【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题14 专项题型专训：一次函数与三角形综合问题压轴题四种模型 全攻略讲学案

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专题14 专项题型专训：一次函数与三角形综合问题压轴题四种模型全攻略
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目录
【典型例题】 1
【考点一 一次函数与三角形的面积问题】 1
【考点二 一次函数与三角形全等问题】 7
【考点三 一次函数与三角形存在问题】 19
【考点四 一次函数中折叠问题】 30

【典型例题】
【考点一 一次函数与三角形的面积问题】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）已知直线y=﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线y=﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）A（2，0），B（0，6）；（2）6．
【分析】（1）分别令x=0、y=0求解即可得到与坐标轴的交点；
（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）当x=0时，y=﹣3x+6=6，
当y=0时，0=﹣3x+6，x=2．
所以A（2，0），B（0，6）；
（2）∵A（2，0），B（0，6），
∴，
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积=S△ABO=×2×6=6．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图像上的点的坐标都满足一次函数解析式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）将直线向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是___________
【答案】9
【分析】根据函数图像“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．
【详解】解：直线向上平移6个单位长度得到：

令，即，
解得，
令，得，
所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：
与，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一次函数的几何变换，以及图像与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位长度，平移后的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的面积为______．
【答案】/
【分析】根据平移规律得到新直线方程是，由此求得点A、B的坐标，结合三角形面积公式解答．
【详解】解：根据题意知，平移后直线方程为，
所以，，
故，，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”．
3．（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）已知一次函数．
（1）画出函数图象；
（2）求图象与轴、轴的交点A、B的坐标;
（3）求图象与坐标轴围成的图形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）A(-1，0)，B(0，-2)；（3）1
【分析】（1）根据描点法，可得函数图象；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】解：（1）的取值范围为全体实数，
列表：
x
．．．
-2
-1
0
1
2
．．．
y
．．．
2
0
-2
-4
-6
．．．

（2）∵图象与轴交点纵坐标为0，与轴交点横坐标为0，
∴令y=0，，解得，A（-1，0），
令x=0，y=-2，B（0，-2）；
（3）．
【点睛】本题考查了一次函数图象，利用描点法画函数图象，利用自变量与函数值的对应关系求出相应的交点坐标．
4．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知函数．
(1)若在该函数的图象上，则 ；
(2)求出这个函数的图象与x轴，y轴的交点的坐标；
(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据点在函数图象上的意义，将代入函数关系式即可求解；
（2）分别令，即可求解；
（3）由（2）可知道所构成直角三角形的两直角边长度，根据面积公式即可求解．
【详解】（1）解：在该函数的图象上，
当时，，
．
故答案：．
（2）解：当时，；
当时，；
图象与x轴交点的坐标，图象y轴的交点的坐标．
（3）解：．
答：函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【点睛】本题考查了一次函数中图像上的点、图象与坐标轴的交点及面积问题，理解其意义并能根据函数关系式进行正确计算是解题的关键．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．

【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为，
将点代入得：，解得，
则正比例函数的解析式为；
（2）如图，过点作轴于点，

，
，
设点的坐标为，则，
的面积是，
，即，
解得或，
故点的坐标为或．
【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键．
6．（2022秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．如图中的一次函数图象与轴、轴分别相交于点，，则为此函数的坐标三角形．

(1)求函数的坐标三角形的三条边长；
(2)求的面积；
(3)求原点到直线的距离．
【答案】(1)，，
(2)的面积为
(3)原点到直线的距离是
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，再利用勾股定理，即可求出的长；
（2）由，的长，利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积；
（3）作于点，利用面积法，即可求出的长．
【详解】（1）当时，，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
，
．
函数的坐标三角形的三条边长分别为，，；
（2），，
，
的面积为；
（3）作于点，如图所示．

，，
，
原点到直线的距离是．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”；（2）利用三角形的面积计算公式，求出的面积；（3）利用面积法，求出的长．

【考点二 一次函数与三角形全等问题】
例题：（2023春·八年级课时练习）如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为______．

【答案】或
【分析】将点的坐标代入直线的解析式为，可求得直线的解析式，从而可得到的长度，再分和两种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】解：点在直线上，
，

