2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．“9的算术平方根是3”用式子表示为（　　）
A． B． C． D．
3．要使有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≤1且x≠0 C．x＜1且x≠0 D．x＜1
4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k＝0
5．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（　　）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
6．关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则分解因式x2+bx+c等于（　　）
A．（x+2）（x﹣3） B．（x﹣2）（x+3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．（x+2）（x+3）
7．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
8．估计的值应在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　）

A．16 B．6 C．12 D．30
10．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）
11．的倒数是 　 　．
12．如图，将一个矩形纸片ABCD沿着直线EF折叠，使得点C与点A重合，直线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则线段EF的长为 　 　．

13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为　 　．
14．如图，平面直角坐标系中有两条直线分别为，，若l2上一点P到l1的距离为1，则P点的坐标为 　 　．

15．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　 　．

三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16．（1）计算：（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2；
（2）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0），当b2﹣4ac≥0时，请用配方法推导出该方程的求根公式．
17．解方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．
18．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论．
19．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．小明用这种思维方式和换元法解决下面的问题，求出了方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得新方程
 解新方程
检验
求原方程的解

令，
则2t﹣3＝0


，
所以










20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点．
（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由．

22．如图，请在边长为1的方格纸中利用格点作图（不必说明作图步骤，标出你所连接的格点即可）：
（1）如图1，画一个平行四边形EFGH，使得点A，B，C，D分别在平行四边形EFGH的四条边上，且S▱EFGH＝2S四边形ABCD，并直接写出你画的平行四边形EFGH的面积；
（2）如图2，画一个矩形MNPQ，使得点A，B，C，D分别在矩形MNPQ的四条边上，且S矩形MNPQ＝2S四边形ABCD，并直接写出矩形MNPQ的边长；
（3）如图3，延长DA至点K，请在AK上找一点T使得S△CDT＝S四边形ABCD．

23．已知，矩形ABCD，点E在AB上，点G在AD上，点F在射线BC上，点H在CD上．

（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且DE⊥GF，求证：BF＝AE+AG；
（2）在（1）的条件下，将GF沿AD向右平移至点G与点D重合，如图2，连接EF，取EF的中点P，连接PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点F在BC上，连接EH，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若AB＝2，BC＝4，，求线段EH的长．



参考答案
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质及二次根式的除法法则计算．
解：A、原式＝3，∴不符合题意；
B、原式＝5，∴不符合题意；
C、原式＝2，∴符合题意；
D、原式＝，∴不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，掌握二次根式的乘法运算法则，二次根式的基本性质，双重的非负性是解题关键．
2．“9的算术平方根是3”用式子表示为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的概念写出式子即可．
解：9的算术平方根是3用式子表示为＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是算术平方根的概念，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，即＝x．
3．要使有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≤1且x≠0 C．x＜1且x≠0 D．x＜1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
解：要使有意义，
则1﹣x＞0，
解得：x＜1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k＝0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（　　）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
【分析】分别把x＝1或x＝﹣1代入方程可得到足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则分解因式x2+bx+c等于（　　）
A．（x+2）（x﹣3） B．（x﹣2）（x+3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．（x+2）（x+3）
【分析】由关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，可得方程x2+bx+c＝0为：（x+2）（x﹣3）＝0，继而求得答案．
解：∵关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，
∴方程x2+bx+c＝0为：（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x2+bx+c＝（x+2）（x﹣3）．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根的性质．此题难度不大，注意根据题意可得方程x2+bx+c＝0为：（x+2）（x﹣3）＝0是解此题的关键．
7．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．估计的值应在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【分析】根据乘法的分配律以及二次根式的运算，进行计算后，再进行估算即可．
解：原式＝3×﹣×
＝3﹣
＝3﹣6
3＝，
∵49＜54＜64，
∴7＜＜8，
∴1＜3﹣6＜2．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，掌握二次根式的混合运算的方法是正确解答的关键．
9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　）

A．16 B．6 C．12 D．30
【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝2，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中，OC＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×6＝6．
故选：B．

