湖北省黄冈市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

这是一份湖北省黄冈市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2015-2016学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）
　
一、选择题
1．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．
A．08 B．07 C．02 D．01
2．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是（　　）

A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③④
3．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．15
4．下列说法错误的是（　　）
A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题
B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题
C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题
D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题
5．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：
年龄x
6
7
8
9
身高y
118
126
136
144
由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（　　）
A．154 B．153 C．152 D．151
6．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（　　）

一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A．24 B．18 C．16 D．12
8．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（　　）
A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
9．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（　　）

A． B． C． D．
11．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（　　）

A． B． C． D．
12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
13．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题
14．三进制数121（3）化为十进制数为　　　　　　．
15．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为　　　　　　．
16．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=　　　　　　．
17．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．
⑤过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆
其中真命题的序号为　　　　　　（写出所有真命题的序号）
　
三、解答题
18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：
酒精含量（mg/100ml）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
3
4
1
4
2
3
2
1
（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；
（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．

19．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．
（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．
（Ⅱ） 第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）
21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．
（1）若直线AB过焦点F，求|AF|•|BF|的值；
（2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

22．在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

23．已知点P是圆C：（x+）2+y2=16上任意一点，A（，0）是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）设过点B（0，﹣2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．
　

2015-2016学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．
A．08 B．07 C．02 D．01
【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．
可知对应的数值为08，02，14，07，01，
则第5个个体的编号为01．
故选：D．
　
2．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是（　　）

A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③④
【分析】由茎叶图数据，求出甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．
【解答】解：根据茎叶图数据知，
①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，
∴甲的中位数小于乙的中位数；
②甲同学的平均分是==81，
乙同学的平均分是==85，
∴乙的平均分高；
③甲同学的平均分是=81乙同学的平均分是=85，
∴甲比乙同学低；
④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．
∴正确的说法是③④．
故选：A．
　
3．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．15
【分析】由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=﹣4，代入可得答案．
【解答】解：由已知中的程序语句可得：
该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，
∵x=﹣4＜3，
故y=（﹣4）2﹣1=15，
故选：D
　
4．下列说法错误的是（　　）
A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题
B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题
C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题
D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题
【分析】通过对选项判断命题的真假，找出错误命题即可．
【解答】解：若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题，满足命题的真假的判断，是正确的．
命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，所以不一定得到m＞0，所以B错．
命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为：若a≤b，则ac2≤bc2，显然是真命题．
若命题“￢p∨q”为假命题，则p是真命题，￢q是真命题，则“p∧￢q”为真命题，正确．
故选：B．
　
5．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：
年龄x
6
7
8
9
身高y
118
126
136
144
由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（　　）
A．154 B．153 C．152 D．151
【分析】先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高．
【解答】解：由题意， =7.5， =131
代入线性回归直线方程为，131=8.8×7.5+，可得=65，
∴
∴x=10时， =153
故选B．
　
6．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．
【解答】解：a≠5且b≠﹣5推不出a+b≠0，例如：a=2，b=﹣2时a+b=0，
a+b≠0推不出a≠5且b≠﹣5，例如：a=5，b=﹣6，
故“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件，
故选：D．
　
7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（　　）

一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A．24 B．18 C．16 D．12
【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．
【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，
即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．
故选C．
　
8．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（　　）
A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（﹣1，0），从而得出左焦点为F（﹣1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（﹣1，0）．
∵双曲线的一个焦点与抛物y2=﹣4x的焦点重合，
∴双曲线的左焦点为F（﹣1，0），
设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=1…①
∵双曲线的离心率等，∴ =，即…②
由①②联解，得a2=，b2=，
∴该双曲线的方程为5x2﹣=1．
故选B．
　
9．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【分析】建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，
∴建立以A为坐标原点，AC，AB，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A1（0，0，），A（0，0，0），B1（0，2，），C1（2，0，），
则=（0，2，），=（2，0，），
设平面AB1C1的法向量为=（x，y，z），=（0，0，），
则•=2y+z=0， •=2x+z=0，
令z=1，则x=﹣，y=﹣，
即=（﹣，﹣，1），
则AA1与平面AB1C1所成的角θ满足sinθ=|cos＜，＞|==，
则θ=，
故选：A．

