2023年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷(含答案)

这是一份2023年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷(含答案)，共28页。
2023年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一
1．（3分）在0，﹣1，1，﹣5这四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣5
2．（3分）如图，直线l1∥l2，直线l1，l2被直线l3所截，若∠1＝54°，则∠2的大小为（　　）

A．126° B．46° C．36° D．136°
3．（3分）下列各式中，计算结果等于a5的是（　　）
A．a2+a3 B．（a2）3﹣a C．a2•a3 D．a5÷a
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．了解某品牌手机的使用寿命适合用全面调查
B．调查北京冬奥会运动员是否服用兴奋剂适合用抽样调查
C．“经过有交通信号灯的路口遇到红灯”是随机事件
D．为了解“双减”效果，某校随机抽取九年级学生的作业进行调查比较合理
5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）若一个正多边形的每个内角为150°，则这个多边形是（　　）边形．
A．10 B．12 C．14 D．15
7．（3分）若点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较
8．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC
9．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5 D．+＝5
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b的图象和反比例函数y＝的图象在同一平面直角坐标系中大致为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上
11．（3分）2022年10月31日，长征五号B运载火箭搭载中国空间站“梦天”实验舱在海南文昌发射场发射升空，起飞重量837000千克，将837000写成科学记数法为 　 　．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）为了更好地落实“双减”政策，学校设置了以实践探究为主的个性化作业，如图是某学生设计的电路图，随机闭合开关S1，S2，S3中两个，能让灯泡发光的概率是 　 　．

14．（3分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8m，那么两排灯的水平距离是 　 　米．

15．（3分）⊙O的半径r＝1，弦AC＝，弦AB＝，则∠BAC的度数是　 　．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为 　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且
17．（7分）下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝…第六步
任务一：填空
①从上面的化简步骤，第 　 　步是进行分式的通分，通分的依据是 　 　．
②第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果 　 　．
任务三：当时，求该分式的值．
18．（6分）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

19．（6分）某校九年级（1）班为了了解本班同学的体育训练情况，全班同学进行了一次中考
体育模拟考试，并对全班同学的体育模拟考试成绩进行了统计，将数据整理后得到下列不完整的统计图表，根据图表中的信息解答下列问题：
组别
分数段
人数
A
36≤x＜41
3
B
41≤x＜46
4
c
46≤x＜51
15
D
51≤x＜56
m
E
56≤x＜61
10
（1）九年级（1）班共有 　 　名学生，表中的m＝　 　；
（2）写出该班学生的中考体育模拟考试成绩的中位数所落的分数段是第 　 　组（填组别）；
（3）扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数是 　 　；
（4）A组的三名同学的成绩分别是：36，38，40，这组数据的方差为 　 　；
（5）该校九年级有学生600人，请估计成绩未达到51分的有 　 　人．

20．（7分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是△ABC外一点，∠ADC＝90°．
（1）尺规作图：请利用直尺和圆规作出△ABC的高AE（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）连接DE，若CD＝AC，判断四边形ABED的形状并说明理由．

21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE并延长，交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若，OB＝BF，求图中阴影部分的面积．

23．（10分）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下：
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
甲
a
5
乙
b
7
乙种水果的进价比甲种水果高2.5元/斤，当水果经销店购进400斤乙种水果与200斤甲种水果时，乙种水果的进货款与甲种水果的进货款之比为24：7．
（1）求a、b的值；
（2）水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．
①求出w与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；
②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于312元，求m的最大值．
24．（10分）（1）观察猜想：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，∠BAC＝∠DAE＝45°，DE＝AE，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD，交AC于点C，连接CE交BD于点F，则的值为　 　，∠BFC的度数为　 　．
（2）类比探究：
如图3，当∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°时，请求出的值及∠BFC的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠BDC＝45°．若CD＝8，BD＝6，请直接写出A，D两点之间的距离．

25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．


2023年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一
1．（3分）在0，﹣1，1，﹣5这四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣5
【解答】解：﹣5＜﹣1＜0＜1，
故选：D．
2．（3分）如图，直线l1∥l2，直线l1，l2被直线l3所截，若∠1＝54°，则∠2的大小为（　　）

