【期末常考压轴题】苏科版七年级数学下册-专题05 认识三角形压轴题七种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3670" 【典型例题】 PAGEREF _Tc3670 \h 1
\l "_Tc23125" 【考点一 三角形的稳定性】 PAGEREF _Tc23125 \h 1
\l "_Tc27140" 【考点二 三角形的分类及个数】 PAGEREF _Tc27140 \h 2
\l "_Tc8741" 【考点三 构成三角形的条件】 PAGEREF _Tc8741 \h 4
\l "_Tc15779" 【考点四 确定第三边的取值范围】 PAGEREF _Tc15779 \h 5
\l "_Tc29495" 【考点五 三角形的中线】 PAGEREF _Tc29495 \h 6
\l "_Tc32580" 【考点六 三角形的角平分线】 PAGEREF _Tc32580 \h 8
\l "_Tc17903" 【考点七 三角形的高线】 PAGEREF _Tc17903 \h 10
\l "_Tc7660" 【过关检测】 PAGEREF _Tc7660 \h 12
【典型例题】
【考点一 三角形的稳定性】
例题：（2022春·广西钦州·八年级校考期中）如图，木工师傅做窗框时，常常如图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【详解】解：这样做的数学原理是：三角形的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
【变式训练】
1．（2022春·河南信阳·八年级统考期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【答案】A
【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这样就形成了一个三角形，
所以所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形稳定性在实际生活中的应用问题，解题关键是掌握三角形稳定性的几何原理．
2．（2022春·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键．
【考点二 三角形的分类及个数】
例题：（2022春·河北邢台·八年级校考期中）如图表示三角形的分类，则表示的是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．三边都不相等的三角形
【答案】D
【分析】根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·安徽安庆·八年级统考期中）在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理，结合得出即可判断．
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：B．
【点睛】本题考查三角形的分类，熟练掌握三角形内角和定理及直角三角形角内角特征是解决问题的关键．
2．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，点、在的边上，则图中共有三角形_____个．
【答案】
【分析】根据三角形定义直接数出图中三角形即可得到答案．
【详解】解：图中三角形有：共6个，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形定义，数出图中三角形个数时不重不漏是解决问题的关键．
3．（2022·全国·八年级专题练习）观察图形规律：
（1）图①中一共有________个三角形，图②中共有________个三角形，图③中共有________个三角形．
（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有________个三角形．
【答案】 3 6 10
【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；
（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可．
【详解】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角形．
故答案为：3，6，10；
（2），，，
第n个图形共有：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律和三角形的个数问题，根据已知得出数字是连续整数的和是解题关键．
【考点三 构成三角形的条件】
例题：（辽宁省大连市高新园区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）下列各长度的木棒首尾相接可以组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，6C．2，3，5D．2，2，5
【答案】B
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边进行判断．
【详解】解：A．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B．，能构成三角形，故此选项符合题意；
C．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D．，不能组成三角形，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握一般用两条较短的线段相加，如果大于最长那条线段就能够组成三角形．
【变式训练】
1．（2022春·辽宁大连·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，7C．5，6，11D．5，5，10
【答案】B
【分析】由较短的两边相加，若大于较长的边，则可构成三角形，据此判断．
【详解】解：A、∵，∴此三条线段不能构成三角形；
B、∵，∴此三条线段能构成三角形；
C、∵，∴此三条线段不能构成三角形；
D、∵，∴此三条线段不能构成三角形；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的构成条件：较短的两边的和大于第三边，熟练掌握三角形的构成条件是解题的关键．
2．（2022春·北京朝阳·八年级统考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，5，8C．5，5，10D．1，6，7
【答案】A
【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．
【详解】解：A、，能构成三角形，故符合题意；
B、，不能构成三角形，故不符合题意；
C、，不能构成三角形，故不符合题意；
D、，不能构成三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【考点四 确定第三边的取值范围】
例题：（2022春·浙江·八年级期末）已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是______．
【答案】3＜x＜7
【分析】根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和解答．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜x＜2+5，即：3＜x＜7．
故答案为：3＜x＜7．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
【变式训练】
1．（2022春·北京怀柔·八年级统考期末）一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为1，2，则这个三角形的第三边长为_____．
【答案】2
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可．
