2023年福建省福州市台江区鳌峰学校中考数学模拟试卷（含解析）

2023年福建省福州市台江区鳌峰学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果室内温度为，室外温度为，则室内温度比室外温度高(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的石板凳，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  近年来，金东区积极构建消费和谐关系，促进消费维权协同共治，助力经济平稳健康发展过去一年，金东区加大处置投诉举报件的力度，为消费者挽回经济损失元其中数字用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列图形中，既为轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某校要从四名选手中选取一名同学代表学校参加武汉市“小小外交家”比赛，四名同学平均成绩及其方差如表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，则应选择的学生是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点，，在上，若，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  正比例函数的图象经过点，则它与轴所夹锐角的正弦值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  请阅读下列内容：
我们在平面直角坐标系中画出抛物线和双曲线，利用两图象的交点个数和位置来确定方程有一个正实数根，这种利用函数图象判断方程根的情况的方法叫作图象法．请用图象法判断方程的根的情况(    )

A. 一个正实数根 B. 两个正实数根
C. 三个正实数根 D. 一个正实数根，两个负实数根

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  正八边形的每个外角为______度．

12.  已知，，则代数式的值为______．

13.  如图，中，，，是的中点，在边上确定点的位置，使得∽，则的长为______ ．

14.  如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中的圆心为点，若，则该莱洛三角形的周长是______ ．

15.  如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一个分支于点，以为底作等腰且，点在第一象限，随着点的运动，点始终在双曲线上运动，则 ______ ．

16.  如图，正方形边长为，、在对角线上且，作于点、于点，反向延长、交点，则的值是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，、、、在同一条直线上，，，，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，请在、、三个数中选择一个合适的整数代入求值．

20.  本小题分
如图，在中，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．
请根据作图过程回答问题：直线是线段的        ；
A.角平分线高中线垂直平分线
若中，，，，求的长．

21.  本小题分
某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？要求必须选修一门且只能选修一门”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：
共有        名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是        度；
补全调查结果条形统计图；
小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

22.  本小题分
如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．

 

23.  本小题分
一座抛物线型拱桥，图是其在直角坐标系中的侧面示意图．在正常水位时水面宽，此时水面离桥拱顶部的距离为．
按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
如图，因某种需要，在桥拱顶部及桥的两端树立了三根支柱，，架设钢缆，在钢缆和桥面之间垂直悬挂若干安全绳，过相邻支柱顶端的钢缆具有相同的抛物线形状，且左、右两条抛物线关于轴对称，左面钢缆抛物线可以用表示．
求左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是多少？
求安全绳长度钢缆和桥面之间距离的最小值是多少？
 

24.  本小题分
已知：等腰，，，若，则的长是______ ．
在中，，，点是外一点，点与点在直线的异侧，且点，，不共线，连接，，，满足求证：．
如图，已知四边形中，，，，，点是线段上的一个动点点不与点和点重合，连接，过点作交于点，点在线段上，且满足，点是线段上的动点，点是线段上的动点当点在的内部时，是否存在周长的最小值？如果存在，请你求出周长的最小值；如果不存在，请你说明理由．

 

25.  本小题分
已知抛物线经过点，．
求抛物线的解析式；
若点，均在该抛物线上，且，求的取值范围；
若点为抛物线上的动点，点，则以线段为直径的圆截直线所得弦的长是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据温差相减即可求解．
本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握正负数的减法运算是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得如下图形：
．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法可以判断；根据单项式乘单项式可以判断；根据幂的乘方可以判断；根据积的乘方可以判断．
本题考查单项式乘单项式、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形的定义：将一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：将一个图形绕某个点旋转度后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟知两者的概念是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得丙的成绩比乙稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，选择丙，
故选：．
从平均成绩以及方差分别分析，综合两个方面得出答案．
此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设索长为尺，竿子长为尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于、的二元一次方程组．
【解答】
解：设索长为尺，竿子长为尺，
根据题意得：．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
首先圆上取一点，连接，，根据圆的内接四边形的性质，即可得，即可求得的度数，再根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】
解：如图，圆上取一点，连接，，

点、，，在上，，
，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：设正比例函数的图象与轴所夹锐角为，
由题意得，点到原点的距离，
，
故选：．
根据勾股定理得出点到原点的距离，再根据三角函数的定义即可得出答案．
本题考查了解直角三角形，以及一次函数图象上点的特征，熟记三角函数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
画出和的图象，根据图象观察的根的情况．
本题考查的是运用函数图象法求方程的解的知识，掌握函数图象的交点与方程的解的关系是解题的关键．
【解答】
解：如图所示，

