
圆心到直线的距离；
圆的半径；
，
[来源:%中*&教网@~]
本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查圆的弦长的计算，属于基础题.
23.【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.[来源~:zzst%ep.c&*#om]
（1）解不等式；
（2）若不等式有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】[来@^*源:%zzstep.&com]
(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2），根据绝对值三角不等式求得最值.
【详解】（1） ,
或或，
解得：或或无解，
综上，不等式的解集是
（2）
，当时等号成立，
不等式有解，
，或，即或，
实数的取值范围是或[www@#.zzst%e~*p.com]
【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.
[来源:zz*step.co#~^m@]
[来%源:#z~&zstep@.com]