天津市实验中学2023届高三考前热身训练数学试题（含解析）

这是一份天津市实验中学2023届高三考前热身训练数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天津市实验中学2023届高三考前热身训练数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集，集合，则（    ）A． B． C． D．2．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的图象大致是（    ）A． B． C． D．4．在一次科普知识竞赛中共有名同学参赛，经过评判，这名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（    ）A．可求得 B．这名参赛者得分的中位数为C．得分在之间的频率为 D．得分在之间的共有人5．已知，，，则、、的大小关系为（    ）.A． B． C． D．6．距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形．图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为6m，，，，点D在正四棱锥的斜高PH上，平面ABC且．不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（    ）A． B． C． D．7．双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于、两点，若四边形（为坐标原点）存在外接圆，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．8．关于函数有下述四个结论：①若，则②的图象关于点对称；③函数在上单调递增；④的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称．其中所有正确结论的编号是（    ）A．①②③ B．①③④ C．③④ D．②④9．在中，，，，设，，，则的最大值为（    ）A． B． C． D． 二、填空题10．已知是虚数单位，复数，则__．11．的展开式中，的系数为____________.12．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是_________. 三、双空题13．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为_________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________．14．已知正实数满足，则的最大值为_________；的最小值为_________.15．已知函数，则时，的最小值为______，设，若函数有6个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题16．在中，角的对边分别为，若，且的面积为，.(1)求角的大小及；(2)求的值.17．如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.(1)求证：平面CPM；(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离.18．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)设直线、的斜率分别为、，且．①求证：直线经过定点．②设和的面积分别为、，求的最大值．19．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.(1)求，的通项公式.(2)已知，求数列的前2n项和.(3)求证：.20．已知函数，(1)若，求函数的极值；(2)设函数，求函数的单调区间；(3)若存在，使得成立，求a的取值范围．
参考答案：1．D【分析】分别求出集合、 、，再求交集可得答案.【详解】因为，所以，又因为，所以.故选：D.2．A【分析】根据充分必要条件的定义，结合指数函数性质，不等式的性质，即可判断．【详解】不等式等价于，由可推出，由不一定能推出，例如时，，但，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．A【分析】先根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数，再利用即可得出.【详解】由题知的定义域为．因为，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除选项B；又，故排除选项C，D.故选：A．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．B【分析】利用直方图的面积之和为求出的值，可判断A选项的正误；利用频率分布直方图计算中位数，可判断B选项的正误；利用频率分布直方图可判断CD选项的正误.【详解】对于A选项，由于直方图的面积之和为，则，解得，A选项正确；对于B选项，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，设中位数为，则，则，解得，B选项错误；对于C选项，得分在之间的频率为，C选项正确；对于D选项，得分在之间的人数为，D选项正确.故选：B.【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．5．B【分析】利用对数函数，指数函数，幂函数的单调性比较大小.【详解】根据在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故故选：B.6．B【分析】根据题意问题转化为求四棱锥体积与三棱柱体积再加一个小三棱锥体积之和，运用体积公式求解即可.【详解】设为正四棱锥底面中心，连接，则，，，取的中点，连接，过作于，则．在直角中．过作交于连接．则，所求体积故选：B7．A【分析】分析出，可得出，再利用双曲线的离心率公式可求得结果.【详解】由题意得，不妨设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，，，则四边形为平行四边形，则，由于平行四边形存在外接圆，则，则，所以，，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法：（1）若可求得、，直接利用求解；（2）若已知、，可直接利用得解；（3）若得到的是关于、的齐次方程（、、为常数，且），则转化为关于的方程求解.8．C【分析】①根据对称中心可得知，为其图象的两个对称中心，则是的整数倍可判断；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移后得到再判断其奇偶性，从而可判断【详解】①由知，是图象的两个对称中心，则是的整数倍（是函数的最小正周期），即，所以结论①错误；②因为，所以是的对称中心，所以结论②不正确；③由解得，当时，在上单调递增，则在上单调递增.所以在上单调递增，所以结论③正确；④的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，是偶函数，所以图象关于轴对称，所以结论④正确.