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．
10．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
【分析】①由四边形ABCD和A1B1C1O是正方形可知，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可得Rt△OEF为等腰直角三角形；
②由（1）易证得S四边形OEBF＝S△BOC＝S正方形ABCD，则可得出结论；
③BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA，而EF的最小值为AC＝OA，故可得结论③正确；
④由AE＝BF和EF2＝BE2+BF2，即可得结论．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴∠OEF＝45°，EF＝OE；故①正确；
②由①得△BOE≌△COF
∴S四边形OEBF＝S△BOF+S△BOE＝S△BOF+S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，
故②错误；
③由①可知BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA，EF＝OE，
△BEF周长＝BE+BF+EF＝OA+OE，
∵OA为定值，则OE最小时△BEF周长的周长最小，
∴当OE⊥AB时OE最小，△BEF周长的周长最小，
此时OE＝OA，
∴△BEF周长的周长最小值＝OA+OE＝OA+×OA＝（1+）OA．
故③正确，
④∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝AE2+CF2，
又∵2OB2＝AB2＝（AE+CF）2．
∴AE2+CF2≠2OB2，故④错误．
故选：A．
【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．
二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）
11．的倒数是 　　．
【分析】根据倒数的定义和分母有理化即可求解．
解：的倒数是＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的性质，关键是熟练掌握倒数的定义．
12．如图，将一个矩形纸片ABCD沿着直线EF折叠，使得点C与点A重合，直线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则线段EF的长为 　　．

【分析】连接AE，EF交AC于点O，根据折叠可知AE＝CE，EF垂直平分AC，由等边对等角得∠CAE＝∠ACE，由AD∥BC可得∠FAO＝∠ACE，进而得到∠FAO＝∠CAE，以此可通过ASA证明△AOE≌△AOF，得到CE＝AE＝AF＝5，OE＝OF，再根据勾股定理分别求出AB＝4、AC＝，则OA＝，再利用勾股定理求出OE即可求解．
解：如图，连接AE，EF交AC于点O，

∵将一个矩形纸片ABCD沿着直线EF折叠，使得点C与点A重合，
∴AE＝CE，EF垂直平分AC，
∴∠CAE＝∠ACE，OA＝OC，∠AOE＝∠AOF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ACE，
∴∠FAO＝∠CAE，即∠FAO＝∠EAO，
在△AOE和△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF＝5，OE＝OF，
∴CE＝AE＝5，
∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，
在Rt△ABE中，＝＝4，
在Rt△ABC中，＝＝，
∴OA＝＝，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴OE＝OF＝，
∴EF＝OE+OF＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和三角形全等的判定方法时解题关键
13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为　0　．
【分析】利用α是方程x2﹣3x﹣4＝0的实数根得到α2﹣3α＝4，再根据根与系数的关系得到得αβ＝﹣4，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：∵α是方程x2﹣3x﹣4＝0的实数根，
∴α2﹣3α﹣4＝0，
即α2﹣3α＝4，
∵αβ＝﹣4，
∴原式＝4﹣4
＝0．
故答案为0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．如图，平面直角坐标系中有两条直线分别为，，若l2上一点P到l1的距离为1，则P点的坐标为 　（2，）或（4，）　．

【分析】这样的P点一定有两个，分别位于两直线交点的两侧．先利用几何关系求出两直线交点左边的P点，再利用几何关系求出两直线交点右边的P点即可．
解：设直线l1交y轴于点A，直线l2交y轴于点B，l1、l2交于点C．解方程组，得，故C（3，0）．
对于直线l1，当x＝0时，y＝4，故A（0，4）；
对于直线l2，当x＝0时，y＝﹣1，故B（0，﹣1）．
∵AB＝4+1＝5，AC＝＝＝5，
∴△ABC是等腰三角形，且BC＝＝＝．
∵S△ABC＝＝，
∴BN＝OC＝3．
过B作BN⊥AC于N，
∵P到直线l1的距离小于BN，
∴在点B与C之间取一点P，作PM⊥AC于M，则有PM∥BN．
∴，得PC＝．
设P（xP，yP），则有yP＝xP﹣1和（3﹣xP）2+＝PC2，解得P（2，）或P（4，）．
∵点P在点B与C之间，
∴yp＜0，故P点坐标应为（2，）．
在直线l2上，于BC延长线上取一点P'，过P'作P'M'垂直于直线l1于M'，使得P'M'＝1．
在△PMC和△PM'C中，∠PMC＝∠PM'C＝90°，∠PCM＝∠PCM'（对顶角），PM＝P'M'，
∴△PMC≌△PM'C（AAS），
∴P'C＝PC．
设P'（xP'，yP'），则有yP'＝xP'﹣1和（xP'﹣3）2+yP'2＝P'C2，解得P'（2，）或P'（4，）．
∵点P'在BC延长线上，
∴yP'＞0，故P'点坐标应为（4，）．
故答案为：（2，）或（4，）．

【点评】本题主要考查了在坐标系中两直线相交问题，综合性很强，计算量非常大．
15．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　6cm　．