直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，

此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，

此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数图像上的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大．
【变式训练】
1．（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为________．

【答案】3或
【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当时，即，
解得：．
当时，，
∴．
∴．
∴．
∵，点C在射线上，
∴，即．
∵，
∴．
若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．
如图1所示，当时，，

∴；
如图2所示，当时，，

∴．
综上所述，的长为3或．
故答案为：3或．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（﹣3，0）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．

(1)求直线l2的解析式；
(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（3，6），（-6，-3）
【分析】（1）先根据点C（1，m）在直线l1上求出m的值，再根据点C和点B求出直线l2的解析式；
（2） 先分别计算出OA、OD的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案．
（1）
解：∵C（1，m）在直线l1上，
∴，
∴点C的坐标为（1，4），
设直线的l2的解析式为,
∵点C（1，4）和点B（﹣3，0）在直线l2上，
∴，
解方程组得，
∴直线l2的解析式为：；
（2）
解：直线l1上，当时，；当时，
∴，，
当点M在轴下方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示，

当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴点M（-6，-3）满足条件，
当时，,
得，
∵，
∴点M（-9，-6）不满足题意，舍去；
当点M在轴上方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示，

当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点M（0，-3）不满足题意，舍去；
当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴点M（3，6）满足条件，
∴满足条件的点M的坐标为（3，6），（-6，-3）．
【点睛】本题考查一次函数和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意求出函数的解析式．
3．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，，，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）．

(1)求直线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时的面积是6；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P坐标为；
(3)存在，符合条件的点P的坐标为，，，．
【分析】（1）通过求出点A坐标，用待定系数法即求出解析式；
（2）先画图，确定面积可以为底，P到y轴距离为高求得，作出辅助线帮助思考．求出P到y轴距离后，要注意分类讨论；
（3）题目问法说明两三角形三边对应关系不确定，故需要分类讨论．观察，得到即为斜边．所以也是直角三角形且为对应斜边，因此只能，两直角边对应关系不确定，分两类与．具体每类再分析时，发现长度求出后对应坐标值可正可负，结合图像分析再分类讨论．
【详解】（1）解：∵直线l：与y轴交于点B，
∴，，
∵，
∴，即，
∵点A在直线l上，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：过P作轴于C，如图1，

∴，
∴，
∴点P的横坐标为4或，
∵点P为直线l上的一个动点且不与A、B重合，
∴横坐标不为4，纵坐标为：，
∴点P坐标为时，的面积是6；
（3）解：存在满足条件的P、Q，
∵，，
∴，，
∴以O，P，Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，
①，
∴，即P点横坐标为或，如图2和图3，

，，
∴点P或；
②，
∴，即点P、点Q纵坐标为或，如图4和图5，

，
解得：，
，
解得：，
∴点或，
综上所述，符合条件的点P的坐标为，，，．
【点睛】本题以一次函数为背景考查了三角形及全等三角形判定，体现了数形结合思想和分类讨论思想．解题关键是通过画图进行分析，解题时应注意在坐标系里线段长度对应坐标的绝对值，所以坐标可正可负要分类讨论．全等三角形存在性问题要通过画图分析，找到确定对应的边角，再根据不确定对应的边角分类讨论．
4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．

(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；
(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)E（，）
(2)△AOB≌△FOD，理由见详解；
(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.
【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可；
(2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD；
(3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答.
(1)
解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，

当y=0时，-3x+3=0，
解得x=1，
∴A（1，0），
当x=0时，y=3，
∴OB=3，B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，
∴D（-3，0），
∵点E到两坐标轴的距离相等，
∴EG=EH，
∵EH⊥OC，EG⊥OC，
∴OE平分∠BOC，
∵OB=OC=3，
∴CE=BE，
∴E为BC的中点，
∴E（，）；
(2)
解: △AOB≌△FOD，
设直线DE表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴y=x+1，
∵F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），  
∴OF=OA=1，
∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，
∴△AOB≌△FOD；
(3)
解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），
∴点G（0，-3），
∵C（3，0），
设直线GC的解析式为：y=ax+c，
，
解得：，
∴y=x-3，
AB==  ，
设P（m，m-3），
①当AB=AP时，
=
整理得：m2-4m=0，  
解得：m1=0，m2=4，
∴P（0，-3）或（4，1），
②当AB=BP时，=
m2-6m+13=0,
△＜0
故不存在，
③当AP=BP时，
=，
解得：m=，
∴P（， ），
综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），
【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理.

