湖北省黄冈市2015-2016学年高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

这是一份湖北省黄冈市2015-2016学年高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2015-2016学年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．复数（i为虚数单位）的模等于（　　）
A． B．2 C． D．
2．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（　　）
　月份x
　1
　2
　3
　4
　用水量y
　4.5
4　
3　
2.5　
A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2
3．①由“若a，b，c∈R，则（ab）c=a（bc）”类比“若、、为三个向量，则（•）=（•）”；
②在数列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，猜想an=2n﹣2；
③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中；
正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数y=x3﹣x2+5在x=1处的切线倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
5．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁RA）∩B=（　　）
A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0}
6．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，则f=（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
7．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（　　）
（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

A．（4）（1）（2） B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4）
8．已知函数y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）是单调递增的，A，B，C是锐角△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．f（sinA）＞f（cosA） B．f（sinA）＞f（cosB） C．f（sinC）＜f（cosB） D．f（sinC）＞f（cosB）
9．如图，函数、y=x、y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f（x）的图象经过的部分是④⑧，则f（x）可能是（　　）

A．y=x2 B． C． D．y=x﹣2
10．函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（　　）
A． B． C． D．
11．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（　　）
A．（0，4] B． C． D．
12．已知函数f（x）=，则函数y=f（x）+x﹣4 的零点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若函数y=f（x）的图象经过点（2，0），那么函数f（x﹣3）+1的图象一定过点　　．
14．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0，条件q：|x﹣3|≤m，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　．
15．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 　　．
16．设点P，Q分别是曲线y=x+lnx和直线y=2x+2的动点，则|PQ|的最小值为　　．
　
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知z、ω为复数，（1+3i）z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，求ω．
18．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，a，b∈R．
（Ⅰ）若a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
20．某中学对“学生性别和是否喜欢看NBA比赛”作了一次调查，其中男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看NBA的人数占男生人数的，女生喜欢看NBA的人数占女生人数的．
（1）若被调查的男生人数为n，根据题意建立一个2×2列联表；
（2）若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关，求男生至少有多少人？
附：X2=，
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
　
选考题（请在22,23,24三个选考题中任选一个作答，多答则以第一个计分）[选修4-1：集合选讲证明]
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程是（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），
（1）求曲线C与直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|=，求实数m的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3
（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．
　

2015-2016学年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．复数（i为虚数单位）的模等于（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用虚数单位i的幂运算性质，化复数为代数形式，再利用复数的模的定义求出它的模．
【解答】解：∵复数==1﹣i，
∴||=|1﹣i|==，
故选：A．
　
2．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（　　）
　月份x
　1
　2
　3
　4
　用水量y
　4.5
4　
3　
2.5　
A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2
【考点】线性回归方程．
【分析】计算样本中心，代入回归方程得出．
【解答】解： =， =3.5．
∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．
故选C．
　
3．①由“若a，b，c∈R，则（ab）c=a（bc）”类比“若、、为三个向量，则（•）=（•）”；
②在数列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，猜想an=2n﹣2；
③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中；
正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①向量的数量积概念和相等向量的定义，即可判断；②通过构造数列，求通项，再由等比数列通项公式，即可得到；③通过作过顶点作在底面上的射影，由每个侧面的面积大于投影面积，即可判断．
【解答】解：①三个实数的乘积满足乘法的结合律，而三个向量的乘积是向量，而向量相等要满足大小相等，方向相同，向量（•）、（•）不一定满足，故①错；
②由a1=0，an+1=2an+2，可得，an+1+2=2（an+2），则数列{an+2}为等比数列，易得an=2n﹣2，故②正确；
③在四面体ABCD中，设点A在底面上的射影为O，则三个侧面的面积都大于在底面上的投影的面积，故三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故③正确．
故选C．
　
4．函数y=x3﹣x2+5在x=1处的切线倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求导数，x=1时，y′=﹣1，即可求出函数y=x3﹣x2+5在x=1处的切线倾斜角．
【解答】解：∵y=x3﹣x2+5，
∴y′=x2﹣2x，
x=1时，y′=﹣1，
∴函数y=x3﹣x2+5在x=1处的切线倾斜角为，
故选：D．
　
5．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁RA）∩B=（　　）
A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，求出∁RA={x|x＜0，或x＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（∁RA）∩B．
【解答】解：∵全集U=R，
集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，
∴∁RA={x|x＜0，或x＞2}，
∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，
∴（∁RA）∩B={x|x＞2}．
故选A．
　
6．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，则f=（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【考点】函数的值．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，f（2）=3，f（3+x）=f（x），由此能求出f的值．
【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的函数，得f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，
由f（﹣2）=﹣3，得f（2）=﹣f（﹣2）=3，
由，得f（3+x）=f[﹣（﹣）]=f（﹣）=﹣f（）=﹣f[]=﹣f（﹣x）=f（x），
即f（3+x）=f（x），
∴f（x）是以3为周期的周期函数，
∴f=f+f=f（0）+f（2）=0+3=3．
故选：C．
　
7．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（　　）
（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