【分析】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，由旋转的性质，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．
解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，
∵∠α＝30°，DE＝3cm，
∴CD＝2DE＝6cm，
同理：BC＝AD＝6cm，
由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形，
∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，
∴∠A′BC＝90°，
∴A′C＝＝＝6（cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm，
故答案为6cm．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16．（1）计算：（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2；
（2）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0），当b2﹣4ac≥0时，请用配方法推导出该方程的求根公式．
【分析】（1）利用平方差公式及完全平方公式进行计算即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
解：（1）（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2
＝12﹣6﹣（2﹣2+1）
＝12﹣6﹣2+2﹣1
＝3+2；

（2）ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0），
两边同除以a得：x2+x+＝0，
移项得：x2+x＝﹣，
配方得：x2+x+（）2＝﹣+（）2，
即（x+）2＝，
∵b2﹣4ac＞0，
∴将上述方程直接开平方得：x+＝±，
则x＝．
【点评】本题主要考查二次根式的运算及配方法解一元二次方程，二次根式的运算法则及配方法是重要知识点，必须熟练掌握．
17．解方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．
【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法求解即可；
（2）先移项，再将x+2看做整体，利用十字相乘法将左边因式分解，进一步求解即可．
解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，
∴（x﹣3）2＝4，
则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1；
（2）∵（x+2）2﹣2（x+2）＝3，
∴（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0，
则（x+2﹣3）（x+2﹣1）＝0，即（x﹣1）（x+1）＝0，
∴x﹣1＝0或x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　＝5　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　＝（n+1）　；
（3）请证明（2）中的结论．
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
解：（1）＝5；
（2）＝（n+1）；
（3）
＝
＝
＝
＝（n+1）．
故答案为：（1）＝5；
（2））＝（n+1）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
19．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．小明用这种思维方式和换元法解决下面的问题，求出了方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得新方程
 解新方程
检验
求原方程的解

令，
则2t﹣3＝0


，
所以










【分析】对于方程x﹣2+1＝0，设y＝，原方程转化为y2﹣2y+1＝0，解得y1＝y2＝1，再解方程＝1得x＝1，然后进行检验得到原方程的解；对于方程x+2+＝0，设y＝，
则原方程转化为y2+y＝0，解一元二次方程得到y1＝0，y2＝﹣1，再分别解方程＝0和＝﹣1，然后进行检验得到原方程的解．
解：x﹣2+1＝0，
设y＝，
原方程转化为y2﹣2y+1＝0，
解得y1＝y2＝1，
当y＝1时，＝1，解得x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2+1＝0，则x＝1为原方程的解，
所以原方程的解为x＝1；
x+2+＝0，
设y＝，
原方程转化为y2+y＝0，
解得y1＝0，y2＝﹣1，
当y＝0时，＝0，解得x＝﹣2，
当y＝﹣1时，＝﹣1，方程无解，
检验：当x＝﹣2时，x+2+＝0，则x＝﹣2为原方程的解，
所以原方程的解为x＝﹣2．
【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．
21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点．
（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）连接AE，EC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝BD，AE＝BD，从而可得AE＝CE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝DE，AE＝DE，从而可得∠ECD＝∠CDE，∠EAD＝∠ADE，然后利用三角形的外角性质可得∠AEC＝2∠ADC＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得EF＝AC，即可解答．
解：（1）EF⊥AC，
理由：连接AE，EC，

∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝BD，
∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝BD，
∴AE＝CE，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC；
（2）EF＝AC，
理由：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝DE＝BD，
∴∠ECD＝∠CDE，
∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∵∠ADC＝45°，
∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC
＝∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC
＝2∠ADE+2∠CDE
＝2（∠ADE+∠CDE）
＝2∠ADC
＝90°，
∵点F是AC的中点，
∴EF＝AC．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．如图，请在边长为1的方格纸中利用格点作图（不必说明作图步骤，标出你所连接的格点即可）：
（1）如图1，画一个平行四边形EFGH，使得点A，B，C，D分别在平行四边形EFGH的四条边上，且S▱EFGH＝2S四边形ABCD，并直接写出你画的平行四边形EFGH的面积；
（2）如图2，画一个矩形MNPQ，使得点A，B，C，D分别在矩形MNPQ的四条边上，且S矩形MNPQ＝2S四边形ABCD，并直接写出矩形MNPQ的边长；
（3）如图3，延长DA至点K，请在AK上找一点T使得S△CDT＝S四边形ABCD．

【分析】（1）连接AC，分别过点B，D，作BL∥AC，DW∥AC，可得平行四边形EFGH；
（2）连接BD，作MN∥BD，且四边形MBDN是矩形，过点C作CJ∥BD，延长MB交CJ于点Q，延长ND交直线CJ于点P，四边形MNPQ即为所求；
（3）连接AC，过DB作BT∥AC，交DK于点T，点T即为所求．
解：（1）如图1中，平行四边形EFGH即为所求；
（2）如图2中，矩形MNPQ即为所求；
（3）如图3中，点T即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．已知，矩形ABCD，点E在AB上，点G在AD上，点F在射线BC上，点H在CD上．

