【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题04 直角三角形中HL判定与角平分线的性质压轴题七种模型 全攻略讲学案

这是一份【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题04 直角三角形中HL判定与角平分线的性质压轴题七种模型 全攻略讲学案，文件包含专题04直角三角形中HL判定与角平分线的性质压轴题七种模型全攻略解析版docx、专题04直角三角形中HL判定与角平分线的性质压轴题七种模型全攻略原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共44页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13208" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13208 \h 1
\l "_Tc22169" 【考点一 用HL证全等】 PAGEREF _Tc22169 \h 1
\l "_Tc26798" 【考点二 全等的性质和HL综合】 PAGEREF _Tc26798 \h 3
\l "_Tc25878" 【考点三 三角形的角平分线】 PAGEREF _Tc25878 \h 5
\l "_Tc11288" 【考点四 角平分线的性质定理】 PAGEREF _Tc11288 \h 7
\l "_Tc26069" 【考点五 角平分线的判定定理】 PAGEREF _Tc26069 \h 9
\l "_Tc520" 【考点六 角平分线性质的实际应用】 PAGEREF _Tc520 \h 12
\l "_Tc12316" 【考点七 用尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc12316 \h 13
\l "_Tc16645" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16645 \h 17
【典型例题】
【考点一 用HL证全等】
例题：（北京市延庆区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使得和全等，（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据三角形全等判定条件即可解答．
【详解】解：当时满足条件；
在和中，
，
∴．
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定条件，掌握全等三角形的判定性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·天津滨海新·八年级校联考期中）如图，已知，， ，求证：．
【答案】见解析
【分析】由已知条件：与均为直角三角形，又有公共斜边和一条对应相等的直角边，即可得出两个三角形全等的结论．
【详解】证明： ，，，
在与中有：
，
【点睛】本题考查全等三角形判断定理的运用，只需直接运用直角三角形全等判断定理：“斜边直角边对应相等的两直角三角形全等”．
2．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）如图，已知，，，垂足分别为E、F，．求证：．
【答案】详见解析
【分析】先证明，然后根据证明即可.
【详解】证明：∵
∴
即
∵，
∴
在和中
∴（）
【点睛】本题主要考查了利用证明两个直角三角形全等.熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键.
【考点二 全等的性质和HL综合】
例题：（2021春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，在中，，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用证明即可；
（2）延长交于点，利用全等三角形的性质，以及对顶角相等，得到，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（）；
（2）证明：延长交于点，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江·八年级期中）如图，，相交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由“HL”可证RtRt，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据角的和差即可求解．
【详解】（1）∵，
∴和都是直角三角形，
在Rt和Rt中，
，
∴RtRt（HL），
∴
（2）在Rt中，，
∴，
由（1）可知RtRt，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用HL证明RtRt是本题的关键．
2．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，交于点B，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用证明，即可得到结论；
（2）先由可得，再求解，结合全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，．
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角的和差运算，掌握“利用证明两个直角三角形全等”是解本题的关键．
【考点三 三角形的角平分线】
例题：（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）在中，是的高线，是的角平分线，已知，，则______．
【答案】
【分析】根据是的高线，得，根据直角三角形两锐角互余与，得， 根据角平分线定义与，得，即可得答案．
【详解】∵是的高线，
∴，
∵，
∴，
∵， 是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线，角平分线，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角关系，角平分线定义的计算．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在中，，平分，若，，则_____．
【答案】##30度
【分析】由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形中利用两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．理解和掌握三角形的角平分线和高的定义是解题的关键．
2．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图所示，是的内角平分线，是的外角平分线，若 ，则____．
【答案】##度
【分析】根据三角形外角的性质结合角平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是的内角平分线，是的外角平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
【考点四 角平分线的性质定理】
例题：（2022秋·辽宁营口·八年级校联考期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为_________．
【答案】4cm
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据求解即可．
【详解】如图，过点作于，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴点到的距离为4cm
故答案为：4cm．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握该性质是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级统考期中）如图，点P是的角平分线上一点，，垂足为点D，且，点M是射线上一动点，则的最小值是 ___________．
【答案】3
【分析】根据垂线段最短可知当时，最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【详解】解：根据垂线段最短可知：当时，最小，
当时，
又∵平分，，，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
2.（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在四边形中，于点E，平分，若，，则的面积是______．
【答案】12
【分析】过点D作交的延长线于点F，由角平分线的性质得出，即可由三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点F，
∵平分，，，
∴，
∴
故答案为：12．
【点睛】本题考查解平分线的性质，三角形面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【考点五 角平分线的判定定理】
例题：（2021秋·广东云浮·八年级校考期中）如图，在四边形中，，于E，若．求证：平分 ．
【答案】见解析
【分析】过点C作，交的延长线于F，由“”可证，可得，再由角平分线的判定定理可得结论．
【详解】证明：如图，过点C作，交的延长线于F，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，于点E，于点F，若．
(1)求证：平分；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；
（2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可．
【详解】（1）证明：∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
2．（2021秋·福建龙岩·八年级校考期中）已知，如图，是上一点，于，于，、分别是、上的点，且，．
(1)求证：是的平分线．
(2)若，且，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明，推出，依据角平分线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，是的平分线．求出，根据平行线的性质得到，求出，得到，即可得到．
【详解】（1）证明：∵于，于，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线．
（2）由（1）知，是的平分线．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，直角三角形30度角的性质，两直线平行内错角相等的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【考点六 角平分线性质的实际应用】
例题：（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2021秋·河北邢台·八年级统考期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行判断．
【详解】解：根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系．
【考点七 用尺规作角平分线】
例题：（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在，，．
(1)尺规作图；作的平分线交于D；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先计算出的度数，再利用角平分线的定义得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】（1）解：如图，为所作；
