2018北京东城初一（下）期末数学（教师版）

2018北京东城初一（下）期末

数    学

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．的平方根是（　　）

A．3 B．±3 C． D．±

2．下列现象是平移的是（　　）

A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动 

C．碟片在光驱中运行 D．树叶从树上落下

3．如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是（　　）

A．PA B．PB C．PC D．PD

4．若m＞n，则下列不等式不一定成立的是（　　）

A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．﹣＞﹣ D．m2＞n2

5．护士为了描述某病人某一天的体温变化情况，以下最合适的统计图是（　　）

A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．直方图

6．估计+1的值应在（　　）

A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

7．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD＝82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（　　）

A．8° B．10° C．12° D．18°

8．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．30° C．45° D．50°

9．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（　　）

A．5，6，12 B．2，3，4 C．5，7，7 D．6，8，10

10．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条．

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

11．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　   　．

12．将四个数、、和π表示在数轴上，被图中表示的解集包含的数是　   　．

13．如图，矩形ABCD中，A（﹣4，1），B（0，1），C（0，3），则D点坐标是　   　．

14．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是　   　．

15．如图是一块四边形木板和一把曲尺（直角尺），把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B画直线，若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是　   　．

16．小明用30元钱购买矿泉水和冰激凌，每瓶矿泉水2元，每支冰激凌3.5元，他买了6瓶矿泉水和若干支冰激凌，他最多能买　   　支冰激凌．

17．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为　   　．

18．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，2），则点A3的坐标为　   　，点A2018的坐标为　   　．

三、解答题（本题共10小题，共54分）

19．计算：．

20．小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

21．（6分）求不等式组的整数解．

22．（6分）学着说点理：补全证明过程：

如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠B＝40°，求∠BCD的度数．

解：过点C作CG∥AB．

∵AB∥EF，

∴CG∥EF．（　   　）

∴∠GCD＝∠　   　．（两直线平行，内错角相等）

∵CD⊥EF，

∴∠CDE＝90°．（　   　）

∴∠GCD＝　   　．（等量代换）

∵CG∥AB，

∴∠B＝∠BCG．（　   　）

∵∠B＝40°，

∴∠BCG＝40°．

则∠BCD＝∠BCG+∠GCD＝　   　．

23．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．

24．△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．

25．（5分）如图所示，将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应的△A1B1C1．

（1）画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；

（2）△ABC的面积为　   　．

26．（7分）小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的家庭收入情况、他从中随机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图：

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布表；

（2）补全频数分布直方图；

（3）请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于1000不足1600元）的大约有多少户？

27．（7分）威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．

（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；

（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？

28．（8分）在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．

（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为　   　°；

（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．

请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：

根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：　   　；

（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．

参考答案

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．【分析】首先根据平方根概念求出＝3，然后求3的平方根即可．

【解答】解：∵＝3，

∴的平方根是±．

故选：D．

【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a＝0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．

2．【分析】根据在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，进而判断即可．

【解答】解：A、电梯从底楼升到顶楼，是平移现象，故此选项正确；

B、卫星绕地球运动，不是平移现象，故此选项错误；

C、碟片在光驱中运行，不是平移现象，故此选项错误；

D、树叶从树上落下，不是平移现象，故此选项错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，正确把握平移概念是解题关键．