A．（4）（1）（2） B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4）
【考点】函数的图象．
【分析】根据小明所用时间和离开家距离的关系进行判断．根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0；
由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；
由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快．
【解答】解：（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）；
（2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）；
（3）最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象（2）．
故答案为：（4）（1）（2），
故选：A．
　
8．已知函数y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）是单调递增的，A，B，C是锐角△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．f（sinA）＞f（cosA） B．f（sinA）＞f（cosB） C．f（sinC）＜f（cosB） D．f（sinC）＞f（cosB）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用函数的奇偶性与单调性、锐角三角形的性质、正弦函数的单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：由于知函数y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）是单调递增的，故它在（0，1）上单调递减．
对于A，由于不能确定sinA、sinB的大小，故不能确定f（sinA）与f（sinB）的大小，故A不正确；
对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴，得，注意到不等式的两边都是锐角，
两边取正弦，得，即sinA＞cosB，又f（x）在（0，1）上是减函数，由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正确；
对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，，得，注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，
得，即cosC＜sinB；再由f（x）在（0，1）上是减函数，由cosC＜sinB，可得f（cosC）＜f（sinB），得C正确；
对于D，由对B的证明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正确；
故选：C．
　
9．如图，函数、y=x、y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f（x）的图象经过的部分是④⑧，则f（x）可能是（　　）

A．y=x2 B． C． D．y=x﹣2
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数的图象和性质，进行分析判定即可．
【解答】解：∵函数y=xα的图象过④⑧部分，
∴函数y=xα在第一象限内单调递减，
∴α＜0；
又x=2时，y=＞，
∴函数y=xα的图象经过⑧部分，
∴取α=﹣，
即函数y==．
故选：B．
　
10．函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】由x﹣＞0，可求得函数f（x）=ln（x﹣）的定义域，可排除A，再从奇偶性上排除D，再利用函数在（1，+∞）的递增性质可排除C，从而可得答案．
【解答】解：∵f（x）=ln（x﹣），
∴x﹣＞0，即=＞0，
∴x（x+1）（x﹣1）＞0，
解得﹣1＜x＜0或x＞1，
∴函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故可排除A，D；
又f′（x）=＞0，
∴f（x）在（﹣1，0），（1+∞）上单调递增，可排除C，
故选B．
　
11．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（　　）
A．（0，4] B． C． D．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，
∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，
故由二次函数图象可知：
m的值最小为；
最大为3．
m的取值范围是：[，3]，
故选：C

　
12．已知函数f（x）=，则函数y=f（x）+x﹣4 的零点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意，判断此函数的零点个数可转化为两个函数y=﹣x+4，与y=f（x）的交点个数，结合两个函数的图象得出两函数图象的交点个数，即可得到原函数零点的个数．
【解答】解：函数y=f（x）+x﹣4的零点
即是函数y=﹣x+4与y=f（x）的交点的横坐标，
由图知，函数y=﹣x+4与y=f（x）的图象有两个交点
故函数y=f（x）+x﹣4的零点有2个．
故选：B．

　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若函数y=f（x）的图象经过点（2，0），那么函数f（x﹣3）+1的图象一定过点　（5，1）　．
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】由题意可得f（2）=0，令x=5，可得f（x﹣3）+1=1，即可得到定点（5，1）．
【解答】解：∵函数y=f（x）的图象经过点（2，0），∴f（2）=0，
当x=5时，f（5﹣3）+1=f（2）+1=1即函数f（x﹣3）+1的图象一定过点（5，1）．
故答案为：（5，1）．
　
14．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0，条件q：|x﹣3|≤m，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　[4，+∞）　．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别求出p，q成立的等价条件，利用逆否命题的等价性，将条件转化为p是q的充分不必要条件，然后确定实数m的取值范围．
【解答】解：∵p：x2﹣3x﹣4≤0得﹣1≤x≤4，即p：﹣1≤x≤4．设A={x|﹣1≤x≤4}．
∵￢q是￢p的充分必要条件，∴p是q的充分不必要条件，
则q：|x﹣3|≤m有解，即m＞0，则﹣m≤x﹣3≤m，得3﹣m≤x≤3+m，设B={x|3﹣m≤x≤3+m}．
∵p是q的充分不必要条件．
2p⇒q成立，但q⇒p不成立，即A⊊B，
则，即．得m≥4
综上m的取值范围是[4，+∞）
　
15．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 　6　．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】先求出f′（x），根据f（x）在x=2处有极大值则有f′（2）=0得到c的值为2或6，先让c=2然后利用导数求出函数的单调区间，从而得到x=2取到极小值矛盾，所以舍去，所以得到c的值即可．
【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，
f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，
令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，
故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，
∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．
故答案为6
　
16．设点P，Q分别是曲线y=x+lnx和直线y=2x+2的动点，则|PQ|的最小值为　　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．利用函数y=x+lnx的导数，可得切线的斜率，解得切点为Q（1，1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+2的距离d，即为所求．
【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．
y=x+lnx的导数为y′=1+，
切线的斜率为1+=2，
解得a=1，b=1+ln1=1，
可得切点为Q（1，1）．
Q到直线y=2x+2的距离d==．
即有P、Q两点间距离的最小值为．
故答案为：．
　
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知z、ω为复数，（1+3i）z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，求ω．
【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．
【分析】设z=m+ni（m，n∈R），代入（1+3i）z，由纯虚数概念可得m﹣3n=0①，代入ω=，由|ω|=5可得m2+n2=250②，联立可求得m，n，再代入可得ω．
【解答】解：设z=m+ni（m，n∈R），
因为（1+3i）z=（1+3i）（m+ni）=m﹣3n+（3m+n）i为纯虚数，
所以m﹣3n=0①，
ω=，
由|ω|=5，得，即m2+n2=250②
由①②解得或，
代入ω=可得，ω=±（7﹣i）．
　
18．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．
又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．
于是x＜0时f（x）=x2+2x．
所以f（x）=．
（Ⅱ）作出函数f（x）=的图象如图：
则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1]
要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，（画出图象得2分）
结合f（x）的图象知，
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．

