备战2022-2023学年湖北高一（下）学期期末数学仿真卷及答案（三）

这是一份备战2022-2023学年湖北高一（下）学期期末数学仿真卷及答案（三），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
备战2022-2023学年湖北高一（下）学期期末数学仿真卷（三）
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．(本题5分)（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（    ）
A．45 B．50 C．55 D．60
3．(本题5分)（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（    ）
A． B． C． D．
4．(本题5分)（2022春·湖北鄂州·高一统考期末）设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（    ）
A．－ B． C． D．
5．(本题5分)（2022春·湖北鄂州·高一统考期末）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（    ）
A．是对立事件 B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件
6．(本题5分)（2022春·湖北鄂州·高一统考期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则

7．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（    ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
8．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（    ）
　　
A． B．
C．2 D．
二、多选题(共20分)
9．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（    ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．正方体
10．(本题5分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ）
A．事件B与事件C是互斥事件
B．事件A与事件B是相互独立事件
C．
D．
11．(本题5分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170，方差为17；女生身高样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的是（    ）
A．男生样本容量为30
B．每个女生被抽入到样本的概率均为
C．所有样本的均值为166
D．所有样本的方差为46.2
12．(本题5分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
三、填空题(共20分)
13．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校联考阶段练习）函数，则________．
14．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一统考期末）已知复数、是关于的方程的两个根，则________．
15．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一统考期末）如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积______．

16．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一统考期末）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为________．

四、解答题(共70分)
17．(本题10分)（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）在中，.
(1)若，求；
(2)若存在且唯一确定，求的取值范围.





18．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．

(1)求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．








19．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）如图所示，在四棱锥中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCD．






20．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如下图：

（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；(精确到0.1)
（2）某老师抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.
(参考公式：)(参考数据：，，)




21．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）若图，在中，，点在边上，.

(1)若的面积为，求的值；
(2)若，求的大小.

22．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）已知矩形，设是边上的点，且，现将沿着直线翻折至，

(1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值；
(2)设二面角的大小为，求的最大值.


备战2022-2023学年湖北高一（下）学期期末数学仿真卷（三）
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，然后利用并集的定义运算即得.
【详解】因为，
所以．
故选：A.
2．(本题5分)（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（    ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】C
【分析】根据分层抽样的规则运算即可.
【详解】应从男性居民中抽取的人数为；
故选：C.
3．(本题5分)（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的三角形式以及复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】解：由，得，
，所以，，
所以．
故选：B.
4．(本题5分)（2022春·湖北鄂州·高一统考期末）设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（    ）
A．－ B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解.
【详解】解：由题意，在上的投影向量为．
故选：B．
5．(本题5分)（2022春·湖北鄂州·高一统考期末）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（    ）
A．是对立事件 B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件
【答案】D
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可判断.
【详解】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.
故选：D.
6．(本题5分)（2022春·湖北鄂州·高一统考期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.
【详解】因为，，若，分别在直线上为平面，的法向量，且，故，所以选项A说法正确；
因为，，所以，而，因此，所以选项B说法正确；
当时，如下图所示：也可以满足，，，所以选项C说法不正确；

因为，，所以，而，所以，因此选项D说法正确，
故选：C.
7．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（    ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【答案】A
【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围.
【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，
，
，且，
时，取最小值时，取最大值，
∴的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题.
8．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（    ）
　　
A． B．
C．2 D．
【答案】D
【分析】利用两个容器中的水的体积相等，即可得到水面的高度.
【详解】因为分别为所在棱的中点，
所以棱柱的体积
设甲中水面的高度为 h，则，解得，
故选：D.

二、多选题(共20分)
9．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（    ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．正方体
【答案】ACD
【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.
【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，
三棱锥平行于底面的截面是三角形，
正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面三角形,

故选：ACD.
10．(本题5分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ）
A．事件B与事件C是互斥事件
B．事件A与事件B是相互独立事件
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用定义判断选项A的真假，利用公式计算判断选项BCD的真假，即得解.
【详解】对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如，第一次和第二次都是数字4 ，故选项A错误；
对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故选项B正确；
对于C，,所以，故选项C正确；
对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误.
故选：BC．
11．(本题5分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170，方差为17；女生身高样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的是（    ）
A．男生样本容量为30
B．每个女生被抽入到样本的概率均为
C．所有样本的均值为166
D．所有样本的方差为46.2
【答案】ACD
【分析】分层抽样等比例性质求男女生样本容量，再由古典概型的概率求每个女生被抽入到样本的概率判断A、B；利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D.
【详解】A：由人，正确；
B：由人，故每个女生被抽入到样本的概率为，错误；
C：所有样本的均值为，正确；
D：男生方差，女生方差，
所有样本的方差