3．【分析】根据垂线的性质即可得到结论．

【解答】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，

故选：B．

【点评】本题考查了垂线段最短，熟记垂线的性质是解题的关键．

4．【分析】根据不等式的性质，可得答案．

【解答】解：A、两边都加2，不等号的方向不变，故A成立，

B、两边都乘2，不等号的方向不变，故B成立；

C、两边都除以﹣2，不等号的方向改变，故C不成立；

D、当m＞n＞1时，m2＞n2成立，当0＜m＜1，n＜﹣1时，m2＜n2，故D不一定成立，

故选：D．

【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．

5．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．

【解答】解：护士为了描述某病人某一天的体温变化情况，最好用折线统计图，

故选：C．

【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．

6．【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．

【解答】解：∵3＜＜4，

∴4＜+1＜5，

故选：B．

【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出3＜＜4是解题关键，又利用了不等式的性质．

7．【分析】根据平行线的性质，求得∠BOD′的度数，即可确定旋转的角度，即∠DOD′的大小．

【解答】解：∵AC∥OD′，

∴∠BOD′＝∠A＝70°，

∴∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝82°﹣70°＝12°，

故选：C．

【点评】在旋转变换中，正确认识旋转角是解题关键，同时本题运用了平行线的性质，两直线平行，同位角相等．

8．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：∵直线m∥n，

∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，

故选：D．

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

9．【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．

【解答】解：∵5+6＜12，

∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，

故选：A．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．

10．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．

【解答】解：如图所示：

当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．

故选：B．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

11．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．

【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，

故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．

【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．

12．【分析】先比较数2，，，，π，4的大小，再得出答案即可．

【解答】解：∵2＜3，4＜＜5，从数轴可知：范围是在2和4之间（包括2和4两点），

∴在2和4之间的数有，π，

故答案为：，π．

【点评】本题考查了数轴和估算无理数的大小，能估算出和的大小是解此题的关键．

13．【分析】根据矩形的性质得出DC＝AB＝4，BC＝AD，根据C和A的坐标即可得出D的坐标．

【解答】解：∵矩形ABCD中，A（﹣4，1），B（0，1），C（0，3），

∴D的横坐标是﹣4，纵坐标是3，

即D的坐标是（﹣4，3），

故答案为：（﹣4，3）．

【点评】本题考查了矩形的性质和坐标与图形性质的应用，主要培养学生的观察图形的能力，检查学生能否把图形和有关数据结合起来．

14．【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1＝∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数．

【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．

∵入射角等于反射角，

∴∠1＝∠3，

∵CD∥OB，

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；

∴∠2＝∠3（等量代换）；

在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°，

∴∠2＝90°﹣37°＝53°；

∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°．

故答案为：74°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．

15．【分析】依据∠ABM＝90°，∠BAQ＝90°，即可得到∠MBA＝∠QAB，进而得出MN∥PQ．

【解答】解：∵∠ABM＝90°，∠BAQ＝90°，

∴∠MBA＝∠QAB，

∴MN∥PQ（内错角相等，两条直线平行），

故答案为：内错角相等，两条直线平行．

【点评】本题考查了平行线的判定；熟记内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．

16．【分析】设他买了x支冰激凌，根据“矿泉水的总钱数+冰激凌的总钱数≤30”列不等式求解可得．

【解答】解：设他买了x支冰激凌，

根据题意，得：6×2+3.5x≤30，

解得：x≤，

∵x为整数，

∴他最多能买5支冰激凌，

故答案为：5．

【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的不等关系，并据此列出不等式．

17．【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．

【解答】解：

∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，

∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，

∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，

故答案为：40°．

【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．

18．【分析】根据伴随点的定义可找出：A1（3，2），A2（1，﹣2），A3（﹣3，0），A4（﹣1，4），A5（3，2），…，根据点的坐标的变化可找出点An的坐标4个一循环，再结合2018＝504×4+2可得出点A2018的坐标与点A2的坐标相同，此题得解．

【解答】解：∵A1（3，2），A2（1，﹣2），A3（﹣3，0），A4（﹣1，4），A5（3，2），…，

∴点An的坐标4个一循环．

∵2018＝504×4+2，

∴点A2018的坐标与点A2的坐标相同．

故答案为：（﹣3，0）；（1，﹣2）．

【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出点An的坐标4个一循环是解题的关键．

三、解答题（本题共10小题，共54分）

19．【分析】直接利用二次根式以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．

【解答】解：原式＝5﹣3+2﹣

＝4﹣．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．【分析】根据一元一次不等式的解法，找出错误的步骤，并写出正确的解答过程即可．