　
19．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，a，b∈R．
（Ⅰ）若a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
【考点】函数单调性的性质；命题的真假判断与应用．
【分析】（I）由已知中函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，根据a+b≥0，易得a≥﹣b，且b≥﹣a，进而根据单调性的性质和不等式的性质，即可得到答案．
（II）（I）中命题的逆命题为若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0，根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假．
【解答】证明：（Ⅰ）因为a+b≥0，所以a≥﹣b．
由于函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，
所以f（a）≥f（﹣b）．
同理，f（b）≥f（﹣a）．
两式相加，得f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．…
（Ⅱ）逆命题：
若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0．
用反证法证明
假设a+b＜0，那么
所以f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）．
这与f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）矛盾．故只有a+b≥0，逆命题得证．
…
　
20．某中学对“学生性别和是否喜欢看NBA比赛”作了一次调查，其中男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看NBA的人数占男生人数的，女生喜欢看NBA的人数占女生人数的．
（1）若被调查的男生人数为n，根据题意建立一个2×2列联表；
（2）若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关，求男生至少有多少人？
附：X2=，
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】独立性检验．
【分析】（1）由题意填入列联表即可，（2）利用X2=求值，从而确定n的最小值．
【解答】答案 （1）由已知，得

喜欢NBA
不喜欢NBA
合计
男生


n
女生



合计
n


（2）解：K2===，
若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关．
则K2≥3.841，即n≥10.24；
又∵为整数，
∴n的最小值为12．
即：男生至少12人．
　
21．已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，． …
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x﹣y=0．…
（Ⅱ）求导函数可得，． …
当a=0时，，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减． …
当a≠0，．
①当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣a，，f（x）与f'（x）的情况如下：
x
（﹣∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↘
f（x1）
↗
f（x2）
↘
故f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a），；单调增区间是．…
②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：
x
（﹣∞，x2）
x2
（x2，x1）
x1
（x1，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
f（x2）
↘
f（x1）
↗
所以f（x）的单调增区间是，（﹣a，+∞）；单调减区间是，（﹣a，+∞）．…
综上，a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递减；在单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在，（﹣a，+∞）单调递增；在单调递减．
　
选考题（请在22,23,24三个选考题中任选一个作答，多答则以第一个计分）[选修4-1：集合选讲证明]
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

【考点】圆的切线的判定定理的证明．
【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2，BE=，
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2=，即x4+x2﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程是（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），
（1）求曲线C与直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|=，求实数m的值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C的普通方程，消去直线l中的参数，能求出直线l的普通方程．．
（2）求出圆心C（0，m）到直线l：2x﹣y+2=0的距离d，再由勾股定理结合弦长能求出m．
【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（α为参数），
∴曲线C的普通方程：x2+（y﹣m）2=1，
∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去参数，得直线l的普通方程为：2x﹣y+2=0．
（2）∵曲线C：x2+（y﹣m）2=1是以C（0，m）为圆心，以1为半径的圆，
圆心C（0，m）到直线l：2x﹣y+2=0的距离：d==|m﹣2|，
又直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|=，
∴2=
解得m=1或m=3．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3
（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）若a=﹣1，由绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．
（2）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）的最小值为|a﹣1|，可得|a﹣1|=2，由此求得a的值．
【解答】解：（1）若a=﹣1，函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、﹣1对应点的距离之和，
而﹣1.2和 1.5 对应点到1、﹣1对应点的距离之和正好等于3，
故不等式f（x）≥3的解集为{x|≤﹣1.5，或 x≥1.5}．
（2）由于∀x∈R，f（x）≥2，故函数f（x）的最小值为2．
函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣1|，
即|a﹣1|=2，求得a=3 或a=﹣1．
　

2016年11月1日