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合应用，.解答本题的关键是的对称中心对应的函数值为，对称轴对应的函数值为；分析的单调性，可令满足的单调区间，从而可求的单调区间，属于中档题.9．B【分析】利用余弦定理及向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求解.【详解】在中，，，由余弦定理，得，即，于是有.由，得，即,于是有.联立，得，由，得,将代入中，得.由，，，知,所以,因为，所以,当且仅当即时，等号成立，所以.故当时，取得最大值为.故选：B.10．【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，．故答案为：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．11．16【解析】要得到的系数，只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可【详解】的系数为.故答案为：16【点睛】此题考查二项式的系数，属于基础题.12．【详解】圆心到直线的距离为所以，即则解得，13．     /0.375     【分析】由相互独立事件的概率公式可得空1；分甲对2个乙对一个和甲对1个乙对2个两种情况，根据相互独立事件概率乘法公式分别计算，然后可得.【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立事件的性质，可得设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．故答案为：,14．          1【分析】由已知可得，利用基本不等式可得解，第二空变形代数式结合运用“1”妙用的代换，再利用基本不等式求最值，即可得答案；【详解】，，当且仅当，即时等号成立，的最大值为，，，等号成立当且仅当，即时等号成立，的最小值为1.故答案为：；1.15．          【分析】根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值，即可求出时，的最小值，令，则有两个解，则，且或有3个零点，即可求出实数的取值范围.【详解】当时，，此时函数在上单调递增，所以此时函数的最小值为，当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以函数的最小值为，综上，当时，的最小值为，函数的图象如图所示  令，则由，得，因为函数有6个零点，所以有两个解，所以，且满足，解得，即实数的取值范围是，故答案为：，【点睛】关键点点睛：此题考查分段函数的最值的求法，以及根据函灵敏的零点个数求参数的范围，解题的关键是画出函数的图象，结合图形求解，考查学生的转化能力和数形结合的思想，属于较难题.16．(1)；；(2). 【分析】（1）切化弦之后，结合两角和差正弦公式和诱导公式可化简求得，由此可得；结合三角形面积公式可得，由余弦定理可求得；（2）由（1）可求得，利用余弦定理可得，根据同角三角函数关系可得，利用两角和差正弦公式可求得结果.【详解】（1），又，，，，又，；，，又，，解得：.（2）由（1）知：，，，，又，，，.17．(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）连接EM，证得，利用线面平行判定定理即可证明平面MPC；（2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）设，则，从而，由（2）知平面PMQ的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，求出，进而得到，利用点到平面距离公式求出答案.【详解】（1）证明：连接EM，因为，，所以，又因为，所以四边形PABQ为平行四边形，因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以且，因为，，F为CD的中点，所以且，可得且，即四边形EFCM为平行四边形，所以，又平面MPC，平面MPC，所以平面MPC.（2）因为平面ABCD，，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，，，，，设为平面PQM的法向量，则，不妨设，可得，设为平面PMC的法向量，则，不妨设，可得.所以，设平面PQM与平面PMC夹角为，所以，即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为.（3）设，即，则.从而.由（2）知平面PMQ的法向量为，而直线DN与平面PMQ所成的角为，所以，即，整理得，解得或，因为，所以，所以，，由（2）知：为平面的法向量，故点N到平面CPM的距离为.18．(1)(2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，且最大值为，由题意可得，解得，所以，椭圆的标准方程为.（2）解：①设点、.若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，则，所以，，解得，即直线的方程为，故直线过定点.②由韦达定理可得，，所以，，，则，因为函数在上单调递增，故，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.19．(1),.(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）由等差等比的通项公式即可求解；（2）分是奇数和是偶数，分别利用错位相减法和裂项相消法求和即可；（3）根据，裂项求和即可证明.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,由得①，将①代入，得，即②将①代入，得③，将②代入③，得，又，所以解得：，所以，所以，，故，所以.（2）当是奇数时，，当是偶数时，，则①②①-②得：即化简得：.所以.（3），当时，，因为，所以；当时，也成立.故.【点睛】方法点睛：本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．20．(1)极小值为，无极大值(2)单调递增区间为，单调递减区间为.(3) 【分析】（1）研究的单调区间，进而求出的极值；（2）先求，再解不等式与，求出单调区间，注意题干中的的条件；（3）先把题干中的问题转化为在上有，再结合第二问研究的的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的，求出最后结果【详解】（1）当时，，定义域为，令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值（2），定义域为因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减.综上：单调递增区间为，单调递减区间为.（3）存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故.当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为令因为，所以，则，即，不满足题意，舍去综上所述：a的取值范围为【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．