山西省2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

这是一份山西省2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西省2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若，则（    ）A． B． C． D．4．某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：则下列说法正确的是（    ）A．4月至7月的月平均计划销售额为22万元B．4月至7月的月平均实际销售额为27万元C．4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25D．这4个月内，总的计划销售额没有完成5．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．6．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（    ）A．0或1 B．2 C．1 D．07．已知向量，满足，，，则（    ）A．2 B． C． D．8．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为A． B． C． D．9．已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（    ）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c10．我们把短边与长边之比为的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中的矩形用品(如书本､课桌､衣柜)和建筑物中的一些矩形结构(如窗户､房间等)，都常设计成黄金分割的样式，若一面积为的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线的准线上，另一条短边的中点为抛物线C的焦点F，则该黄金分割矩形与抛物线C的一个交点到F的距离为(    )A． B． C． D．11．函数的最大值为M，最小值为N，则（    ）A．3 B．4 C．6 D．与m值有关12．已知函数（）在上至少存在两个不同的，满足，且在上具有单调性，点和直线分别为图像的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（    ）①的最小正周期为；②；③在上是减函数④将图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，则A．④ B．①④ C．② D．②③二、填空题13．在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，且，则__________.14．函数在点处的切线方程为______.15．已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.16．过椭圆左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴及y轴各有唯一公共点M，N，则的取值范围是___________.三、解答题17．某商场在六一分别推出支付宝和微信扫码支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内使用扫码支付优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：1234567611213466101196根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程；661.542.71150.123.47 （3）预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.参考数据：其中，，.18．已知等差数列的前n项和是，，．(1)求数列的通项公式；(2)若成立，求正整数m，k的值．19．如图，E，F分别为正方形ABCD的边AB，AD的中点，平面ABCD，平面ABCD，AC与EF交于点M，，，．(1)证明：平面PMC；(2)求点B到平面PEF的距离；(3)求二面角的大小．20．已知双曲线经过点，，，，中的3个点.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点M，N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点，过点M，N的直线，都经过双曲线C的右顶点，若直线，的斜率分别为，，且，判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由21．已知函数.（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；（2）当时，若实数满足，求证：.22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的极坐标方程为，直线m的极坐标方程为．(1)求和的极坐标方程；(2)设，与l分别交于M，N两点，与m分别交于P，Q两点，且M，N，P，Q均不与原点重合，求以M，N，P，Q为顶点的四边形的面积．23．已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若时,，求a的取值范围.
参考答案1．D【分析】集合中元素的共同特征是一元二次不等式的形式，我们将其化解，即可得出两个集合的交集.【详解】，即：，或，即：，，即：，∴.故选：D.2．C【分析】利用复数的除法运算求得，进而求得对应点的坐标，从而求得正确答案.【详解】，对应点的坐标为，在第三象限.故选：C3．C【分析】利用诱导公式，同角三角函数的平方关系以及二倍角公式化简求解【详解】由题，，又因为解得又因为故选：C4．C【分析】A.B.利用平均数公式求解判断；C.利用中位数的定义求解判断；D.根据平均计划销售额和平均实际销售额大小比较判断.【详解】A.4月至7月的月平均计划销售额为，故错误；B.4月至7月的月平均实际销售额为，故错误；C.4月至7月的月实际销售额的中位数为，故正确；D.因为，可知这4个月内，总的计划销售额已经完成，故错误；故选：C.5．D【分析】画出约束条件所表示的可行域，数形结合求出答案.【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分（含边界）所示，可表示可行域内点N(x,y)到定点连线的斜率，由图可得，∴，数形结合，得或，所以的取值范围是.故选：D.6．B【分析】由直线与圆相离得到点位置后判断【详解】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．故选：B7．A【分析】先根据求出，从而求出答案.【详解】由得：，因为，所以，故.故选：A8．D【分析】根据圆柱的侧面积公式，计算即可．【详解】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．故选D．【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．9．B【分析】由题意可得，结合，的单调性可判断.【详解】由题意，故，由指数函数的单调性，单调递减，故，由幂函数的单调性，在单调递增，故，综上：.故选：B10．D【分析】根据题意求出黄金分割矩形的边长，求出抛物线的方程，求出矩形和抛物线交点横坐标，从而根据抛物线的几何性质可求交点到F的距离．【详解】设矩形长边为x，短边为y，由题可知，，解得x＝2，y＝﹒由题可知p＝x＝2，抛物线方程为，焦点F为(1，0)，根据对称性，不妨设矩形的一条长边y＝与抛物线交于A点，代入得x＝，则A到抛物线焦点F的距离为﹒故选：D﹒11．