上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模数学试题（含解析）

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题1．已知集合，集合，则__________.2．在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则__________.3．已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则__________.4．在复平面内，复数z所对应的点为，则___________．5．已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________．6．设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________.7．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______    8．函数在一个周期内的部分取值如下表：1则__________.9．已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是__________.10．已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________.11．在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________.12．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：①若为递增数列，则存在最大值；②若为递增数列，则存在最小值；③若，且存在最小值，则存在最小值；④若，且存在最大值，则存在最大值.其中所有错误结论的序号有_______． 二、单选题13．已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．414．对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ）A．个 B．2个 C．个 D．无数个16．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（    ）A． B． C． D． 三、解答题17．如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.(1)设为的中点，求证：；(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.18．某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：  学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7第一次82897892926581第二次83907595936176(1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；(2)设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：（i）求的分布列和数学期望；（ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）19．某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.20．在平面直角坐标系中，若椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，，若，求点的坐标.21．数列满足，(1)求的值；(2)求数列前项和；(3)令，，证明：数列的前项和满足．
参考答案：1．【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】，或，所以.故答案为：2．【分析】根据题意，由三角函数的定义即可得到结果.【详解】由三角函数的定义可知.故答案为：.3．【分析】根据题意，由二项式系数之和的公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，则.故答案为：4．2【分析】根据复数的几何意义可得，由乘法运算即可求解.【详解】由题意可知 ，所以，故答案为：25．【分析】由已知可设C的标准方程为，由已知，解出双曲线的渐近线方程为，结合已知，即可得出答案.【详解】由已知可得，双曲线的焦点位于轴上， 设C的标准方程为.因为双曲线C经过点，所以，则双曲线的渐近线方程为，所以，所以，C的标准方程为.故答案为：.6．7【分析】根据等比数列的基本量计算以及求和公式可得，解不等式即可.【详解】由的公比为 ，所以 ，令，由于，所以成立的的最小值为7，故答案为：77．【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果.【详解】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分，设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，，故,故答案为：.8．/【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果.【详解】设函数的最小正周期为，由题意可得：函数的最大值为，最小值为，则，可得，且，解得，可得，因为，则，解得，又因为，则，可得，所以.故答案为：.9．【分析】由题意可知为圆直径，设， 利用向量运算可得，由此即可求出答案.【详解】因为，所以为圆直径，设，则，所以,故，所以当 时，，，故故答案为：.10．【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围.【详解】由题设，若，则，所以，值域为R，函数图象如下：  当时，只有一个与之对应；当时，有两个对应自变量，记为，则；当时，有三个对应自变量且；当时，有两个对应自变量，记为，则；当时，有一个与之对应；令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，若有三个解，则，此时有7个解，不满足；若有两个解且，此时和各有一个解，结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；若有一个解，则有两个解，此时，所以对应的，综上，.故答案为：.11．10【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，因为求跳跃次数的最小值，则只取，设对应的跳跃次数分别为，其中，可得则，两式相加可得，因为，则或，当时，则次数为；当，则次数为；综上所述：次数最小值为10.故答案为：10.12．①③④【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.