【考点三 一次函数与三角形存在问题】
例题：（2023春·八年级课时练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，．点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接．设点F的横坐标为x．

(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当的面积．
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第四象限内是否存在一点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点P的坐标为或．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式求出k，b的值即可；
（2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；
②根据全等三角形的判定和性质求解．
【详解】（1）解：将点，代入一次函数得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），
设点F的横坐标为x，过点F作轴，

∴F点坐标为，
∴的面积：
，
∴的面积S与x之间的函数关系式为；
（3）解：①．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
∴F点坐标为，
∴，
∵，
∴；
②存在，点P的坐标为或．
过点F作轴交x轴于点E，过点作于点N，过点作轴于点M，分两种情况：

情况一：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
情况二：∵是等腰直角三角形，
同理，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.

(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或
【分析】(1)令，即可求解；
(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解；
(3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
所以点的坐标为；
（2）解：代入A、两点可得：，，
解得：，，
故，，
，
，
设原点到直线的距离为，
则，
解得：，
故原点到直线的距离为；
（3）解：存在，
设点的坐标为，根据题意可知不为直角，
所以当是直角三角形分两种情况：
①当时，此时点的坐标为；
②当，，
故，
解得：，
此时点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想．
2．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动．

(1)求点B和点C的坐标．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B的坐标为，点C的坐标为
(2)12
(3)存在，点M的坐标是或或
【分析】（1）在中，令，则；令，则，从而可得答案；
（2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）设点M的坐标为，求解直线的表达式是，由，可得，当点M在线段上时，如图①，则，此时，当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；时，，则点的坐标是．从而可得答案．
【详解】（1）解：在中，令，则；令，则．
故点B的坐标为，点C的坐标为．
（2）∵，，
∴．
（3）存在点M使．   理由如下：
设点M的坐标为，直线的表达式是．
∵，
∴，解得．
∴直线的表达式是．
∵，
∴．
∴．
当点M在线段上时，如图①，则，此时，
∴点M的坐标是．
当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；
时，，则点的坐标是．

综上所述，点M的坐标是或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
3．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在直线上．

(1)求，的值；
(2)已知是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用一次函数图像上点的坐标特征，可求出直线的解析式及点，的坐标，分及两种情况考虑：①当时，轴，结合点的坐标可得出点的坐标；②当时，设点的坐标为，利用勾股定理，可求出的值，进而可得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线：交轴于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
∴，．
（2）∵以，，为顶点的三角形是直角三角形，
可分以下两种情况考虑：
①当时，轴，
∴点的坐标为；
②当时，设点的坐标为，
∴，
，
，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．

【点睛】本题考查用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，两点间距离，直角三角形的性质以及勾股定理．分及两种情况求出点的坐标是解题的关键．
4．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．

(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧，
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出交点和，再分两种情况：①若点P在右侧，②若点P在左侧，利用三角形面积，分别求解即可；
（3）分两种情况：①当时，交x轴于Q，②当时，交x轴于Q，分别 求解即可．
【详解】（1）解：将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：，
∵，，
∴，
设直线：()
将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：．
（2）解：联立，解得：，
∴，
∴，
①若点P在右侧，
∵，
∴，
∴，解得，
∴
②若点P在左侧，
∵S△BEP=8，
∴，
∴，解得，
当时，，
∴．

（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，交x轴于Q，
同理，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
综上，存在，或．

【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，从标与图形，三解形面积，勾股定理，等腰直角 三角形，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．

