湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

这是一份湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，选考题等内容，欢迎下载使用。
湖北省黄冈中学2015年春季高二年级期末考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（　）A．－2　　　　　　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　　　　　　　 D．2 2、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题 3、若则a的值是（　）A．2　　　　　　　　　　　　　　　B．3C．4　　　　　　　　　　　　　　　D．6 4、曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线方程为（　）A．5x＋y＋2＝0　　　　　　　　　　B．y＝5x－2C．y＝5x＋2　　　　　　　　　　　 D．5x－y＋2＝0 5、函数y＝（3－x2）ex的单调递增区间是（　）A．（－∞，0）　　　　　　　　　　B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞）　　 D．（－3，1） 6、已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点且，则点C的坐标为（　）A．　　　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　　　　D． 7、若在（1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（　）A．[－1，＋∞）　　　　　　　　　 B．（－1，＋∞）C．（－∞，－1]　　　　　　　　　 D．（－∞，－1） 8、已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（　） 9、设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（　）A．　　　　　　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　　　　　　　 D． 10、点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是（　）A．　　　　　　　　　　　　 B．C．（1，＋∞）　　　　　　　　　　 D． 11、直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线的距离等于（　）A．2　　　　　　　　　　　　　　　B．4C．　　　　　　　　　　　　　　 D． 12、给出下列命题：①若函数f（x）的导函数为f′（x），则f（x）在定义域内为增函数的充要条件是对于x∈D，f′（x）＞0恒成立；②对于空间向量，，且//，则；③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；④若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是[2，6]．其中真命题的序号是（　）A．①②④　　　　　　　　　　　　 B．②③C．③④　　　　　　　　　　　　　 D．②④  第Ⅱ卷　非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________． 14、观察下列等式：……则当m＜n且m，n∈N时，（最后结果用m，n表示）． 15、（甲）【平面几何选讲】如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．　　（乙）【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．　　（丙）【不等式选讲】若，则P，Q的大小关系为__________． 16、（甲）【平面几何选讲】如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是__________．　　（乙）【极坐标与参数方程】⊙O1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，⊙O2的参数方程为，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为__________．　　（丙）【不等式选讲】已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集为__________． 三、解答题（本大题共6小题，70分）17、（本小题满分12分）已知y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两相等实根，且f′（x）＝2x＋2．　　（1）求f（x）的解析式．　　（2）求函数y＝f（x）与函数y＝－x2－4x＋1所围成的图形的面积． 18、（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．　　（1）若a＝1，且pq为真，求实数x的取值范围；　　（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（x∈R）．　　（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；　　（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围． 20、（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．（1）求证：AC⊥平面ABC′；（2）求证：C′N∥平面ADD′；（3）求二面角A－C′N－C的余弦值． 21、（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，　　（1）求椭圆的方程；　　（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围． 四、选考题（本小题满分10分）22、【平面几何选讲】　　如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．　　（1）求证：；（2）若AC＝4，求AP·AD的值． 23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，　　（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；　　（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 24、【不等式选讲】已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－3|．（1）解不等式f（x）≤3x＋4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，设求实数m的取值范围.                     答案解析：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（　）A．－2　　　　　　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　　　　　　　 D．21、D解析：为纯虚数，则． 2、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题2、C解析：“非p”是真命题，则p为假命题，命题q可以是真命题也可以是假命题． 3、若则a的值是（　）A．2　　　　　　　　　　　　　　　B．3C．4　　　　　　　　　　　　　　　D．63、A， 4、曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线方程为（　）A．5x＋y＋2＝0　　　　　　　　　　B．y＝5x－2C．y＝5x＋2　　　　　　　　　　　 D．5x－y＋2＝04、A解析：曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线斜率为－5，所以切线方程为y＝－5x－2． 5、函数y＝（3－x2）ex的单调递增区间是（　）A．（－∞，0）　　　　　　　　　　B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞）　　 D．（－3，1）5、D解析：y′＝－2xex＋（3－x2）ex＝（－2x＋3－x2）ex＞0，∴2x－3＋x2＜0，∴x∈（－3，1）． 6、已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点且，则点C的坐标为（　）A．　　　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　　　　D．6、A解析：，设C点坐标为（x，y，z），则，． 7、若在（1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（　）A．[－1，＋∞）　　　　　　　　　 B．（－1，＋∞）C．（－∞，－1]　　　　　　　　　 D．（－∞，－1）7、C解析：在[1，＋∞）恒成立．∴b≤x（x－2），∴b≤（x（x－2））min＝－1． 8、已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（　）8、B解析：ax2＋by2＝ab，，当a，b异号时代表双曲线，此时直线斜率为正的，A排除，B符合条件；当a，b都大于0时代表椭圆，此时直线斜率为负的，排除C、D． 9、设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（　）A．　　　　　　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　　　　　　　 D．9、D解析：直线与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，由对称性知直线过原点．第一象限内交点的坐标为，．． 10、点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是（　）A．　　　　　　　　　　　　 B．C．（1，＋∞）　　　　　　　　　　 D．10、B解析：设双曲线的左焦点为F1，则，∵|PF1|＋|PF|≥2c，，． 11、直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线的距离等于（　）A．