，正确.
故选：ACD.
12．(本题5分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【答案】AC
【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D；
【详解】解：因为，又由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
由正弦定理可得，
又，
，即，
，
，，为锐角，
，即，故选项A正确；
，，，故选项B错误；
，故选项C正确；
，
又，，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
又， ，
，故选项D错误．
故选：AC．
三、填空题(共20分)
13．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校联考阶段练习）函数，则________．
【答案】1
【分析】利用函数解析式求得.
【详解】依题意.
故答案为：.
14．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一统考期末）已知复数、是关于的方程的两个根，则________．
【答案】
【分析】解方程，求出、，利用复数的加法与复数的模长公式可求得结果.
【详解】由可得，所以，.
①当，时，则；
②当，时，则.
综上所述，.
故答案为：.
15．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一统考期末）如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积______．

【答案】
【分析】先由斜二测画法得，再结合底面求出外接球半径，即可求解.
【详解】

由题意得，且．所以由斜二测画法得，在原图中，，，，
所以三棱锥外接球的半径，则．
故答案为：.
16．(本题5分)（2022春·湖北十堰·高一统考期末）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为________．

【答案】
【分析】由题意可知可以是与在上投影向量的数量积．结合图形可知当与重合时，取到最大值.
【详解】可以是与在上投影向量的数量积．如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，
连接，，连接，交于点，易得，在上，．
过作，垂足为点，过作，垂足为点．
由题意得，，所以，，
所以，所以．易证四边形为矩形，
所以．易得，
所以．
所以当与重合时，．
故答案为：


四、解答题(共70分)
17．(本题10分)（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）在中，.
(1)若，求；
(2)若存在且唯一确定，求的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)或
【分析】（1）由，利用余弦定理求得角，然后利用余弦定理求得的值，然后利用正弦定理求得；（2）存在且唯一确定，则，或，从而求得的范围.
【详解】（1）因为，
所以.
因为，
所以.
由余弦定理知

所以.
得.
所以，或.
由正弦定理知
.
所以，当时，.
当时，.
（2）由（1）得，存在且唯一确定，则，或，
综上，当或时，存在且唯一确定.
18．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．

(1)求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．
【答案】(1)；平均值为；(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第百分位数的性质求解，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
（2）分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可
（1）
由频率分布直方图，可得，
则①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以，
则②
将①与②联立，解得．
所以平均值为．
（2）
根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则
．
①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
．
②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”，由事件独立性定义，得
．
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率：
．

19．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）如图所示，在四棱锥中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCD．
【答案】见解析
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可
（1）过E作交PA于点F，连接BF，
因为，所以．
又，所以．
又，所以
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以，
又CE平面PAB，BF平面PAB，
所以平面PAB．

（2）在梯形ABCD中，，，，，
所以．
所以，即
因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
所以．
又，所以CD⊥平面PAC，
又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
20．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如下图：

（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；(精确到0.1)
（2）某老师抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.
(参考公式：)(参考数据：，，)
【答案】（1）中位数为，平均分为；（2）平均值为，标准差为
【分析】（1）由中位数对应的点对应的频率是可得，平均值由每组数据中点值乘以频率相加可得．
（2）根据均值和方差公式计算，再由方差得标准差．
【详解】解：（1）因为

所以中位数为满足
由，
解得
设平均分为，
则
（2）由题意，剩余8个分数的平均值为
因为10个分数的标准差
所以
所以剩余8个分数的标准差为
21．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）若图，在中，，点在边上，.

(1)若的面积为，求的值；
(2)若，求的大小.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）根据三角形面积公式可得，再利用余弦定理可得，从而得到
（2）在中，设， ，根据正弦定理可得，再在中用正弦定理可得，进而根据诱导公式，结合正弦函数的取值求解即可
【详解】（1）在中，，
若的面积为，则，
所以，所以，
则，
所以
（2）在中，，可设，则，
又，由正弦定理，得，所以，
在中，，
由正弦定理，得，
即，化简得，
于是，因为，
所以，所以或，
解得或，即角的大小为或.
22．(本题12分)（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）已知矩形，设是边上的点，且，现将沿着直线翻折至，

(1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值；
(2)设二面角的大小为，求的最大值.
【答案】(1)为，正切值是；(2)
【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质可得面，再结合余弦定理可得，，进而根据线面角的定义求解直线与平面所成角的正切值即可；
（2）作，垂足为，作，垂足为，根据线面垂直的判定与性质可得，设，根据三角形中的关系可得，再根据二倍角公式化简求解最值即可
【详解】（1）当为时，可以使面面.证明如下：
取中点，则.
在中，
，此时.
又平面平面
面面
此时面为在面上的射影是与面所成角
在中，，
即直线与平面所成角的正切值是

（2）作，垂足为，且面，则面，
作，垂足为，则，设
则，

，
当且仅当时，取到等号，

故的最大值为.