　
10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】用空间向量解答．
【解答】解：∵ =+﹣；
∴2=（+﹣）2；
即2=•+•﹣•+•+•﹣•﹣（•+•﹣•）
=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；
=1﹣+1﹣﹣+9=5，
∴A1C=．
故选A．
　
11．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，计算出从5个数中取三个的取法总数和所取的数最大为4的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，
由于输出的数为4，
故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，
从集合A中任取三个数有=10种取法，
其中最大数为4时，表示从1，2，3中任取2两个数，有=3种取法，
故概率P=．
故选：C．
　
12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．利用kPMkPN=，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率．
【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．
由kPMkPN=，可得：，即，即，
又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，
所以，，所以，
所以c2=a2+b2=，所以双曲线C的离心率为e===．
故选：A．
　
13．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，结合椭圆的定义，通过三角形的面积转化求解即可．
【解答】解：椭圆：，a=5，b=4，∴c=3，左、右焦点F1（﹣3，0）、F2（ 3，0），
△ABF2的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=，
而△ABF2的面积=△A F1F2的面积+△BF1F2的面积=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=3|y2﹣y1|（A、B在x轴的上下两侧）
又△ABF2的面积=×r（|AB|+|BF2|+|F2A|）=（2a+2a）=a=5．
所以 3|y2﹣y1|=5，|y2﹣y1|=．
故选：D．
　
二、填空题
14．三进制数121（3）化为十进制数为　16　．
【分析】利用累加权重法，即可将三进制数转化为十进制，从而得解．
【解答】解：由题意，121（3）=1×32+2×31+1×30=16
故答案为：16
　
15．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为　﹣1≤a≤3　．
【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解
【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”
即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，
∴﹣1≤a≤3
故答案是﹣1≤a≤3
　
16．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=　3　．
【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．
【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．
故答案为：3．

　
17．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．
⑤过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆
其中真命题的序号为　①②④　（写出所有真命题的序号）
【分析】①根据椭圆和双曲线的c是否相同即可判断．
②根据抛物线的性质和定义进行判断．
③根据双曲线的定义进行判断．
④根据抛物线的定义和性质进行判断．
⑤根据圆锥曲线的根据方程进行判断．
【解答】解：①由得a2=16，b2=9，则c2=16+9=25，即c=5，
由椭圆得a2=49，b2=24，则c2=49﹣24=25，即c=5，则双曲线和椭圆有相同的焦点，故①正确，
②不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故②正确，
③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，
当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴故③不正确；
④过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作直线l与抛物线相交于A、B两点，
当直线l的斜率不存在时，横坐标之和等于2，不合题意；
当直线l的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；
∴设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l为y=k（x﹣1），
代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；
∵A、B两点的横坐标之和等于5，
∴=5，解得k2=，
∴这样的直线有且仅有两条．故④正确，
⑤设定圆C的方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2=r2，其上定点A（x0，y0），设B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），
由=（+）得，消掉参数θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y﹣y0﹣b）2=r2，即动点P的轨迹为圆，故⑤错误；
故答案为：①②④

　
三、解答题
18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：
酒精含量（mg/100ml）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
3
4
1
4
2
3
2
1
（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；
（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．

