2023年山东省济南市南山区中考数学模拟试卷（含解析）

2023年山东省济南市南山区中考数学模拟试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成，它的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  长江是我国第一大河，它的全长约为千米，这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，十堰市张湾区积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，的平分线交直线于点，直线于点，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点顺时针方向旋转，得到，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点若，面积为，则长度的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  关于二次函数的三个结论：对任意实数，都有与对应的函数值相等；若，对应的的整数值有个，则或；若抛物线与轴交于不同两点，，且，则或其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的个红球，个黑球，要使从中随机摸取个球是黑球的概率为，则要往袋中添加黑球______个．

13.  如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点、、、四点共线，为公共顶点．则______．

14.  已知为的直径，为平行四边形，与交于点、，若，则图中阴影部分的面积为______．

15.  某市为提倡居民节约用水，自今年月日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费元与用水量之间的关系．小雨家去年用水量为，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多______元．

16.  如图，在平面直角坐标系中，等边，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组，并写出该不等式组的整数解．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点，求证：．

20.  本小题分
中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部；
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______度；
请将条形统计图补充完整；
该校共有名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？

21.  本小题分

图是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力图是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图已知，互相平分于点， ，若，．

     求的长．

求点到底架的高结果精确到；参考数据： ， ， 
 

22.  本小题分
如图，是的直径，点是延长线上一点，是的切线，切点为，过点作交的延长线于点，连接．
求证：平分；
若，，求的直径的长．

23.  本小题分
某旅游商品经销店欲购进、两种纪念品，种纪念品每件进价是种纪念品每件进价的倍，用元购买种纪念品的数量比用同样金额购买种纪念品的数量多件．
求、两种纪念品的每件进价分别为多少元？
若该商店种纪念品每件售价元，种纪念品每件售价元，该商店准备购进、两种纪念品共件，且种纪念品不少于件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润为多少元？

24.  本小题分
如图，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与轴交于点，与轴交于点，，轴，垂足为．
求反比例函数的解析式；
求的长；
在轴上是否存在点，使得与相似，若存在，请求出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
在中，，，点为直线上一动点点不与，重合，以为边在的右侧作正方形，连接．

观察猜想
如图，当点在线段上时，
与的位置关系为：______；
，，之间的数量关系为：______将结论直接写在横线上
数学思考
如图，当点在线段的延长线上时，结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，
拓展延伸
如图，当点在线段的延长线上时，延长交于点，连接若，，请求出的长．

26.  本小题分
已知对称轴为直线的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一个交点为．
求抛物线的解析式；
如图，若点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，求的最大值；
如图，若点为抛物线上一点，且当，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
根据绝对值的概念可得的绝对值就是数轴上表示的点与原点的距离．进而得到答案．
此题主要考查了绝对值，关键是掌握概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形．
故选：．
根据主视图的意义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，直线于点，

，
，
，
的平分线交直线于点，
，
，
故选：．
根据互余得出，再利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
本题考查平行线的性质；熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据完全平方公式，单项式乘单项式的运算法则，合并同类项的运算法则，同底数幂的除法的运算法则求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了单项式乘单项式法则，同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项法则等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有种，
小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．正确画出树状图是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图知，旋转中心的坐标为，

故选：．
选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点．
本题主要考查坐标与图形的变化旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，交直线于点，设交于点，
由题意得，直线为线段的垂直平分线，
，，
当点与点重合时，长度最小，最小值即为的长．
，为的中点，
，
，面积为，
，
解得．
故选：．
连接，交直线于点，设交于点，当点与点重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可．
本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称最短路径问题是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
与关于直线对称，
对任意实数，都有与对应的函数值相等；
故正确；
当时，，当时，，
若时，当时，，
当时，对应的的整数值有个，分别是，，，，

，
若时，当时，，
当时，对应的的整数值有个，分别是，，，，

，
故错误；
若，抛物线与轴交于不同两点，，且，
，当时，，
，
，
若，抛物线与轴交于不同两点，，且，
，当时，，
，
，
综上所述：当或时，抛物线与轴交于不同两点，，且故正确；
故选：．
由题意可求次函数的对称轴为直线，由对称性可判断；分或两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断；分或两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断；即可求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点等知识，理解题意列出不等式组是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
直接利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：．
 

12.【答案】 

【解析】解：设往袋中添加个黑球，
根据题意得：，
解得：，
经检验是方程的解，
故答案为：．
设往袋中添加个黑球，利用概率公式得到：，然后求解即可．
本题考查了概率公式的知识，解题的关键是了解摸到黑球的概率所表示的意义，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】解：由多边形的内角和可得，
，
，
，
，
由三角形的内角和得：
．
故答案为：．
根据多边形的内角和，分别得出，，再根据平角的定义和三角形的内角和算出．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，过作于，

