贵州省铜仁市2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

贵州省铜仁市2022-2023学年高三第二次模拟考试

数学（文）试卷

一、单选题

1．已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合和，若，则（    ）

A．0 B．-1 C．1 D．2

3．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为，其中被抽取的男生平均身高为，则被抽取的女生平均身高为（    ）

A． B． C． D．

4．已知数列为等差数列，若，，则使的前项和取最大值的的值为（    ）

A．9 B．10 C．19 D．20

5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，，在定义域内任取一点，使的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（    ）

A． B．

C．通项公式 D．

8．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

9．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

10．点 与圆上任一点连线的中点轨迹方程是

A． B．

C． D．

11．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则

A．0 B．6 C．12 D．18

13．已知抛物线的焦点为F，直线l为准线，点E在拋物线上.若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．1

二、填空题

14．若，满足约束条件，则的取值范围是________.

15．在棱长为1的正方体中，点在正方体内切球的球面上运动，点在正方形的内切圆上运动，则线段长度的最大值为________．

16．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为______．

三、解答题

17．已知函数(，，)的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，当实数取最大值时，求函数在上的最大值.

18．如图所示，在四棱锥中，侧面侧面，，，， ，.

(1)求证：平面平面；

(2)若点A关于中点的对称点为，三棱锥的体积为，求点A到的距离.

19．某购物网站对在7座城市的线下体验店的广告费指出（万元）和销售额（万元）的数据统计如下表：

(1)若用线性回归模型拟合与关系，求关于的线性回归方程；

(2)若用对数函数回归模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算对数函数回归模型的相关系数约为，请说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测城市的广告费用支出万元时的销售额.

参考数据：，，，，，.

参考公式：，.

相关系数.

20．已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

21．已知函数在点处的切线与直线相互垂直．

(1)求实数的值；

(2)求的单调区间和极值．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，等边的顶点都在上，且点，，按照逆时针方向排列，点的极坐标为.

（Ⅰ）求点，，的直角坐标；

（Ⅱ）设为上任意一点，求点到直线的距离的取值范围.

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)已知函数的最小值为，且、、都是正数，，证明：．

参考答案

1．B

【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为，则，

因此，对应的点在第二象限.

故选：B.

2．C

【分析】根据，得到方程，然后解方程即可.

【详解】由题意，得，且，所以，且，解得，，则.

故选:C.

3．A

【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答.

【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人，

设被抽取到的女生平均身高为，则，解得，

所以被抽取的女生平均身高为.

故选：A

4．B

【解析】由等差数列的性质与求和公式可得，，可得答案．

【详解】因为，由等差数列的性质可得

，所以，

又，所以 ，可得公差小于零，

所以等差数列是单调递减的，

即前10项是正的第11项开始是负的，所以前10项和最大.

故选：B.

【点睛】本题考查等差数列的性质以及等差数列的单调性，关键点是，得到，.

5．C

【分析】按照程序框图依次计算可得结果.

【详解】

所以输出x的值为.

故选：C.

6．C

【解析】解不等式，求出解集，根据与长度有关的几何概型，即可求出结果.

【详解】由得，解得，

所以从定义域内任取一点，使的概率是.

故选：C.

7．C

【分析】根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.

【详解】对于A：数列是等差数列，

∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；

对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C：∵，∴，∴，

∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，

此时不一定为2，所以必要性不成立，

∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；

对于D：若数列是等差数列，则，

∴成立，

反之当，，，时，满足，

但不是等差数列，

∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．

故选：C．

8．B

【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．

【详解】对于A，若，则或，故A错误；

对于B，若，则或，

若，因为，则，

若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，

因为，所以，

又，所以，

综上若，则，故B正确；

对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；

对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.

故选：B.

9．A

【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断，即可得答案.

【详解】由题意可得，

，，

又，

由于，

故，

综合可得，

故选：A

10．A

【分析】设 为圆上任意一点，为点与点的中点，可得，利用逆代法可得结果.

【详解】设为圆上任意一点，

为点与点的中点，

故有：，

将点代入到圆方程中,

得，即，

整理得：；

故选:A.

11．A

【解析】先通过平移变换得到函数，再利用已知条件代入计算求得参数即可.

【详解】依题意，函数，由得，即，故，即，即，

故，又，则，故，即.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是灵活运用诱导公式和两角和与差的正弦公式进行化简计算得到，即能结合已知范围突破难点.

12．D

【分析】，由此的图像关于点中心对称，关于点中心对称，故交点的横纵坐标之和为定值．

【详解】，由此的图像关于点中心对称，是奇函数，由此，所以关于点中心对称，，，所以

，故选D

【点睛】函数的对称性分轴对称和对称中心，图像关于点中心对称，那么对称点的横纵坐标之和为对称中心横纵坐标的2倍

13．A

【分析】根据题意先确定出点所在象限，然后作出图示，根据的长度以及抛物线的定义确定出点坐标，由此可求直线的斜率.

【详解】因为在上的射影点在第四象限，所以在第一象限，设与轴的交点为点，如下图所示：

因为，，所以，所以，

又因为轴，所以，

又因为，所以为等边三角形，所以,

所以，所以直线的斜率为，

故选：A.

14．

【分析】画出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义并结合图形求出最值即可.

