2023年四川省巴中龙泉外国语学校九年级中考模拟考试数学试题（含解析）

这是一份2023年四川省巴中龙泉外国语学校九年级中考模拟考试数学试题（含解析），共34页。试卷主要包含了下列运算正确的是，下列命题中正确的是，如图，点A，B在反比例函数y＝等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省巴中龙泉外国语学校九年级中考模拟考试数学试题
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．若数a、b满足a+b＝0，则a、b两数必满足的是（　　）
A．两数相等 B．均等于0 C．互为相反数 D．互为倒数
2．下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．a6÷a3＝a2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．（a+b）2＝a2+b2
3．1纳米＝10﹣9米，有一种病毒的直径为25100纳米，请用科学记数法表示该病毒的直径（　　）
A．25.1×106米 B．2.51×10﹣5米
C．0.251×10﹣4米 D．25.1×10﹣4米
4．如图是由棱长为1的几个正方体组成的几何体的三视图，则这个几何体的体积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：7、10、9、8、7、9、9、8，则这组数据的众数和中位数是（　　）
A．9、8.5 B．7、9 C．8、9 D．9、9
6．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
7．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形纸条的两条对边上，若∠2＝50°，则∠1的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．20°
8．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．
9．如图，AB＝4，射线BM和线段AB互相垂直，D为线段AB上一点，点E在射线BM上，且2BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则（　　）

A． B． C． D．
10．甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，从A地到B地的路程为120千米．若图中CD，OE分别表示甲、乙离开A地的路程S（千米）和时间t（小时）的函数关系的图象，则下列结论中错误的是（　　）

A．甲的速度为60千米/小时
B．乙从A地到B地用了3小时
C．甲比乙晚出发0.5小时
D．甲到达B地时，乙离A地80千米
11．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（　　）

A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC
12．如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．在实数范围内可以把x2﹣6分解因式为　 　．
14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是　 　．
15．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　 　．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）

16．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝　 　．
17．如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为　 　．

18．如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 　 　．

三、解答题（本大题共7道小题，共84分.）
19．（18分）计算：
（1）（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°；
（2）；
（3）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
20．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．

21．为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．
等级
成绩（x）
人数
A
90＜x≤100
m
B
80＜x≤90
24
C
70＜x≤80
14
D
x≤70
10
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　 　；扇形统计图中，B等级所占百分比是 　 　，C等级对应的扇形圆心角为 　 　度；
（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有 　 　人；
（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

22．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
（3）直接写出关于x的不等式的解集．

24．如图，已知以BC为直径的⊙O与锐角△ABC的边AB交于点D，与边AC交于点F，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，连接DF，DC．
（1）求证：△DEF∽△CDB；
（2）若BC＝AC．
①求证：DE是⊙O的切线；
②若，，求BC，CD和弧BD围成的阴影部分的面积．

25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标；
（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．当线段PM取到最大值时，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．



参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．若数a、b满足a+b＝0，则a、b两数必满足的是（　　）
A．两数相等 B．均等于0 C．互为相反数 D．互为倒数
【分析】根据相反数的定义即可得到答案．
解：∵a+b＝0，
∴a，b互为相反数，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
2．下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．a6÷a3＝a2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式分别计算，进而判断得出答案．
解：A．x2+x3无法合并，故此选项不合题意；
B．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故此选项符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的除法运算、积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．1纳米＝10﹣9米，有一种病毒的直径为25100纳米，请用科学记数法表示该病毒的直径（　　）
A．25.1×106米 B．2.51×10﹣5米
C．0.251×10﹣4米 D．25.1×10﹣4米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：25100纳米用科学记数法表示该病毒的直径为25100×10﹣9＝2.51×10﹣5米．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图是由棱长为1的几个正方体组成的几何体的三视图，则这个几何体的体积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数，据此可得答案．
解：由该几何体的三视图知小正方体的分布情况如下：

则该几何体的体积为5×13＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．
5．在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：7、10、9、8、7、9、9、8，则这组数据的众数和中位数是（　　）
A．9、8.5 B．7、9 C．8、9 D．9、9
【分析】根据众数是数据中出现次数最多的数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，由此即可确定某兴趣小组8名同学的成绩这组数据的中位数、众数．
解：把这组数据重新排序后7，7，8，8，9，9，9，10，
∴这组数据的中位数（8+9）÷2＝8.5，
∵9是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为9；
故选：A．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，属于基础题，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
7．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形纸条的两条对边上，若∠2＝50°，则∠1的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．20°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠3＝∠2＝50°，再根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1+30°，进而得出∠1＝50°﹣30°＝20°．
解：如图：

∵矩形的对边平行，∠2＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°，
根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1+30°，
∴∠1＝50°﹣30°＝20°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
8．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．
【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之和为，即可解答．
解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，），
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C，D的横坐标分别为1，2，
∵点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，），
∴AC＝k﹣1，BD＝，
∴S△OAC＝（k﹣1）×1＝，S△ABD＝•×（2﹣1）＝，
∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴，
解得：k＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是求出AC，BD的长．
9．如图，AB＝4，射线BM和线段AB互相垂直，D为线段AB上一点，点E在射线BM上，且2BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则（　　）

