2023年四川省泸州市泸县中考数学二模试卷(含答案)

2023年四川省泸州市泸县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约千克，这个数据用科学记数法表示为(    )

A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克

5.  如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题中的假命题是(    )

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等的四边形是矩形

7.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8.  为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到个班学生每天的平均睡眠时间单位：小时分别为：，，，，，则这组数据的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  设与为一元二次方程的两根，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，若抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，若则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

14.  已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是______ ．

15.  周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为勾和股时，径隅弦则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是______ ．

16.  在矩形中，点为边上一点不与端点重合，连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：．
 

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某校举行了“青年大学习，强国你我他”知识竞赛活动李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩单位：分，均为整数，按成绩划分为，，，四个等级，并制作了如下不完整的统计图表．
求表中的值；
若全校共有名学生参加了此次竞赛，成绩等级的为优秀，则估计该校成绩为等级的学生共有多少人？
若等级的名学生中有人满分，设这名学生分别为，，，从其中随机抽取人参加市级决赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，的概率．

21.  本小题分
习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知件甲种农机具比件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同．
求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？
若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

22.  本小题分
如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，且与轴和轴分别交于点、点．
求反比例函数与一次函数的表达式；
点在轴上，且，请求出点的坐标．

23.  本小题分
泸州云龙机场位于四川省泸州市龙马潭区与泸县交界处，是川南地区第一大航空港，是川滇黔渝结合部区域航空运输中心如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为若斜坡的坡度为：即：：，铅垂高度米点，，，在同一水平线上，人体高度忽略不计．
求两位市民甲、乙之间的距离；
求此时飞机的高度结果保留根号
 

24.  本小题分
如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．
求证：是的切线；
延长和交于点，若，求的值；
在的条件下，求的值．

25.  本小题分
抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
求出点和点的坐标；
如图，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标；
如图，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
利用倒数的定义：除以一个数的商叫做这个数的倒数解答即可．
本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，整式的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一个矩形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
直接根据科学记数法表示即可．
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，首先运用平行线的性质求出的大小，然后借助平角的定义求出即可解决问题．
该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【解答】
解：如图，

直线，
，而，
，
，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题，符合题意；
故选：．
根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的判定定理判断．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
．
在和之间．
故选：．
利用算术平方根求解即可．
本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数大小的方法是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：把这组数据从小到大排列为：，，，，，，
所以这组数据的中位数为．
故选：．
根据中位数的定义解答即可．
本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，，则：


．
，
．
的最小值为．
故选：．
利用根与系数的关系得到，，然后将其代入所求的代数式，利用配方法求最小值．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，、交于点，如右图所示，
六边形是正六边形，的长约为，
，，和约为，
约为，
故选：．
根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形的边长．
本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
 

11.【答案】 

【解析】解：，是的内切圆，
，分别平分和，
，
，
故选：．
根据角的度数和内切圆的性质，得出圆心角的度数即可得出阴影部分的面积．
本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，，，
二次函数的图象过点，
，
，，
∽，
，
，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
，
故，
故选：．
设，，，由可得∽，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而求解．
本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
故答案为：．
根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为：，
又，
当时，随的增大而增大．
故答案为：．
首先求出二次函数的对称轴，然后再根据数的性质可得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，解答此题的关键是理解对于二次函数，对称轴为，若，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；若，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，勾为为偶数且，则另一条直角边，弦．
则弦为．
故答案为：．
根据题意可得，勾为为偶数且，根据所给的二组数找规律可得结论．
此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

四边形是矩形，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，，，
，
，，
≌，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，证明≌，可得，设，在中，有，可解得，知，由将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，得，可得，，故EF，从而可得．
本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】本题涉及零指数幂、二次根式和三次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式和三次根式、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识点的运算．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：抽取的学生人数为：人，
，
故答案为：；
人，
答：估计该校成绩为等级的学生共有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到，的结果有种，
恰好抽到，的概率为． 

【解析】由等级的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由全校参加此次竞赛共有的人数乘以成绩为等级的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设购买件乙种农机具需要万元，则购买件甲种农机具需要万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元．
设购买件甲种农机具，则购买件乙种农机具，
依题意得：，
解得：．
答：甲种农机具最多能购买件． 

【解析】设购买件乙种农机具需要万元，则购买件甲种农机具需要万元，利用数量总价单价，结合用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用；
设购买件甲种农机具，则购买件乙种农机具，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：将代入得：，
，
反比例函数为：．
将，代入得：，
解得：，
一次函数的表达式为：．
在中，当时，，
．



，
，
在轴上，
，
．
或． 

【解析】用待定系数法法求解析式．
先求的面积，再求的坐标．
本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得：，
斜坡的坡度为：即：：，米，
米，
在中，米，
两位市民甲、乙之间的距离为米；
过点作，垂足为，

由题意得：米，，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
米，
此时飞机的高度为米． 

【解析】根据题意可得：，然后根据已知斜坡的坡度为：，可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
设，则，
，
，
，
；
解：由知：，，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
． 

【解析】如图，连接，根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质即可得到结论；
设，则，根据平行线的性质得，由三角函数定义可得结论；
证明∽，列比例式可解答．
此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键，此题难度适中，是一道不错的中考题目．
 

25.【答案】解：令，
解得或，
；
，
顶点．
如图，过点作轴于点，
，，
，
，
，
为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，

，
设，则，，
在中，，
解得，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得，
．
综上，点的坐标为；
点与点关于对称轴对称，
．
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
，，
点横坐标为，
，，
．
，，
，
，
当时，的最大值为． 

【解析】令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标；
过点作轴于点，易得，因为，所以，由为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，分别求出点的坐标即可；
分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，正确表达两个三角形面积的比是解题的关键．