方程有一个正根．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：
利用正八边形的外角和等于度即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，



．
将所求代数式适当变形后整体代入，即可求解．
此题考查了因式分解提公因式法．注意整体思想在解题中的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是的中点，
，
当∽时，
则：：，
即：：，
，
故答案为：．
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：图中所在的圆的半径，相应的圆心角的度数为，
的长为，
该莱洛三角形的周长是，
故答案为：．
求出的长，再乘以即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是正确计算的前提，求出半径和相应的圆心角度数是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

点在第一象限，随着点的运动，点始终在双曲线上运动，
，
连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，
，，
则，
，
，
又，
∽，
，
，
点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，
，
，即，
，
故答案为：．
根据题意得出∽得出，根据的几何意义即可求解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，特殊角的正切值，正确添加辅助线，得出∽是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作于，过作于，

则中，，
中，，
正方形中，是对角线，
，
又，
，
∽，
，即，
，即，
的值是，
故答案为：．
过作于，过作于，依据等腰直角三角形的性质即可得出，，再判定∽，根据相似三角形的性质，即可得到，进而得出的值是．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合运用，判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】化简二次根式，负整数指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后算乘法，再算加减．
本题考查实数的混合运算，理解，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
即，
又，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】通过，得到，再利用全等三角形的判定即可证明．
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式



，
要使分式有意义，故且，
且，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出的值，将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
 

20.【答案】 

【解析】解：由尺规作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线．
故答案为：．
设与交于点，
，，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
．
由尺规作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线．
由已知条件结合线段垂直平分线的性质可得，则，在中，可得，在中，可得．
本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则选修“厨艺”的人数为名，
则选修“手工”的人数为名，
则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
补全条形统计图如下：

把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；
补全条形统计图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：直线与相切，
理由：连接，

，
，
，
，
在中，，
，
，
  即：，
，
又是半径，
直线与相切；
，，
，
，

，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积． 

【解析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据等边对等角得到，，推出，即，于是得到结论；
根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
 

23.【答案】解：根据题意可知点的坐标为，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：．
将代入有：，
解得，
；
，
左面钢缆抛物线的顶点为，
左、右两条抛物线关于轴对称，
左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是；
设安全绳的长度为，
则，
当时，，
答：安全绳长度的最小值是． 

【解析】利用待定系数法求函数解析式；
由图象分析左边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后根据两条抛物线是对称的可得答案；
根据题意，列式 利用二次函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式一般式、顶点式或交点式，再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，

作于，
，，
，，
，
，
故答案为：；
证明：如图，

作，并截取，连接，
，，
，，
，，
，，
，
，
≌，
，
；
解：如图，

以为边作等边三角形，并作其外接圆，连接，延长交于，连接，
，，，
，，，的直径，是的直径，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点在上运动，当点是与交点时，，
分别作关于和的对称点，，连接，交于，交于，
此时的周长最小，最小值是的长，
由对称可得：，，
，
，
的周长最小值为：．
作于，解直角三角形求得，进而得出结果；
作，并截取，连接，可得出，，进而可证明≌，从而，进而得出；
以为边作等边三角形，并作其外接圆，连接，延长交于，连接，可求得，从而点在上运动，当点在与交点时，，分别作关于和的对称点，，连接，交于，交于，此时的周长最小，最小值是的长，由对称求得，，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形及确定点的轨迹．
 

25.【答案】解：根据题意，得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
抛物线的对称轴为直线，
又点，均在该抛物线上，且，
，且，，
设，则，
抛物线开口向上，且对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
，
即．
．
以线段为直径的圆截直线所得弦的长为定值，其值为．
如图，设，则，
又设线段的中点，
则，，
点到直线的距离为：
，
由勾股定理，得：
，

设以线段为直径的圆截直线所得弦的长为，
则：．
，
，
解得：．
以线段为直径的圆截直线所得弦的长为定值，其值为． 

【解析】根据题意，将点，代入抛物线解析式得到关于，的方程组，求出，，即可得到结论．
先求得抛物线对称轴，根据点，均在该抛物线上，且，可得：，且，，设，则，再依据二次函数的性质即可．
设，则，设线段的中点，可得到点到直线的距离，再根据勾股定理即可求得，再设以线段为直径的圆截直线所得弦的长为，由垂径定理和勾股定理即可求得的值．
本题是一道二次函数综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法，二次函数图像和性质，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离等；解题时要认真读题审题，理解题意，能够熟练运用相关知识是解题关键．