A． B． C． D．
【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE∽△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝x，然后根据平行线的性质即可求得．
解：作FG⊥BC于G，

∵∠DBE＝∠EGF＝90°，∠BDE＝∠FEG，
∴△DBE∽△EGF，
∴，
∵，2BE＝DB，BE＝x，
∴FG＝BE＝x，EG＝DB＝x，
∵FG∥AB，
∴，
∴，
整理得，．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，从A地到B地的路程为120千米．若图中CD，OE分别表示甲、乙离开A地的路程S（千米）和时间t（小时）的函数关系的图象，则下列结论中错误的是（　　）

A．甲的速度为60千米/小时
B．乙从A地到B地用了3小时
C．甲比乙晚出发0.5小时
D．甲到达B地时，乙离A地80千米
【分析】根据图象得出信息，然后利用待定系数法求出CD、OE的解析式进行解答判断即可．
解：设甲的解析式为y＝kx+b，可得：
，
解得：，
所以解析式为：y＝80x﹣40，
把y＝0代入解析式中，可得：0＝80x﹣40，
解得：x＝0.5，
所以甲的速度为：120÷（2﹣0.5）＝80，故A错误；
由图象可得乙的速度为：40÷1＝40，所以乙的时间为：120÷40＝3小时，故B正确；
甲比乙晚0.5小时，故C正确；
甲到达B地时，乙离A地2×40＝80千米，故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键．
11．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（　　）

A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC
【分析】由矩形的性质及勾股定理可求出BD＝10；由折叠的性质可得出AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，则可求出GH＝2；证出∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出CF＝3，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
故A选项不符合题意；
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，
∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，
故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，
∴EG∥FH．
故C选项不符合题意；
∵GH＝2，
∴BH＝DG＝BG﹣GH＝6﹣2＝4，
设FC＝HF＝x，则BF＝8﹣x，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴CF＝3，
∴，
又∵，
∴，
若GF⊥BC，则GF∥CD，
∴，
故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的大致图象，从而可以解答本题．
解：设y＝y2﹣y1，
∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，
∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，
由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，
故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．在实数范围内可以把x2﹣6分解因式为　（x+）（x﹣）　．
【分析】直接利用平方差进行分解即可．
解：x2﹣6＝（x+）（x﹣），
故答案为：（x+）（x﹣）．
【点评】此题主要考查了分解因式，关键是掌握平方差公式．
14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是　a≥﹣且a≠1　．
【分析】由方程是一元二次方程得出a﹣1≠0，再由方程有实数根得出△≥0，即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，
∴a﹣1≠0，Δ＝9+4×2（a﹣1）≥0，
∴a≥﹣且a≠1，
故答案为：a≥﹣且a≠1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，利用根的判别式建立不等式是解本题的关键．
15．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　11米　．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）

【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．
解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8米，∠ADE＝52°，BE＝CD＝1米，
在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24（米），
∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）
故答案为：11米．

【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
16．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝　1　．
【分析】由非负性可求a，b，c的值，由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，由面积法可求△ABC的内切圆半径．
解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，
∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，
∴c＝3，a＝4，b＝5，
∵32+42＝25＝52，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
设内切圆的半径为r，
根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，
∴r＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形面积公式求内切圆半径是本题的关键．
17．如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为　　．

【分析】设AB＝x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′＝∠BA′C解答即可．
解：设AB＝x，则CD＝x，A′C＝x+2，
∵AD∥BC，
∴＝，即＝，
解得，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（舍去），
∵AB∥CD，
∴∠ABA′＝∠BA′C，
tan∠BA′C＝＝＝，
∴tan∠ABA′＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 　　．

【分析】如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出AM（用k表示），可得结论．
解：如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．

∵＝，
∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，
∴（3k﹣x）2+k2＝x2，
∴x＝k，
∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，
由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，
∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，
∴∠DB′Q＝∠CNB′，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DB′Q∽△CNB′，
∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，
∵DB′＝k，
∴DQ＝k，
∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，
∴△DQB′∽△A′QM，
∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，
设AM＝MA′＝y，
则MQ＝y，
∵DQ+QM+AM＝3k，
∴k+y+y＝3k，
∴y＝k，
∴＝＝＝，
解法二：连接BB′，过点M作MH⊥BC于点H．

设AB＝CD＝6m，CB＝9m，设BN＝NB′＝n，则n2＝（3m）2+（9m﹣n）2，
∴n＝5m，CN＝4m，
由△BB′C∽△MNH，可得NH＝2m，
∴AM＝BH＝3m，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共7道小题，共84分.）
19．（18分）计算：
（1）（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°；
（2）；
（3）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可；
（2）先把方程两边乘以（x+1）（x﹣1），则原分式方程化整式方程，解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；
（3）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝﹣x2+x，然后把x的值代入计算即可．
解：（1）原式＝+﹣2+1﹣2﹣2×
＝+﹣2+1﹣
＝﹣；
（2）去分母，得（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1））（x﹣1）＝0，则x＝1为原方程的增根，
所以原方程无解；
（3）原式＝•
＝•
＝﹣•
＝﹣x（x﹣1）
＝﹣x2+x，
当x＝+1时，原式＝﹣（+1）2+﹣1＝﹣4﹣．
【点评】本题考查了分式的化简计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了实数的运算．
20．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．