【分析】（1）计算酒精含量（mg/100ml）在各小组中的，绘制出频率分布直方图即可；
（2）计算检测数据中酒精含量在80mg/100ml（含80）以上的频率，
根据频率分布直方图中小矩形图最高的底边的中点是众数，
再计算数据的平均数值．
【解答】解：（1）酒精含量（mg/100ml）在[20，30）的为=0.015，
在[30，40）的为=0.020，
在[40，50）的为=0.005，
在[50，60）的为=0.20，
在[60，70）的为=0.010，
在[70，80）的为=0.015，
在[80，90）的为=0.010，
在[90，100]的为=0.005；
绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示：
…
（2）检测数据中醉酒驾驶（酒精含量在80mg/100ml（含80）以上时）的频率是
；…
根据频率分布直方图，小矩形图最高的是[30，40）和[50，60），
估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；…
估计检测数据中酒精含量的平均数是
0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55
+0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55．…
　
19．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，
所以a＜x＜3a．
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由得
得2＜x≤3，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．
即q是p的充分不必要条件，
则，解得1＜a≤2，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2．
　
20．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．
（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．
（Ⅱ） 第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）
【分析】（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，利用列举法求出基本事件个数，并找出可使|a﹣b|＞1发生的基本事件个数．由此能求出事件“|a﹣b|＞1”的概率．
（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，利用几何概型能求出此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率．
【解答】解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，
从这6次射击成绩中随机抽取两个，
基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，
{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，
{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个，…
其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．
故．…
（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，
则着弹点就不能落在分别以6为中心，
半径为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分…
因为，…
满足题意部分的面积为，…
故所求概率为．…
　
21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．
（1）若直线AB过焦点F，求|AF|•|BF|的值；
（2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）求出p=4，可得抛物线方程，与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）求解即可．
（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过△＞0，以及韦达定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），
方法一利用弦长公式，求出p．
方法二：通过化简，结合韦达定理，求解p即可．
【解答】解：（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x2=8y，…
与直线y=2x+2联立消去y得：x2﹣16x﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）…
则x1+x2=16，x1x2=﹣16，…
∴|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）=（2x1+4）（2x2+4）=80；…
（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y得：x2﹣4px﹣4p=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0，则x1+x2=4p，x1x2=﹣4p，…
P（2p，4p+2），Q（2p，2p），…
方法一∴|PQ|=2p+2，…
…
，
∴4p2+3p﹣1=0，
…
故存在p=且满足△＞0…
方法二：由得：（x1﹣2p）（x2﹣2p）+（y1﹣2p）（y2﹣2p）=0…
即（x1﹣2p）（x2﹣2p）+（2x1+2﹣2p）（x2+2﹣2p）=0，…
∴，…
代入得4p2+3p﹣1=0，．
故存在p=且满足△＞0，
∴p= …
　
22．在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

【分析】（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；
（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可
（法二：空间向量法）
（1）同法一
（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可
【解答】解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B
所以BC⊥平面SAB，
又SA⊂平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，BC∩AB=B
所以SA⊥平面ABCD，
（2）在AD上取一点O，使，连接EO
因为，所以EO∥SA
因为SA⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，
则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．
在Rt△AHO中，
∴，
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为
解法二：（1）同方法一
（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）
∴平面ACD的法向为
设平面EAC的法向量为=（x，y，z），
由，
所以，可取
所以=（2，﹣2，1）．
所以
所以
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为


　
23．已知点P是圆C：（x+）2+y2=16上任意一点，A（，0）是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）设过点B（0，﹣2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．
【分析】（1）直接由题意可得|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b2=a2﹣c2求得b2，则点Q的轨迹方程可求；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可设直l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用三角形的面积计算公式即可得出S△OMN．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）由题意知|PQ|=|AQ|，
又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…
∴|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2
由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，a=2，c=…
∴b=1，
∴点Q的轨迹E的方程=1．…
（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，将y=kx﹣2代入=1得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0…
当△＞0时，即k2＞时，x1+x2=，x1x2=，…

则△OMN的面积S=|OB||x1﹣x2|=…
设=t＞0，
∴，最大值为1…
∴=2，k=±，满足△＞0…
∴直线的方程为y=±x﹣2…
　

2016年4月9日