【考点四 一次函数中折叠问题】
例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点

(1)填空：______，______，______；
(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①求线段的长度；
②当点落在轴上时，求点的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②点的坐标为；③点的坐标为或
【分析】（1）把代入，求出，得直线：，再把代入，求出，得点的坐标，然后把代入，求出；
（2）①根据折叠的性质得出，勾股定理即可求解；
②过点作轴于点，作轴于点，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；
③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标．
【详解】（1）解：把代入，
，
，
直线：，
把代入，
，
把代入，
，
，
；
故答案为：．
（2）①∵直线：令，解得，
∴点的坐标为，
∵
∴，
∵折叠，
∴；
②如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，，

，
，
，
点的坐标为；
③ 如下图，

当时，由翻折得，
，
，
，
，
点的坐标为；
如图，

当时，
设，则，
在中由勾股定理得：
，
解得：
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．

(1)直接写出点、、的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)点A的坐标为(3，0) ，点B的坐标为(0，4) ，点的坐标为
(2)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC=AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠B=∠C，∠BDA=∠ADC，进而可得∠AOD=∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
【详解】（1）解：由题意，直线与轴、轴分别交于点，，
令，得，
点的坐标为，
令，得，
点的坐标为，
，，
，
将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，
即，
，
点的坐标为．
（2）解：由翻折的性质可得，，，
，
，
，
，
≌，
点，
，
．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．

(1)求A，B两点的坐标；
(2)求OC的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）
(2)
(3)存在，P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）
【分析】（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=3，即可求解
（2）OC=x，则AC=BC=4-x，在Rt△BOC中，利用勾股定理即可解决问题；
（3）分三种情形讨论：当PA＝PB时，当PA＝AB＝5时，当PB＝AB时，分别求解即可解决问题；
【详解】（1）解：令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）解：设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝．
（3）解：当PA＝PB时，点P与点C重合，如图，

此时OP=OC=，
∴P（，0）；
当PA＝AB＝5时，如图，

∴OP1=AP1-OA=5-4=1，OP2=OA+AP2=4+5=9,
∴P（﹣1，0）或（9，0）；
当PB＝AB时，如图，

∵PB=AB，OB⊥AP，
∴OP=OA=4，
∴P（﹣4，0），
综上，存在，P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）时，使△PAB为等腰三角形．
【点睛】此题是一次函数的综合题，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．（2022春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接．

(1)求的面积；
(2)求的长度；
(3)在轴上方有一点，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)16
(2)3
(3)条件的点的坐标是：，．
【分析】（1）先分别求出A、B两点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（2）设，则AC=8-x，再根据题意可得BC=AC=8-x，最后根据勾股定理列方程求解即可；
（3）分别以AB、AC、BC为对角线的三种情况解答即可．
（1）
解：一次函数的解析式为与轴和轴分别交于点和点
令，得，解，

令，得，
．
∴．
（2）
解：设，则AC=8-x
沿直线对折，点与点重合，
∴BC=AC=8-x
在中，，
∴，解得
∴．
（3）
解：设P（a，b）a＞0，
∵
∴C（3,0）
①当以AB为对角线时
∵C（3,0），A（8,0）
∴A点相当于C点向右平移了5个单位
∴点P相当于点B向右平移了5个单位
∵B(0,4)
∴P(5,4)
②以AC为对角线，点P在第四象限，不符合题意舍弃；
③当以BC为对角线时
∵C（3,0），A（8,0）
∴C点相当于A点向左平移了5个单位
∴P点相当于点B向左平移了5个单位
∵B(0,4)
∴P(-5,4) ．
综上，P点坐标为（5,4）或（-5,4）．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像及性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图像及性质以及分类讨论思想是解答本题的关键．
4．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线： 与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．

(1)求直线和的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】(1)把点的坐标分别代入相应的函数解析式求解即可．
(2) 作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，点P即所求，设直线表达式为，确定解析式，并求出与y轴的交点坐标即可．
(3) 分两种情况求解即可．
【详解】（1）将代入得，
解得，
故直线的解析式为；
把代入，得，
解得，
故直线的解析式为．
（2）作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，则点P满足的值最小，
∵，，

∴，，
∴，，设直线表达式为，
∴，
解得，
∴直线表达式为，
令，
∴．
（3）设点，
如图，当时，过点A作于点G，

∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，
∴，
∴，，
解得，
故点；
如图，当时，过点D作于点G，

∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，，
解得，
故点；
综上所述，点或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．