【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；
（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．
【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝OA，OF＝OC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．
21．为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．
等级
成绩（x）
人数
A
90＜x≤100
m
B
80＜x≤90
24
C
70＜x≤80
14
D
x≤70
10
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　12　；扇形统计图中，B等级所占百分比是 　40%　，C等级对应的扇形圆心角为 　84　度；
（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有 　280　人；
（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

【分析】（1）由D的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由全校共有学生人数乘以成绩为A等级的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，再由概率公式求解即可．
解：（1）抽取的学生人数为：10÷＝60（人），
∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，
扇形统计图中，B等级所占百分比是：24÷60×100%＝40%，C等级对应的扇形圆心角为：360°×＝84°，
故答案为：12，40%，84；
（2）估计其中成绩为A等级的共有：1400×＝280（人），
故答案为：280；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【分析】（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费1350元；第二次分别购进A、B两种花草24棵和10棵，共花费1060元；列出方程组，即可解答．
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，根据B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，得出t的范围，设总费用为W元，根据总费用＝两种树苗的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组，一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用＝两种树苗的费用之和建立函数关系式是关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
（3）直接写出关于x的不等式的解集．

【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，点M、点B、点O的坐标，从而可以求得四边形MBOC的面积；
（3）利用mx+n≥的解集，结合函数图象得出答案．
解：（1）由题意可得，
BM＝OM，OB＝2，
∴BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为y＝，
则﹣2＝，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，得，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；

（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），
∴OM＝2，OC＝2，MB＝2，
∴四边形MBOC的面积是：＝＝4．

（3）∵mx+n﹣≥0，
∴mx+n≥，
∵A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∴当x≥1或﹣2≤x≤0时，mx+n≥，
∴不等式mx+n﹣≥0的解集为x≥1或﹣2≤x≤0．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
24．如图，已知以BC为直径的⊙O与锐角△ABC的边AB交于点D，与边AC交于点F，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，连接DF，DC．
（1）求证：△DEF∽△CDB；
（2）若BC＝AC．
①求证：DE是⊙O的切线；
②若，，求BC，CD和弧BD围成的阴影部分的面积．

【分析】（1）根据BC为⊙O的直径，DE⊥AC，得出∠CDB＝∠DEF＝90°，然后证明∠DFE＝∠B，即可证明△DEF∽△CDB；
（2）①连接OD，根据三线合一得出AD＝BD，根据中位线的性质得出OD∥AC，进而得出DE⊥OD，即可得证；
②根据题意，得出∠A＝∠B＝60°，则，证明△OBD是等边三角形，求出CD和OB，然后根据S阴影＝S扇形OBD+S△DOC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，
∴∠DEF＝90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB＝∠DEF＝90°，
∵∠B+∠DFC＝180°，∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFE＝∠B，
∴△DEF∽△CDB．
（2）解：连接OD，

①∵BC＝AC，∠BDC＝90°，
∴AD＝BD，
∵BO＝CO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线．
②∵BC＝AC，
∴∠A＝∠B，
∴，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴，
∴，
∵∠B＝60°，OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定，切线的判定，圆内接四边形的性质，扇形面积计算，解直角三角形等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．
25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标；
（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．当线段PM取到最大值时，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．

【分析】（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）分两种情形分别求解可得结论；
（3）①根据BC的解析式和抛物线的解析式，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示PM的长，根据二次函数的最值可得：当x＝时，PM的最大值；
②当PM的最大值时，P（，﹣），确定F的位置：在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，当N、F、H三点共线时，如图2，FH+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，根据45度的直角三角形的性质可得结论．
解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4
∴顶点D（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或﹣1，
∴B（3，0）；
如图1，连接BD，CE′，CE′交BD于点T．

设BD所在直线的解析式为：y＝k（x﹣3），将D点坐标代入函数解析式，得
﹣2k＝﹣4，
解得k＝2，
故BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，
∵∠ECB＝∠CBD，
∴CE∥BD，
设CE所在直线的解析式为：y＝2x+b，将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，
故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝0时，x＝．
当点E在点B的右侧时，∵△BCD是直角三角形，
∴CE′经过BD的中点T（2，﹣2），
∴直线CT的解析式为y＝﹣x﹣3，
∴点E′的坐标是（6，0）．
∴综上所述，点E的坐标是（，0）或（6，0）；

（3）①如图2，

∵B（3，0），C（0，﹣3），
设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
BC的解析式为：y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），
∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PM有最大值为．

②当PM有最大值，P（，﹣），
在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，
∴FN＝CF，
当N、F、H三点共线时，PH+NH最小，即PH+HF+CF的值最小，
Rt△OCK中，OC＝3，
∴OK＝3，
∵OH＝，
∴KH＝+3＝，
Rt△KNH中，∠KHN＝45°，
∴KN＝KH＝，
∴NH＝KN＝，
∴PH+HF+CF的最小值是PH+NH＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，正确画图是关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．