湖北省黄冈市黄冈中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）试题

湖北省黄冈中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）

1、总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　）

7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198

3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481

A．08　　　　　　　　　　　　B．07

C．02　　　　　　　　　　　　D．01

2、甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示．

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．

上面说法正确的是（　）

A．③④　　　　　　　　　　　B．①②④

C．②④　　　　　　　　　　　D．①③④

3、当输入x=－4时，如图的程序运行的结果是（　）

A．7　　　　　　　　　　　　　B．8

C．9　　　　　　　　　　　　　D．15

4、下列说法错误的是（　）

A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题

B．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m=0有实根”的逆命题为真命题

C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题

D．若命题“”为假命题，则“”为真命题

5、一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：

由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为，预测该学生10岁时的身高为（　）

A．154　　　　　　　　　　　B．153

C．152　　　　　　　　　　　D．151

6、“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的（　）

A．充分不必要条件　　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件　　　　　　　　D．既非充分条件也非必要条件

7、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

如果从全校学生中随机抽取一名学生，抽到二年级女生的概率为0.19．现用分层抽样的方法在全校学生中分年级抽取64名学生参加某项活动，则应在三年级中抽取的学生人数为（　）

A．24　　　　　　　　　　B．18

C．16　　　　　　　　　　D．12

8、已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=－4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（　）

A．　　　　　B．

C．　　　　　　D．

9、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（　）

A．　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　D．

10、已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如下框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（　）

A．　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　 D．

11、如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，则A1C的长为（　）

A．　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　 D．

12、椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2－y1|的值为（　）

A．　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　 D．

二、填空题

13、三进制数121（3）化为十进制数为__________．

14、若命题“，使x2＋（a－1）x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为__________．

15、在区间[－2，4]上随机地取出一个数x，若满足|x|≤m的概率为，则m=__________．

16、以下四个关于圆锥曲线的命题中：

　　①双曲线与椭圆有相同的焦点；

　　②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；

　　③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|－|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；

　　④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则|AB|=7．

　　其中真命题的序号为__________（写出所有真命题的序号）

三、解答题

17、（本小题满分10分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如下表：

　　（Ⅰ）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；

　　（Ⅱ）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．

18、（本小题满分12分）p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．

　　（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

　　（2）是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19、（本小题满分12分）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为5cm，6cm，的三角形的三个顶点．

　　（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a－b|＞1”的概率.

　　（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）

20、（本小题满分12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x－y＋2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．

　　（Ⅰ）若直线AB过焦点F，求|AF|·|BF|的值；

　　（Ⅱ）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

21、（本小题满分12分）在直角梯形PBCD中，，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如下左图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如下图．

　　（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；

　　（Ⅱ）求二面角E—AC—D的正切值．

22、（本小题满分12分）已知点P是圆C：上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．

　　（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．

　　（Ⅱ）设过点B（0，－2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．

答案与解析

1、D

解析：由题意知选定的第一个数为65（第1行的第5列和第6列），按由左到右选取两位数（大于20的跳过、重复的不选取），前5个个体编号为08、02、14、07、01．故选出来的第5个个体的编号为01．

2、A

解析：①中甲的中位数是81，乙的中位数是87.5，因此乙的中位数较大；②甲的平均分为，乙的平均分为，所以乙的平均分高；④中甲的数据比较集中，乙的数据比较分散，因此甲的方差较小．

3、D

解析：由程序语言可得，当输入x=－4时，代入计算得y=15．故选D．

4、B

解析：命题“若m＞0，则方程x2＋x－m=0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m=0有实数根，则m＞0”，方程x2＋x－m=0有实数根只要，所以不一定得到m＞0，所以B错．

5、B

解析：，代入线性回归直线方程，可得，，∴x=10时，，故选B．

6、D

解析：a≠5且b≠－5推不出a＋b≠0，例如a=2，b=－2时a＋b=0，a＋b≠0推不出a≠5且b≠－5，例如a=5，b=－6，故“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的既不充分又不必要条件，故选择D．

7、C

解析：由条件得，∴x=380．

则，所以在三年级中抽取的学生人数为，故选C．

8、B

解析：由题意知．

9、A

解析：利用体积相等，

10、C

解析：．

11、A

解析：法一：因为，

所以，

即，故．

法二：先求线AA1和面ABCD所成的角为45°，，在△ACA1中，，故．

12、D

解析：由椭圆方程得a=5，b=4，∴c=3，左、右焦点F1（－3，0）、F2（ 3，0），△ABF2的内切圆面积为π，则内切圆的半径为，而△ABF2的面积=△AF1F2的面积＋△BF1F2的面积=×|y1|×|F1F2|＋×|y2|×|F1F2|=×（|y1|＋|y2|）×|F1F2|=3|y2－y1|（A、B在x轴的上下两侧），又△ABF2的面积=×r（|AB|＋|BF2|＋|F2A|）=×（2a＋2a）=a=5．所以 3|y2－y1|=5，．

13、16

解析：．

14、[－1，3]

解析：．

15、3

解析：．

16、①②④

17、（1）检测数据的频率分布直方图如图：

　（5分）

（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是．（6分）

估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．（8分）

估计检测数据中酒精含量的平均数是

．（10分）

18、（1）由，得，又a＞0，

所以a＜x＜3a．（2分）

当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（3分）

由得得2＜x≤3，

即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分）

若p∧q为真，则p真且q真，（5分）

所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（6分）

（2）是的充分不必要条件，即，且推不出．

即q是p的充分不必要条件，　（8分）

则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．（12分）

19、（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1、x2、x3，后三次成绩依次记为y1、y2、y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：

，共15个，（3分）

其中可使|a－b|＞1发生的是后9个基本事件．故．（6分）

（Ⅱ）因为着弹点若与A、B、C的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A、B、C为圆心，半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分．（7分）

因为（9分）

满足题意部分的面积为，（11分）

故所求概率为．（12分）

20、（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x2=8y，（1分）

与直线y=2x＋2联立消去y得：x2－16x－16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．（2分）

则x1＋x2=16，x1x2=－16，（3分）

；（5分）

（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x＋2联立消去y得：x2－4px－4p=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0，则x1＋x2=4p，x1x2=－4p，（7分）

P（2p，4p＋2），Q（2p，2p）．（8分）

方法一：（9分）

　（10分）

　（11分）

故存在且满足△＞0．（12分）

方法二：由得：．（9分）

即，（10分）

，（11分）

代入得4p2＋3p－1=0，．故存在且满足△＞0．（12分）

21、（1）证明：在图中，由题意可知，

BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在图中，

SA⊥AB，SA=2，

四边形ABCD是边长为2的正方形，（2分）

因为SB⊥BC，AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB，（4分）

又SA平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，所以SA⊥平面ABCD．（6分）

（2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，（7分）

A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2）

．（8分）

．（10分）

即二面角E—AC—D的正切值为．（12分）

方法二：在AD上取一点O，使，连接EO．

因为，所以EO//SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，（7分）

则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E—AC—D的平面角，（9分）

，在Rt△AHO中，

．（11分）

，即二面角E—AC—D的正切值为．（12分）

22、（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|＋|PQ|=4．（2分）

，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，（3分）

2a=4，即a=2，，∴Q的轨迹方程E：．（5分）

（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx－2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，将y=kx－2代入中得

（7分）

（8分）

，

当且仅当即t=2时面积最大，最大值为1．（10分）

（11分）

．（12分）