A．126° B．46° C．36° D．136°
【解答】解：如图：

∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣54°＝126°．
故选A．
3．（3分）下列各式中，计算结果等于a5的是（　　）
A．a2+a3 B．（a2）3﹣a C．a2•a3 D．a5÷a
【解答】解：∵a2与a3不是同类项，不能加减；
（a2）3﹣a＝a6﹣a≠a5；
a2•a3＝a2+3＝a5；
a5÷a＝a4≠a5．
∴计算结果等于a5的是C．
故选：C．
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．了解某品牌手机的使用寿命适合用全面调查
B．调查北京冬奥会运动员是否服用兴奋剂适合用抽样调查
C．“经过有交通信号灯的路口遇到红灯”是随机事件
D．为了解“双减”效果，某校随机抽取九年级学生的作业进行调查比较合理
【解答】解：A．了解某品牌手机的使用寿命，适合用抽样调查，故A选项不符合题意；
B．调查北京冬奥会运动员是否服用兴奋剂适合用全面调查，故B选项不符合题意；
C．“经过有交通信号灯的路口遇到红灯”是随机事件，故C选项符合题意；
D．为了解“双减”效果，某校应该随机抽取多个年级的学生的作业进行调查比较合理，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：解不等式x+2≤3，得：x≤1，
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示：
故选：D．
6．（3分）若一个正多边形的每个内角为150°，则这个多边形是（　　）边形．
A．10 B．12 C．14 D．15
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则150°n＝（n﹣2）•180°，
解得：n＝12，
故选：B．
7．（3分）若点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较
【解答】解：把点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）代入反比例函数可得，
y1＝＝﹣3，y2＝＝﹣1，
由于﹣3＜﹣1，即y1＜y2，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
∵OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠DCB
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
9．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5 D．+＝5
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b的图象和反比例函数y＝的图象在同一平面直角坐标系中大致为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＜0，
∴b＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y＝ax﹣b的图象经过第一二四象限，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴反比例函数y＝的图象在第一三象限，
只有A选项图象符合．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上
11．（3分）2022年10月31日，长征五号B运载火箭搭载中国空间站“梦天”实验舱在海南文昌发射场发射升空，起飞重量837000千克，将837000写成科学记数法为 　8.37×105　．
【解答】解：837000＝8.37×105．
故答案为：8.37×105．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是　x≥3　．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥3且x≠1，即x≥3．
故答案为：x≥3．
13．（3分）为了更好地落实“双减”政策，学校设置了以实践探究为主的个性化作业，如图是某学生设计的电路图，随机闭合开关S1，S2，S3中两个，能让灯泡发光的概率是 　　．

【解答】解：列表如下：

共有6种等可能的情况，其中随机闭合开关S1，S2，S3中两个，能让灯泡发光的有4种情况，
∴随机闭合开关S1，S2，S3中两个，能让灯泡发光的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8m，那么两排灯的水平距离是 　8　米．

【解答】解：y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣6）2+12，
当y＝8时，
8＝﹣（x﹣6）2+12，
解得x1＝6+4，x2＝6﹣4，
则x1﹣x2＝8，
所以两排灯的水平距离最小是8m．
故答案为：8．
15．（3分）⊙O的半径r＝1，弦AC＝，弦AB＝，则∠BAC的度数是　15°或75°　．
【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连接OA．
∴AD＝AB＝，AE＝AC＝．
又OA＝1，
在直角三角形AOE中，∠OAE＝45°，
在直角三角形AOD中，∠OAD＝30°．
（1）当两条弦在圆心的同一侧时，则∠BAC＝45°﹣30°＝15°；
（2）当两条弦在圆心的两侧时，则∠BAC＝45°+30°＝75°．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为 　　．

【解答】解：如图，连接AC，交EF于O，

∵线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，
∴O是矩形的对称中心，
∴BE＝DF＝1，
作DI∥EF，AJ∥GH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DF∥IE，
∴四边形DIEF是平行四边形，
∴EI＝DF＝1，
∴AI＝AB﹣BE﹣EI＝2，
同理可得，
AJ＝GH，
∵EF⊥GH，
∴DI⊥AJ，
由（1）得，
∠AID＝∠AJB，
∴△ADI∽△BAJ，
∴，
∴，
∴BJ＝，
在Rt△ABJ中由勾股定理得，
AJ＝＝＝，
∴GH＝，
故答案为：，
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且
17．（7分）下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝…第六步
任务一：填空
①从上面的化简步骤，第 　三　步是进行分式的通分，通分的依据是 　分式的基本性质　．
②第 　五　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号　．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果 　　．
任务三：当时，求该分式的值．
【解答】解：任务一：①从上面的化简步骤，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：三；分式的基本性质；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：五；括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
故答案为：；
任务三：当时，
原式＝﹣
＝﹣
＝﹣．
18．（6分）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

【解答】解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°＝，
即≈0.75，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：树BD的高度为13.6米．