【解答】解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：

去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，

去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6，

移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2，

合并同类项，得﹣x≤5，

两边都除以﹣1，得x≥﹣5．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的解法及步骤是解题的关键．

21．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．

【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得x≥﹣1，

解不等式＜，得x＜3，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，

∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．

22．【分析】过点C作CG∥AB．依据平行线的性质，即可得到∠DCG＝90°，∠BCG＝40°，进而得到∠BCD的度数．

【解答】解：如图，过点C作CG∥AB．

∵AB∥EF，

∴CG∥EF．（平行于同一条直线的两条直线平行）

∴∠GCD＝∠EDC．（两直线平行，内错角相等）

∵CD⊥FF，

∴∠CDE＝90°．（垂直的定义）

∴∠GCD＝90°．（等量代换）

∵CG∥AB，

∴∠B＝∠BCG．（两直线平行．内错角相等）

∵∠B＝40°．

∴∠BCG＝40°，

则∠BCD＝∠BCG+∠GCD＝130°．

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，EDC，垂直的定义，90°，两直线平行，内错角相等，130°．

【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，作出正确辅助线是解题关键．

23．【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．

【解答】解：∵∠AEC＝42°，

∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝138°，

∵EF平分∠AED，

∴∠DEF＝∠AED＝69°，

又∵AB∥CD，

∴∠AFE＝∠DEF＝69°．

【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键．

24．【分析】要求∠DAC的度数，只要求出∠C的度数即可．先根据角平分线的定义，可得∠EBC的度数，在△BEC中利用三角形的内角和可得∠C的度数．因AD为BC上的高，所以∠ADC＝90°，在△ADC中，再运用三角形的内角和可求∠DAC的度数．

【解答】解：∵BE平分∠ABC，且∠ABC＝60°，

∴∠ABE＝∠EBC＝30°，

∴∠C＝180°﹣∠EBC﹣∠BEC＝180°﹣30°﹣75°＝75°．

又∵∠C+∠DAC＝90°，

∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣75°＝15°．

【点评】此题考查三角形内角和定理，灵活运用垂直的定义和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理是解决本题的关键．特别注意“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．

25．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围多余三角形的面积进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

点A1（0，5），B1（﹣2，﹣1），C1（4，2）；

（2）△ABC的面积为：6×6﹣×2×6﹣×3×4﹣×3×6＝15．

故答案为：15．

【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．

26．【分析】（1）、（2）比较简单，读图表以及频数分布直方图易得出答案．

（3）根据（1）、（2）的答案可以分析求解．求出各个分布段的数据即可．

【解答】（1）根据题意可得出分布是：1200≤x＜1400，1400≤x＜1600；

1000≤x＜1200中百分比占45%，所以40×0.45＝18人；

1600≤x＜1800中人数有2人，故占＝0.05，故百分比为5%．

故剩下1400≤x＜1600中人数有3，占7.5%．

（2）

（3）大于1000而不足1600的占75%，故450×0.75＝337.5≈338户．

答：居民小区家庭属于中等收入的大约有338户．

【点评】本题的难度一般，主要考查的是频率直方图以及考生探究图表的能力．

27．【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解就可以了．

【解答】解：（1）设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得

，

解得：

答：每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元．

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得

200a+100（34﹣a）≥4000，

解得：a≥6

答：威丽商场至少需购进6件A种商品．

【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．

28．【分析】（1）由三角形外角的性质可知∠APB+∠BAC＝∠1＝（∠BAC+∠C）＝×150°＝75°，然后求得即可；

（2）根据测量结果直接得出即可；

（3）根据三角形外角的性质可得结论．

【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，

∴∠1＝（∠BAC+∠C）＝×150°＝75°，

∵∠1＝∠APB+∠BAC，

∴75°＝∠APB+30°，

∴∠APB＝45°，

故答案为45；

（2）

根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：

∠APB＝∠C；

（3）证明：如图3，∵AP平分∠BAC，

∴∠BAP＝∠BAC．

又∵BE平分∠ABD，

∴∠1＝∠ABD，

∵∠APB＝∠1﹣∠BAP，

∴∠APB＝∠ABD﹣∠BAC，

∴∠APB＝（∠ABD﹣∠BAC）．

∴∠APB＝∠C．

【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．