2　　　　　　　　　　　　　　　B．4C．　　　　　　　　　　　　　　 D．11、C解析：直线4kx－4y－k＝0恒过，为抛物线y2＝x的焦点，设A（xA，yA），B（xB，yB），则，则弦AB的中点到直线的距离等于． 12、给出下列命题：①若函数f（x）的导函数为f′（x），则f（x）在定义域内为增函数的充要条件是对于x∈D，f′（x）＞0恒成立；②对于空间向量，，且//，则；③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；④若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是[2，6]．其中真命题的序号是（　）A．①②④　　　　　　　　　　　　 B．②③C．③④　　　　　　　　　　　　　 D．②④12、D解析：①f′（x）在少数点可以为0；②对于空间向量，，且平行于，则；③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；④若命题“使得”为假命题，则．  第Ⅱ卷　非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．13、y2＝4x解析：设，则，，． 14、观察下列等式：……则当m＜n且m，n∈N时，（最后结果用m，n表示）．14、n2－m2解析：第一行m＝0，n＝1，右边的值为1；第二行m＝2，n＝4，右边的值为12＝42－22；第三行m＝5，n＝8，右边的值为39＝82－52；所以猜想． 15、（甲）【平面几何选讲】如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．　　（乙）【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．　　（丙）【不等式选讲】若，则P，Q的大小关系为__________．15、（甲）【平面几何选讲】解析：因为圆O的半径为a，，，而．（乙）【极坐标与参数方程】相交解析：直线l的直角坐标方程为，圆C的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，直线l与圆C的位置关系是相交．（丙）【不等式选讲】P<Q解析：，． 16、（甲）【平面几何选讲】如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是__________．　　（乙）【极坐标与参数方程】⊙O1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，⊙O2的参数方程为，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为__________．　　（丙）【不等式选讲】已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集为__________．16、（甲）【平面几何选讲】①②解析：①②（乙）【极坐标与参数方程】解析：⊙O1极坐标方程为ρ＝4cosθ，直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4；⊙O2参数方程为，直角坐标方程为x2＋（y＋2）2＝4，两式相减，得到x＋y＝0，O1到此直线的距离为，公共弦长为．（丙）【不等式选讲】[－1，1]解析：或，所以不等式f（x）≥x2的解集为x∈[－1，1]． 三、解答题（本大题共6小题，70分）17、（本小题满分12分）已知y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两相等实根，且f′（x）＝2x＋2．　　（1）求f（x）的解析式．　　（2）求函数y＝f（x）与函数y＝－x2－4x＋1所围成的图形的面积．解析：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．由题意得∴a＝1，b＝2，c＝1．（3分）∴f（x）＝x2＋2x＋1．（4分）（2）由题．（6分）．（12分） 18、（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．　　（1）若a＝1，且pq为真，求实数x的取值范围；　　（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解析：（1）由x2－4ax＋3a2＜0，得（x－3a）（x－a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，1＜x＜3．（2分）由，解得，即2＜x≤3．所以q为真时，2＜x≤3．（4分）若为真，则，所以实数x的取值范围是（2，3）．（5分）（2）设，因为是的充分不必要条件，所以．（7分）所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2．所以实数a的取值范围是（1，2]．（12分） 19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（x∈R）．　　（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；　　（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围．解析：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx－x2＋x，其定义域是（0，＋∞），，（2分）令f（x）＝0，即，解得或x＝1．∵x＞0，∴x＝1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减．（4分）（2）显然函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax的定义域为（0，＋∞），．（5分）①当a＝0时，，∴f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，不合题意．（6分）②当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x＞0），即，此时f（x）的单调递减区间为．由．（7分）③当a＜0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x＞0），即，此时f（x）的单调递减区间为．由．（8分）综上，实数a的取值范围是．（12分） 20、（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．（1）求证：AC⊥平面ABC′；（2）求证：C′N∥平面ADD′；（3）求二面角A－C′N－C的余弦值．解析：（1）证明：，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，∴四边形ANCD是菱形，，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′．（3分）（2）证明：∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′．（6分）（3）解：∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC．如图建立空间直角坐标系，设，设平面C′NC的法向量为n＝（x，y，z）取z＝1，则．∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，，∴平面C′AN的法向量．，由图形可知二面角A—C′N—C为钝角，所以二面角A—C′N—C的余弦值为．（12分） 21、（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，　　（1）求椭圆的方程；　　（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．解析：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．，．故椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为．由消去y得．（6分）设，则，．．∵点F在圆E的外部，，（10分）即，解得m＜0或m＞3．由，解得．又．（12分） 四、选考题（本小题满分10分）22、【平面几何选讲】　　如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．　　（1）求证：；（2）若AC＝4，求AP·AD的值．解：（1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC＋∠APC＝180°，又因为∠DPC＋∠APC＝180°，所以∠DPC＝∠ABC，又因为∠D＝∠D，所以△DPC∽△DBA，所以，又因为AB＝AC，所以．（5分）（2）因为AB＝AC，所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝180°．由于∠ABC＋∠APC＝180°，所以∠ACD＝∠APC，又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以，所以AP·AD＝AC2＝16．（10分） 23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，　　（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；　　（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：（1）圆O：，即圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0．（2分）直线l：，即则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0．（5分）（Ⅱ）由．（8分）故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．（10分） 24、【不等式选讲】已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－3|．（1）解不等式f（x）≤3x＋4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，设求实数m的取值范围.解：（1），原不等式等价于：，∴不等式的解集为[0，＋∞）；（2）由绝对值的几何意义可知，|x＋1|＋|x－3|≥4，当且仅当－1≤x≤3时，等号成立，即f（x）min＝4，从而要使f（x）≥m的解集为R，只需m≤f（x）min，即实数m的取值范围是（－∞，4]．