【详解】解：∵第三边，
∴第三边，
∵三边长都是整数，
∴这个三角形第三边长是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键．
2．（2022春·北京东城·八年级东直门中学校考期中）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是_____．
【答案】
【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可．
【详解】解：三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，
则，
即，
因此整数m的最大值是7．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【考点五 三角形的中线】
例题：（2022春·广东云浮·八年级新兴实验中学校考期中）如图，中，，，是边上的中线，若的周长为36，则的周长是______________．
【答案】30
【分析】根据三角形中线的定义可得，由的周长为36，，求出，进而得出的周长．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵的周长为36，，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义得出以及利用周长的定义求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多4，，则AC的长为__________．
【答案】
【分析】由的周长比的周长多4可得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线得到相等的线段是解题的关键．
2．（2022春·安徽宣城·八年级校考期中）在中，点D是边上的中点，如果厘米，厘米，则和的周长之差为____，面积之差为____．
【答案】 2厘米## 0
【分析】根据三角形中线的性质可知，则，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示：∵点D是边上的中点，厘米，厘米，
∴，
∴和的周长之差为：厘米，，即面积之差为：0．
故答案为：2厘米，0．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
【考点六 三角形的角平分线】
例题：（2022春·安徽亳州·八年级校联考期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得出，，求出，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，分别是，的平分线，
，，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
1．（2022春·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知中，，平分，，垂足为D，E为上一点，．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平分，求得，由平行线的性质得的度数，再根据垂直的意义得的度数，然后由求解即可．
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的意义、平行线的性质、垂直的意义以及周角的概念等知识，熟练掌握平行线的性质与角平分线的意义是解答此题的关键．
2．（2022春·八年级课时练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．
【考点七 三角形的高线】
例题：（2022春·北京海淀·八年级校考期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】中边上的高线是过点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：中边上的高线是过点作的垂线，只有D选项正确，符合题意，
故选D
【点睛】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．
【变式训练】
1．（2022春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，用三角板画，边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形作高的方法逐项判断即可．
【详解】解：选项A作的是边上的高，符合题意；
选项B作的是边上的高，不符合题意；
选项C中三角板未过点C，故作的不是高，不符合题意；
选项D作的是边上的高，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形高的作法，作边边的高，应从顶点A向作垂线段，垂足落在直线上，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022春·天津西青·八年级校考期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高；
(2)直接写出的面积为___．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；
（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（北京市通州区2022一2023学年八年级上学期期末质量检测数学试卷）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，对选项逐个判断即可．
【详解】解：，A选项不能构成三角形，不符合题意；
，B选项不能构成三角形，不符合题意；
，C选项不能构成三角形，不符合题意；
，D选项能构成三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键熟练掌握三角形三边关系．
2．（2022春·北京昌平·八年级统考期末）一个三角形两边长分别为4和6，第三边长可能为（ ）
A．2B．4C．10D．12
【答案】B
【分析】设第三边为，再根据三角形的三边关系求出的取值范围，选出合适的的值即可．
【详解】解：设第三边为，
∵三角形的两边长分别为4和6，
∴，即
∴4符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
3．（2022春·广西柳州·八年级校联考期中）画的边上的高，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
【详解】解：A．此图形知是边上的高，不符合题意；
B．此图形中不是的高，不符合题意；
C．此图形中是边上的高，符合题意；
D．此图形中是边上的高，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4．（2022春·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，即，
∴
∵是中线，即点是的中点，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得．
5．（2022春·八年级单元测试）如图，在中，，是角平分线，是高，与相交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在中由三角形内角和可求得，由角平分线的定义可求得，在中再利用三角形内角和可求得的度数．
【详解】解：是高，
，
，
是角平分线，
，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和为是解题的关键．
6．（2022春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的角度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，进而可求出的度数，再根据三角形的外角性质即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理．