；
（2）解：∵，．
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
【变式训练】
1．（2022秋·广东惠州·八年级期末）如图，在中，，．
(1)请用尺规作图的方法作的角平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的作法，求解即可；
（2）过点D作于点E，通过证明得到，，再证明即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，线段为所求，
（2）证明：过点D作于点E，
∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了尺规作图－角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
2．（2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知．
(1)用直尺和圆规按照下列要求作图：作的角平分线；（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
(2)过点画射线，使，交的延长线与点，过点画，垂足为，图中相等吗？证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2),理由见解析
【分析】（1）根据题意作的角平分线；
（2）根据题意补全图形，根据平行线的性质，角平分线的定义得出，进而可得，根据三线合一即可得出结论．
【详解】（1）如图所示，为的角平分线；
（2）结论：
证明：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ (三线合一)
【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质角平分线的定义，等角对等边，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，，，，则判定的依据是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】由图可得公共边相等，所以全等的条件是两个直角三角形的斜边直角边相等．
【详解】解：，，
在和中，
，
（HL）．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是找到全等的条件．
2．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ）
A．12B．15C．20D．24
【答案】A
【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于，如图所示，
是的角平分线，，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
3．（2022秋·四川泸州·八年级统考期中）如图，的三边、、长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过O点作，，，垂足分别为，，，根据角平分线的性质可知 ，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】解：过O点作，，，垂足分别为，，，
的三条角平分线交于点O，
，
，，，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，利用角平分线的性质求得是解题的关键．
4．（2022秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，平分，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点D作交延长线于E，于F，根据角平分线的性质定理得到，由此证明，推出，再根据求出的度数．
【详解】解：过点D作交延长线于E，于F，
∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，以及全等三角形的判定和性质定理，熟练掌握各定理并进行推理论证是解题的关键．
5．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，，于，于E，与交于点．有下列结论：
①；②；③点在的平分线上；④点在的中垂线上．
以上结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用证明，可判定①正确；由全等三角形性质可得，，再利用证明，可判定②正确；由全等三角形性质可得，连接，利用证明，得到，可判定③正确；由于无条件能证明，可判定④错误．
【详解】解：∵于，于E，
∴，
在和中，
，
∴，
故①正确；
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
故②正确；
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴点在的平分线上；
故③正确；
因为无条件下能证明，故不能说明点在的中垂线上．
故④错误；
∴正确的有①②③共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，，，，则 _____．
【答案】25
【分析】首先利用“”证明，可得，再根据直角三角形两锐角互余，进而可得的值．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两个锐角互余的性质等知识，求解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
7．（2022秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，，则点D到的距离为______．
【答案】
【分析】过D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得．
【详解】解：如图所示，过D作于E，
∵的平分线交于点D，，，
∴，
∴点D到的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（2022秋·天津西青·八年级校考期中）如图，为斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，则的长为___．
【答案】
【分析】根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解本题的关键在证明．
9．（2022·八年级单元测试）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，这两个滑梯与地面夹角中，则___________．
【答案】60
【分析】根据可得，再根据全等三角形对应角相等即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用判定三角形全等的方法，以及全等三角形对应角相等的性质．
10．（2022秋·辽宁营口·八年级校联考期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 _____．
【答案】①②③④
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质和判定可判断①，通过证明和可得，，即可判断②，根据三角形外角的性质可判断③，通过全等三角形的面积相等可判断④．
【详解】解：过点作于点，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
又∵，，
∴平分，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∵在和中，、
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
∵由②可知：，
∴，，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．
三、解答题
11．（2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知点、在线段上，且，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴
即，
∵
在与中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2022秋·河南南阳·八年级校考期中）如图，已知，是上的一点，且，．
(1)求证：；
(2)说明的形状．
【答案】(1)见解析
(2)等腰直角三角形
【分析】(1)首先根据，可得，再根据，即可证得；
(2)首先根据，可得，再根据，可得，可证得，据此即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
与都是直角三角形，
在与中，
；
（2）解：，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定，证得是解决本题的关键．
13．（2022秋·广东广州·八年级广州四十七中校考期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据直角三角形两锐角互余求出，即可得到，从而证明结论；
（2）先根据角平分线的性质得到，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵平分，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．（2022秋·陕西汉中·八年级统考期末）在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可证明，从而得出答案；
（2）由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
由（1）知：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
15．（2022秋·河南濮阳·八年级统考期中）如图，和分别平分的内角和外角，交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，请判断的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）过D作于Q，于R，于W，根据角平分线的性质可得，进而可得，最后根据角平分线的性质即可证明；
（2）根据，可得，再根据平分，，进而可得，则，可得，最后证明，即可得到是等腰三角形．
【详解】（1）证明：过D作于Q，于R，于W，
∵和分别平分的内角和外角，
∴，
∴，
∵，
∴点D在的平分线上，即平分；
（2）结论：是等腰三角形．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、等边对等角的性质和平行线的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
16．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）已知在中，，AD是的平分线．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，线段还存在（1）中的等量关系吗？说明理由．
【答案】(1)过程见解析
(2)存在，过程见解析
【分析】（1）过D作，交AB于点E，易证，则可得，又由，所以，易证，则可证得；
（2）存在．在AB上截取，可证明，得到再根据及外角的性质得到即可求证．
【详解】（1）证明：过D作，交AB于点E，如图1所示，
∵AD为的平分线，，
，
在和中，
，
，
则；
（2）存在，
理由为：在AB上截取，如图2所示，
∵AD为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
又，
则．
【点睛】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．