【详解】约束条件表示的平面区域如图中阴影(含边界)，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，作出直线，

平移直线使其过点A时的直线纵截距最大，z最大，平移直线使其过点B时的直线纵截距最小，z最小，

由得，则，由得，则，

所以的取值范围是.

故答案为：

15．

【分析】利用正方体的性质可知正方体内切球的球心为正方体的中心，正方形的内切圆为正方形的中心，进而可知线段长度的最大值为，即得.

【详解】由正方体的性质可知正方体内切球的球心为正方体的中心，其半径为，

正方形的内切圆为正方形的中心，其半径为，

由题可知线段长度的最大值为，

又，

∴线段长度的最大值为.

故答案为：.

16．

【分析】分别求出，进而可得，可得是等比数列，再利用等边数列求和公式求，利用单调性解不等式即可得答案.

【详解】是个边长为的小正方形面积之和，所以 ，

是个边长为的小正方形面积之和，所以；

是个边长为的小正方形面积之和，所以；

所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以即，

所以，

因为在上单调递减，

而不成立，

，即，

所以需要操作的次数的最小值为次，

故答案为：.

17．(1) ；(2)

【解析】(1)根据函数的部分图象可得及周期，再根据周期公式可求出，由五点法作图的第三个点可求出的值，从而可得函数的解析式；

(2)根据平移变换和伸缩变换的规律，可求出的解析式，再根据函数在上单调递增，可求出的最大值，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数在上的最大值.

【详解】(1)由已知可得，，所以，

所以，根据五点法作图可得，所以，

所以

(2) 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，

因为函数在上单调递增，所以，所以，的最大值为，

由，可得，所以当时，取得最大值.

故函数在上的最大值为.

【点睛】方法点睛：确定的解析式的步骤：

(1)求，，确定函数的最大值和最小值，则，；

(2)求，确定函数的周期，则；

(3)求，常用方法有以下2种方法：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；

②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出面面垂直；

（2）由三棱锥的体积求出点到平面的距离，求出点到平面的距离，由面面垂直得到点到的距离，求出，得到点A到的距离.

【详解】（1）证明：在中，由，，，

由余弦定理得，

可得，所以，故，

因为侧面侧面，平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面.

（2）由题意可知，，，共面，且四边形是平行四边形.

设点到平面的距离为，

则三棱锥的体积，

所以.

因为，所以点到平面的距离也是2，

又因为平面平面，交线为，

所以点到的距离是2，所以.

所以点A到的距离为.

19．(1)

(2)对数函数回归模型更合适，当万元时，预测A城市的销售额为万元．

【分析】（1）根据公式得到，再由方程过样本平均值，得到，进而得到线性方程；（2）通过公式计算相关指数，可以得到结论对数函数回归模型更合适，根据回归方程可得到时销售金额．

【详解】（1）由已知得，，，根据参考公式和数据得

，

∴，

∴关于的线性回归方程为．

（2），

∵，

∴对数函数回归模型更合适，

当万元时，预测A城市的销售额为万元．

20．(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.

（2）先求得点的轨迹，然后对的面积是否存在最大值进行判断.

(1)

依题意，

，解得，

所以双曲线的标准方程为.

(2)

的面积不存在最大值，理由如下：

设，则，

因为在双曲线上，所以，

,

所以所在直线的斜率为，

直线的方程为①，

同理可求得直线的方程为②，

①②得③，

将代入③得：，

化简得，

令①②，化简得，

经检验，当时，上式也满足.

故点的轨迹为椭圆去掉上下两个顶点.

因为，当点到轴的距离最大时，三角形的面积最大，

因为，故三角形的面积最大值不存在.

21．(1)；

(2)增区间为，减区间为，极小值，无极大值.

【分析】（1）根据，代值计算即可求得参数值；

（2）根据（1）中所求参数值，求得，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值.

（1）

因为，在点处的切线斜率为，

又在点处的切线与直线相互垂直，

所以，解得.

（2）

由（1）得，，，

令，得，令，得，

即的增区间为，减区间为．

又，

所以在处取得极小值，无极大值．

【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.

22．（Ⅰ）点的直角坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为.

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由点的极坐标和，，的排列顺序，得到点和点的极坐标，再由求出，，的直角坐标即可；

（Ⅱ）由点和点的坐标可得直线的方程，设点，由点到直线距离公式表示出点到直线的距离，再由辅助角公式和三角函数的性质得到的取值范围即可.

【详解】（Ⅰ）由题意，等边的顶点都在上，

且点，，按照逆时针方向排列，点的极坐标为，

所以点的极坐标，点的极坐标，

由，

可得点的直角坐标为，

点的直角坐标为，

点的直角坐标为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

所以得的直线方程为：，

设点，

则点到直线的距离为

，

因为，所以，

所以，

.

【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的相互转化、点到直线距离的应用、三角恒等变换和三角函数的性质，考查学生对极坐标的理解和计算能力，属于基础题.

23．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）由绝对值三角不等式可得出，由此可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得结论成立.

【详解】（1）解：由可得，

当时，则有，解得，此时；

当时，则有，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为.

（2）解：由绝对值三角不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，故，

所以，

又因为、、均为正数，

所以，

，

当且仅当时，等号成立，故.