19．（6分）某校九年级（1）班为了了解本班同学的体育训练情况，全班同学进行了一次中考
体育模拟考试，并对全班同学的体育模拟考试成绩进行了统计，将数据整理后得到下列不完整的统计图表，根据图表中的信息解答下列问题：
组别
分数段
人数
A
36≤x＜41
3
B
41≤x＜46
4
c
46≤x＜51
15
D
51≤x＜56
m
E
56≤x＜61
10
（1）九年级（1）班共有 　50　名学生，表中的m＝　18　；
（2）写出该班学生的中考体育模拟考试成绩的中位数所落的分数段是第 　D　组（填组别）；
（3）扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数是 　72°，　；
（4）A组的三名同学的成绩分别是：36，38，40，这组数据的方差为 　　；
（5）该校九年级有学生600人，请估计成绩未达到51分的有 　216　人．

【解答】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%＝50（人）；
m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；
故答案为：50，18；
（2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51≤x＜56分数段；
故答案为：D；
（3）360°×＝72°，
答：扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数为72°；
（4）．
[（36﹣382）+（38﹣38）2+（40﹣38）2]＝；
（5）600×＝264（人）．
答：估计成绩未达到51分的有264人．
20．（7分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是△ABC外一点，∠ADC＝90°．
（1）尺规作图：请利用直尺和圆规作出△ABC的高AE（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）连接DE，若CD＝AC，判断四边形ABED的形状并说明理由．

【解答】解：（1）如图：AE即为所求；

（2）四边形ABED是平行四边形；
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AE⊥BC，
∴BE＝CE，∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠ADC＝90°，，
∴∠CAD＝30°，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEC＝∠EAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴AD＝EC＝BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
∴m≥；
（2）∵x1，x2是该方程的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，
∵x1x2+x1+x2＝m2+6，
∴﹣2m+5+4＝m2+6，
∴m＝﹣3或1．
∵，
∴m＝1．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE并延长，交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若，OB＝BF，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，
∵E为BD的中点，
∴CE＝DE，
∴∠D＝∠DCE，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO+∠DCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝BF，OC＝OB，
∴OC＝OF，
∴∠F＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠A＝30°，
∵，
∴，
∴，
∴，
过O作OH⊥AC于H，
∴AH＝CH，
∵AO＝BO，
∴OH＝BC＝，
∴图中阴影部分的面积＝△ABD的面积﹣△AOC的面积﹣扇形COB的面积＝＝﹣．

23．（10分）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下：
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
甲
a
5
乙
b
7
乙种水果的进价比甲种水果高2.5元/斤，当水果经销店购进400斤乙种水果与200斤甲种水果时，乙种水果的进货款与甲种水果的进货款之比为24：7．
（1）求a、b的值；
（2）水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．
①求出w与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；
②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于312元，求m的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得：
，
解得a＝3.5，
经检验，a＝3.5是原方程的解，
∴a＝3.5，
∵b＝a+2.5＝6；
（2）①由题意得：W＝（5﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝0.5x+300（80≤x≤120），
∵0.5＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝120时，W有最大值为360，即最大利润为360元；
②由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中80≤x≤120，
∵当0.5﹣m≤0时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意，
∴0.5﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝120时，由题意得，（0.5﹣m）×120+300≥312，
解得m≤0.4，
∴m的最大值为0.4．
24．（10分）（1）观察猜想：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，∠BAC＝∠DAE＝45°，DE＝AE，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD，交AC于点C，连接CE交BD于点F，则的值为　　，∠BFC的度数为　45°　．
（2）类比探究：
如图3，当∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°时，请求出的值及∠BFC的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠BDC＝45°．若CD＝8，BD＝6，请直接写出A，D两点之间的距离．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝∠DAE＝45°，DE＝AE，
∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴＝＝，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠CAE＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AGB＝∠FGC，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°；
故答案为：，45°；
（2）∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴DE＝AD，BC＝AB，AE＝DE，AC＝BC，
∴＝＝，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠CAE＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AGB＝∠FGC，
∴∠BFC＝∠BAC＝30°；
（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图4所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAM＝45°，＝＝，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAM，
∴△BAD∽△CAM，
∴∠ABD＝∠ACM，＝＝，
又∵BD＝6，
∴CM＝＝3，
∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC＝45°，∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠ABD+∠BCD＝180°，
∴∠ACM+∠BCD＝180°，
∴∠DCM＝90°，
∴DM＝＝＝，
∴AD＝DM＝2；
即A，D两点之间的距离为2．

25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（，）；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD+PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，
∵A（6，0），C（0，6），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），
∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，
∴P（3，12）；

（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴，
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为，
设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），
∴﹣m2+5m+6＝，解得，m＝或m＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．