C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，，设，则的定义域为，所以，所以为奇函数，所以，所以,故选：C.12．D【分析】根据点和直线分别为图像的一个对称中心和一条对称轴，得到，两式相减得到，然后根据在上至少存在两个不同的，满足，且在上具有单调性，得到，求得函数的解析式，然后逐项判断.【详解】因为点和直线分别为图像的一个对称中心和一条对称轴，所以，所以，因为在上至少存在两个不同的，满足，且在上具有单调性，所以在上至少存在两个最大值和最小值，在上具有单调性，则，此时，所以的最小正周期为，故①错误；，故②正确；因为，所以，所以在上是减函数，故③正确；将图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，即，故④错误；故选：D13．【分析】由题意结合正弦定理可得，再由三角恒等变换、诱导公式可得，即可得解.【详解】由正弦定理得，因为，所以，又，所以，即，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14．【分析】求出函数的导数，继而可求得切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求得答案.【详解】由函数可得，故在点处的切线的斜率为，故切线方程为，即，故答案为：.15．##【分析】将三棱锥补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心、半径及对应圆心角，进而求出弧长，即可知最长弧长.【详解】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图示：若，则，即在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，又，，所以，面与球面所成弧是以为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为；面与与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；面与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；所以最长弧的弧长为.故答案为：.16．【分析】设，，中点，，利用点差法及两点的斜率公式得到，即可求出的取值范围，再根据，可得，最后根据计算可得；【详解】解：设，，中点，，由与相减得，所以，又，所以，所以，即，因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，即．故答案为：17．（1）；（2）；（3）347人次.【分析】（1）由散点图可知，两变量之间是非线性的，从而可得答案；（2）由可得，令，则，则与之间是线性相关的，然后根据已知的数据，利用公式求出，从而可得关于的回归方程；（3）把代入回归方程中求解即可【详解】解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；（2），两边同时取常用对数得：；设，，，，，，.把样本中心点代入，得：，，关于的回归方程式为：；（3）把代入上式得：，活动推出第8天使用扫码支付的人次为347人次.18．(1)(2)，． 【分析】（1）设出公差建立方程组，解出即可得通项公式；（2）由（1）的通项公式化简可得，根据，所以，所以或，对分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意有，解得，，所以，故数列的通项公式为；（2）由，有，可得，因为，所以，因为，所以或，①当时，可得，由m为正整数，不合题意,舍；②当时，可得，满足题意，综上：，．19．(1)证明见解析(2)1(3)90°． 【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）将点B到平面PEF的距离，转化为点O到平面PEF的距离，结合相似三角形对应边成比例求得正确答案.（3）判断出二面角的平面角，解三角形求得二面角的大小.【详解】（1）连接BD，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以．因为四边形ABCD为正方形，所以，又，所以，又AC，平面PMC，，所以平面PMC．（2）由（1）知，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF．设AC与BD的交点为O，则点B到平面PEF的距离等于点O到平面PEF的距离，由（1）知平面PMC，又平面PEF，所以平面平面PMC，作，N为垂足，因为平面平面且交线为，平面PMC，所以平面PEF．因为，，E，F为AB，AD的中点，所以，，，由得，得，即点B到平面PEF的距离为1．（3）由平面PMC可得，同理可证，所以为二面角的一个平面角，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，同理，又，，所以，所以，即二面角的大小为90°．20．(1)(2)直线过定点，且定点坐标为 【分析】（1）分析出双曲线经过的个点，然后求得，从而求得双曲线的方程.（2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由列方程进行化简，进而求出直线过定点（1）由于关于轴对称，所以要么都在双曲线上，要么都不在双曲线上.点不可能都在双曲线上，因为双曲线经过个点，所以都在双曲线上.将的坐标代入得，由都在双曲线上可知、都不在双曲线上，所以点在双曲线上，故，结合可得，所以双曲线的方程为.（2）设，其中，故可设直线的方程为，由消去并化简得，，.因为双曲线的右顶点为，且，所以，所以，代入得，当时，，所以直线过定点.21．（1）有一个零点；（2）证明见解析.【分析】（1）当时，得到，分和两种情况讨论，结合函数的单调性与零点的存在定理，即可求解；（2）当时，求得函数在上单调递增，把证，转化为证明，构造函数，得到，令，利用导数求得函数的单调性，得到，进而得到，即可求解.【详解】（1）当时，函数，当时，，可得，故在上无零点；当时，，在上单调递增，由，，即，所以存在唯一的，使，综上所述，函数在区间上有且只有一个零点.（2）当时，函数，可得，故在上单调递增，又因为且，故，要证，只需证，因为在上单调递增，故只需证，即证，即证.设，可得，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，故在上单调递减，所以，所以，所以.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接法：证明或，可直接转化为或；（2）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（3）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（4）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为(2) 【分析】（1）先消去参数得到普通方程，再利用公式化为极坐标方程；（2）在极坐标下求出的长度，利用角度得到，从而用对角线乘积的一半求以M，N，P，Q为顶点的四边形的面积.(1)的参数方程可化为，（为参数），所以消去参数得的普通方程为，因为，所以的极坐标方程为．曲线的极坐标方程为．(2)根据题意，令，，所以．同理令，可得易知，则以M，N，P，Q为顶点的四边形面积为23．(1)(2) 【分析】（1）分段讨论x的取值范围，脱掉绝对值符号，化简，可得到一元二次不等式组，求得答案;（2）将变形为，分离参数，结合函数的单调性或最值，即可求得答案.【详解】（1）当时, ,所以等价于: 或或,解得 或,故时，不等式的解集为 ;（2）时,,即,即,因为 ,故,即,而时, ,当且仅当时取等号,故 ,即a的取值范围为 .