是的直径，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
、、、四点共圆，

，
是等边三角形，
，
，，，
，
，
，
，
点到的距离是，
阴影部分的面积，
故答案为：．
连接，，过作于，根据圆周角定理求出，求出，根据平行四边形的性质求出，求出是等边三角形，再求出答案即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，平行四边形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设当时，对应的函数解析式为，
，得，
即当时，对应的函数解析式为，
当时，，
由图象可知，去年的水价是元，故小雨家去年用水量为，需要缴费：元，
元，
即小雨家去年用水量为，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元，
故答案为：．
根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
每次旋转角度为，
次旋转，
，
第次旋转后，点与点的位置相同，都在轴的负半轴上，
第一次旋转后，，
第二次旋转后，，
第三次旋转后，，

第次旋转后，，
点的坐标为．
故答案为：．
根据旋转角度为，可知每旋转次点的位置重复出现，由此可知第次旋转后，点与点的位置相同，都在轴的负半轴上，再由，即可求解．
本题考查图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得，；
解不等式得，
不等式组的解集是：，
不等式组的整数解是：，． 

【解析】此题可先根据一元一次不等式组解出的取值，根据是整数解得出的可能取值．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，分别平分和，
，，
，
≌，
． 

【解析】先由平行四边形的性质得到，，，求得，再证≌，然后由全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

20.【答案】     

【解析】解：本次调查的人数为：人，
读部的学生有：人，
故本次调查所得数据的众数是部，中位数是部，
故答案为：，；
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：；
由知，读部的学生有人，
补全的条形统计图如图所示；

人，
答：估计该校没有读过四大名著的学生有人．
根据读部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数；
根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角的度数；
根据中读部的人数，可以将条形统计图补充完整；
利用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．
 

21.【答案】解：，，互相平分于点，
，
，
与均是正三角形，
；
在中，，
即，
答：点到底架的高为． 

【解析】根据题意得出，由，证明与均是正三角形，即可得出答案；
在中，利用正弦定义求解即可．
本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．
 

22.【答案】证明：连接如图，
与相切，
，即，
，
．
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，如图，
为的直径，
，
．
，
∽，
，
，即，
． 

【解析】连接如图，利用切线的性质得到，则可判断，所以，然后证明即可；
连接，如图，根据圆周角定理得到，再证明，然后利用相似比可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理可相似三角形的判定与性质．
 

23.【答案】解：设种纪念品的进价为元，则纪念品的进价为元，由题意，得
，
解得：，
经检验，满足题意，
故，
答：、两种纪念品的进价分别为元，元；

设总利润为元，购买种纪念品件，由题意，得
，
．
，
随的增大而减小，
当时，元．
即，当购进种纪念品件，种纪念品件时，获利最大，为元． 

【解析】设种纪念品的进价为元，纪念品的进价为元，根据元购买种纪念品的数量比用同样金额购买种纪念品的数量多件得出方程求出答案；
设总利润为元，根据利润每件利润数量建立与之间的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
 

24.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为：；
过点作于，把代入得，
，
，
，
，
，
；
存在，
如图，，
，
当轴时，，则：，
，
当时，，，
则，
综上所述，满足条件点的坐标为，． 

【解析】根据反比例函数的图象经过点，即可得到结论；
过点作于，把代入得，得到，求得，得到，于是得到结论；
如图，当轴时，，当时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：正方形中，，，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
即；
故答案为：；
由得：≌，
，
，
；
故答案为：；
成立；不成立，理由如下：
正方形中，，，
，
，
在与中，，
≌，
，
，，
．
，
，
，
，，
；
解：过作于，过作于，于，如图所示：
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：．
由正方形的性质得到，证出≌，由全等三角形的性质和余角的关系进而得到结论；
由全等三角形的性质得到，进而得出结论；
推出≌，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
过作于，过作于，于，证≌，推出，，推出，，由是等腰直角三角形，推出，推出，再由勾股定理即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识；本题综合性强，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：设抛物线的解析式为．
，，抛物线，
，解得，
抛物线的解析式为；
过点作轴于点，交于点，

，
∽，
，
，
抛物线经过，与轴的另一个交点为．
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是；
过点作轴于点，交于点，过点作于点，

，
，，
，
，
∽，
，
设，则，
．
，，
，
，
，
，
，解得或，
点的坐标为或 

【解析】设抛物线的解析式为，将，的坐标和抛物线代入，从而得到抛物线的解析式；
过点作轴于点，交于点，证明∽，得出，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
过点作轴于点，交于点，过点作于点，证明∽，，设，则，求出，可得，求出的值，即可得点的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．