【详解】①由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么在区间，函数的最大值是，若数列为递增数列，则函数不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，若为递增数列，那么在区间的最小值是，且为递增数列，所以函数在区间的最小值是，故②正确；③若，取,,则，存在最小值，但此时的最小值是的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若，取，则恒成立，则有最大值，但的最大值是的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误.故答案为：①③④13．C【分析】把双曲线方程化成标准形式，求出m即可求出离心率作答.【详解】双曲线化为：，依题意，，解得，因此双曲线的实半轴长为1，所以双曲线的离心率为2.故选：C14．C【分析】根据函数图象的对称性求解参数，再利用充要条件的概念判断即可.【详解】如图，在同一个坐标系中做出两个函数与的图象， 则函数的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分，根据图象令，解得，分析可得其图象关于直线对称，要使函数的图象关于直线对称，则t的值为，当时，函数的图象关于直线对称，所以“”是“函数的图象关于直线对称”的充分必要条件.故选：C15．C【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案.【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，联立与，解得，则将代入中，，解得，当与平行时，满足要求，此时，当与平行时，满足要求，此时，综上，满足条件的的值共有3个.故选：C16．C【分析】依题意将原材料进行切割，得到有坏点的芯片数，即可判断.【详解】依题意将这块原材料如下切割得到第代芯片，其中块无坏点，块有坏点，故第代芯片的产品良率为.故选：C17．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）要证明线线垂直，利用面面垂直的性质定理，转化为证明平面；（2）首先设，，再以的中点为原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式，列式求解.【详解】（1）由题设知因为平面 平面，平面 平面，，所以平面．因为平面，所以.因为为等边三角形，是的中点，所以.因为，平面，所以平面．所以.（2）设，.取的中点，的中点，连接，，则，.由（I）知平面，所以平面，所以，.如图建立空间直角坐标系，则，，，．所以， ，，，.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.因为直线和平面所成角的正弦值为，所以，整理得，解得或.因为，所以，即.18．(1)(2)（i）分布列见解析，；（ii）. 【分析】（1）利用古典概型直接计算即可；（2）（i）列出变量X的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，利用公式直接求解数学期望即可；（ii）计算方差，利用方差的含义直接判断即可.【详解】（1）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为（2）（i）随机变量可能的取值为0，1，2.这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，.时，若，有，，共3种，若，有，共2种，若，有，，，共4种，故；时，若，有，，共3种，若，有，，共3种，故；时，若，有，，，共4种，若，有共1种，若，有共1种，故.则随机变量的分布列为：012所以的数学期望.（ii）由（i）知，这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，.随机变量可能的取值为0，1，2，3.时，若，有，，共3种，若，有，共2种，故；时，若，有，，，共4种，故；时，若，有，，共3种，若，有，，共3种，故；时，若，有，，，共4种，若，有共1种，若，有共1种，故.则随机变量的分布列为：0123所以的数学期望.所以，因为，所以.19．(1)答案见解析(2)答案见解析 【分析】（1）根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系问题，并假设只能在路程的中点处停靠一次，再求解此时的函数关式；（2）分别求解不停靠与停靠中点时的费用，再作图分析判断即可.【详解】（1）由题意，出租车费用为分段函数的模型，故可提出问题：①上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%，求里程计价费用与里程的函数关系式子；②若只能在路程的中点处停靠一次，分析不停靠与停靠两种计费方式哪种更划算.（2）由（1）中所建立的函数模型：①由题意，当时；当时；当时.故.②若只能在路程的中点处停靠一次，则路费函数，即，分别作出函数图象.  由图象可得，与有交点，联立有，解得.故若只能在路程的中点处停靠一次，则当路程不足公里时不停靠更划算，当路程不足公里时停靠更划算.20．（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）由椭圆方程的性质可求的周长；（2）设，求出直线方程，解出点坐标，计算，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：到直线距离是到直线距离的3倍，求出的值，则点的坐标为与直线平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点.【详解】解：（1）由椭圆方程可知：.所以的周长为；（2）由椭圆方程得，设，则直线方程为，又，所以直线与的交点为，，当时，（3）若，设到直线距离，到直线距离，则，即，，，可得直线方程为，所以，.由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，设平行于的直线为，与直线的距离为，求得或，当时，直线为，联立方程： ，可得，解得或，当时，直线为，联立方程： 可得：，此时方程无解.综上所述，点坐标为或.21．(1)；(2)；(3)证明见解析. 【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3即可依次算出；(2)用作差法求出的通项公式，再求其前n项和；(3)求，猜想，用数学归纳法证明；用导数证明，令，得，用这个不等式对放缩即可得证.【详解】（1）依题，；（2）依题当时，，，又也适合此式，，数列是首项为1，公比为的等比数列，故；（3），，，，，猜想：  ①下面用数学归纳法证明：(i)当n＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当时，①成立，即.从而.故①成立.先证不等式  ②令，则.，即②成立.在②中令，得到  ③当时，；当时，由①及③得： .证明完毕.【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想，并用数学归纳法证明；根据结论构造不等式，令，得，然后用这个不等式对放缩.