（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且DE⊥GF，求证：BF＝AE+AG；
（2）在（1）的条件下，将GF沿AD向右平移至点G与点D重合，如图2，连接EF，取EF的中点P，连接PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点F在BC上，连接EH，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若AB＝2，BC＝4，，求线段EH的长．

【分析】（1）过点G作GM⊥BC于M，证△DAE≌△GMF（AAS），得AE＝MF，即可得出结论；
（2）过点E作EQ∥PC，交BC于点Q，证△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF＝QC，再证△EBQ是等腰直角三角形，得EQ＝BE，即可解决问题；
（3）过点B作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，证四边形BFGM和四边形BEHN都是平行四边形，得BM＝FG＝，BN＝EH，取AD的中点I，取BC的中点J，连接IJ，则AI＝BJ＝2，得四边形ABJI是正方形，则MI＝AI﹣AM＝1，延长IJ到L，使JL＝AM＝1，IJ交BN于K，连接MK，然后证△BAM≌△BJL（SAS），得∠ABM＝∠JBL，BM＝BL＝，进而证△MBK≌△LBK（SAS），得MK＝KL，设KJ＝x，MK＝KL＝KJ+JL＝x+1，IK＝IJ﹣KJ＝2﹣x，利用勾股定理得MI2+IK2＝MK2，即12+（2﹣x）2＝（x+1）2，解得x＝，则KJ＝，由勾股定理得BK＝，最后由三角形中位线定理的BN＝2BK＝，即可得出结论．
【解答】（1）证明：过点G作GM⊥BC于M，如图1所示：
则∠GMB＝∠GMF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，AD∥BF，
∴∠DGF＝∠MFG，∠A＝∠GMF，四边形ABMG是矩形，
∴AG＝BM，MG＝AB＝AD，
∵DE⊥GF，
∴∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DGF，
∴∠AED＝∠MFG，
又∵∠A＝∠GMF，AD＝MG，
∴△DAE≌△GMF（AAS），
∴AE＝MF，
∴BF＝MF+BM＝AE+AG；
（2）解：BE与PC的数量关系为：BE＝PC，理由如下：
过点E作EQ∥PC，交BC于点Q，如图2所示：
∵P是EF的中点，
∴PC是△EQF的中位线，
∴EQ＝2PC，QC＝CF，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
又∵∠A＝∠DCF＝90°，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF＝QC，
∵AB＝BC，
∴AB﹣AE＝BC﹣QC，
即BE＝BQ，
∵∠B＝90°，
∴△EBQ是等腰直角三角形，
∴EQ＝BE，
∴2PC＝BE，
∴BE＝PC；
（3）解：过点B作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，如图3所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形BFGM和四边形BEHN都是平行四边形，
∴BM＝FG＝，BN＝EH，
在Rt△BAM中，由勾股定理得：AM＝＝＝1，
取AD的中点I，取BC的中点J，连接IJ，
则AI＝BJ＝2，
∵AB＝2，
∴四边形ABJI是正方形，
∴MI＝AI﹣AM＝2﹣1＝1，
延长IJ到L，使JL＝AM＝1，IJ交BN于K，连接MK，
∵AB＝BJ＝2，∠A＝∠BJI＝∠BJL＝90°，
∴△BAM≌△BJL（SAS），
∴∠ABM＝∠JBL，BM＝BL＝，
∵∠GOH＝45°，BN∥EH，BM∥GF，
∴∠MBN＝∠MBK＝45°，
∴∠ABM+∠JBK＝45°，
∴∠JBL+∠JBK＝45°，
即∠LBK＝45°，
∴∠MBK＝∠LBK，
又∵BM＝BL，BK＝BK，
∴△MBK≌△LBK（SAS），
∴MK＝KL，
设KJ＝x，MK＝KL＝KJ+JL＝x+1，IK＝IJ﹣KJ＝2﹣x，
在Rt△KIM中，由勾股定理得：MI2+IK2＝MK2，
即12+（2﹣x）2＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴KJ＝，
在Rt△BJK中，由勾股定理得：BK＝＝＝，
∵∠BJI＝∠C＝90°，
∴KJ∥CN，
∵J是BC的中点，
∴KJ是△BCN的中位线，
∴BN＝2BK＝，
∴EH＝．



【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，本题综合性强，难度较大，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题．