二、填空题
7．（2022春·安徽·八年级统考期中）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用它观看视频，这样做的数学道理是_________．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】三角形手机支架利用了三角形的稳定性，形状稳定，不晃动，方便观看手机视频．
【详解】∵三角形具有稳定性，
∴三角形手机支架形状不变形，手机放上稳定不晃动，可以非常方便地观看视频．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握三角形的稳定性．
8．（2022春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长是______．
【答案】9
【分析】先根据三角形三边的关系确定第三边的范围，再根据第三边为偶数求出第三边即可得到答案．
【详解】解：∵一个三角形的两边长分别是1和4，
∴第三边，即第三边，
又∵第三边的长为偶数，
∴第三边的长为4，
∴这个三角形的周长，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形周长，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
9．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，点是中边上的中点，连接，若的面积为12，则阴影部分的面积为______________．
【答案】6
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积进行解答即可．
【详解】解：点是中边上的中点，的面积为12，
∴，
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了三角形的中线，三角形的面积，解题关键是熟记三角形中线平分三角形的面积．
10．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在中，，，，的度数为________．
【答案】##度
【分析】根据，可得，再由三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解题的关键．
11．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）小朦同学从四根长为，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取___________．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，确定出第三根木棍的取值范围，即可求解．
【详解】解：已经取了和两根木棍，则第三根木棍的范围为，
而不在范围内，故不可能取，
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系，确定出第三边的取值范围．
12．（2022春·八年级单元测试）已知中，，是边上的高，，则_____________°．
【答案】80或40##40或80
【分析】分为两种情况，画出图形，求出的度数，即可得出答案．
【详解】解：分为两种情况：①如图1，
为边上的高，
，
，
，
，
；
②如图2，
为边上的高，
，
，
，
，
．
故答案为：80或40．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于 ．
三、解答题
13．（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，于点，平分，求与的度数．
【答案】，
【分析】首先根据三角形内角和定理，可求得的度数，再根据角平分线的定义，即可求得及的度数，最后由角的和差即可求得的度数．
【详解】解：在中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，准确找到相关角的关系是解决本题的关键．
14．（2022春·天津宁河·八年级天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）如图，在中，的平分线相交于点F，已知，求的度数．
【答案】
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵的平分线相交于点F，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．
15．（2022春·安徽淮南·八年级统考期中）如图，在 中，已知 是角平分线， ．
(1)求 的度数；
(2)若 于点 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知 的度数，可求出三角形 中 的度数， 又是 的角平分线，可以求得 的值，从而在三角形 中即可求 的度数．
（2）由（1）可求得 若 ，则在直角三角形中可以求得的度数．
【详解】（1）解：（1）在 中， ， ，
，
．
是 的角平分线，

在 中， ， ，
．
（2），
又 ，
在 中， ，
．
【点睛】本题综合考查了三角形的内角和，角平分线，及角的互余关系，关键是利用有关角的关系定理进行计算．
16．（2022春·广东东莞·八年级东莞市厚街海月学校校考期中）如图，已知，平分交于点，于点，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，当________度时，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的内角和求出，再利用内角与外角的关系先求出，再求出；
（2）利用三角形的内角和定理及推论，用含的代数式表示出、，根据得到关于的方程，先求出，再求出的度数．
【详解】（1）解：∵平分交于点D，于点E，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握三角形的角平分线、高线的性质及三角形的内角和定理及推论是解决本题的关键．
17．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，已知，与外角的角平分线相交于点O．
(1)若时，求的度数；
(2)请探究和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）由补角的定义可得，由角平分线的定义可求得，，再利用三角形的外角性质即可求的度数；
（2）由三角形外角的性质可得，再由角平分线的定义可得，，则可求得，从而可得到与的关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∵是的外角，
∴；
（2），理由如下：
∵是的外角，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵是的外角，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
18．（2022春·山东临沂·八年级统考期中）如图所示，在中，平分交于点D，平分交于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)110°
(2)50°
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质即可得到；
（2）根据角平分线的定义得到，．再由三角形外角的性质得到，即可利用三角形内角和定理得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵是的外角，，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，．
∵是的外角，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．