【期末常考压轴题】苏科版七年级数学下册-专题16 用二元一次方程组解决问题(方案,销售利润,数字,几何图形,图表)压轴题五种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28773" 【典型例题】 PAGEREF _Tc28773 \h 1
\l "_Tc20101" 【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】 PAGEREF _Tc20101 \h 1
\l "_Tc1167" 【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 PAGEREF _Tc1167 \h 4
\l "_Tc23198" 【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】 PAGEREF _Tc23198 \h 7
\l "_Tc29593" 【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】 PAGEREF _Tc29593 \h 8
\l "_Tc3104" 【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】 PAGEREF _Tc3104 \h 10
\l "_Tc14679" 【过关检测】 PAGEREF _Tc14679 \h 13
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】
例题：（2023春·福建泉州·七年级校联考阶段练习）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．
(1)若销售篮圆篮和篮方篮共收入8600元，求的值；
(2)当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；
②若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，请确定该杨梅大户有哪几种包装方案．
【答案】(1)20
(2)①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮．②有二种方案，方案一，圆篮包装80篮，方篮包装20篮；方案二，圆篮包装116篮，方篮包装4篮
【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）①设圆篮共包装了篮，则方篮共包装篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于和的方程组，根据为正整数，可以求出的大致范围以及为9的倍数，从而得到的值，即可得到包装方案．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得：，
答：的值为20．
（2）①设圆篮共包装了篮，则方篮共包装篮，
由题意，得，
解得：，
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮．
（2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，
则，
解这个关于和的方程组，可得：
，
，，为正整数，且应为9的倍数，
的值为9或18．
当时，，，；
当时，，，．
所以，有两种方案，
方案一，圆篮包装80篮，方篮包装20篮；
方案二，圆篮包装116篮，方篮包装4篮．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）某商场计划拨款9万元购进50台电视机．已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元．
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，问有多少种不同的进货方案？并写出这些方案．
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在第（1）小题的几个方案中，为使销售时获得利润最多，你选择哪种方案？并说明理由．
【答案】(1)两种方案：方案1：甲，乙两种电视机各25台．方案2：购买甲种电视机35台，乙种电视机15台
(2)选择方案2，见解析
【分析】（1）设购买电视机甲种台，乙种台，丙种台，由题意分别列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据（1）的结论分别求得获得的利润，比较大小即可求解．
【详解】（1）解：设购买电视机甲种台，乙种台，丙种台，由题意得：
①，
解得：；
②，
解得：（舍去）
③，
解得：．
故两种方案：方案1：甲，乙两种电视机各台．
方案2：购买甲种电视机台，乙种电视机台；
（2）选择方案2，理由：
∵商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元，
∴方案1：（元），
方案2：（元），
故选择方案2．
∴共有种购买方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运物资吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？
(2)现有吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次．那么该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少．
【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资
(2)该公司有三种租车方案，方案一租车费用最少
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资，根据题意，列出方程组，解出即可得出答案；
（2）设租辆型车，辆型车，根据题意，得出，且、均为正整数，解出或或，据此得出该公司有三种租车方案，再算出每种租车方案的费用，即可得出答案．
【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资，
根据题意，可得：，
解得：，
∴1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资；
（2）解：设租辆型车，辆型车，
根据题意，可得：，
∵、均为正整数，
∴或或，
∴该公司有三种租车方案：
方案一：租辆型车，辆型车；
方案二：租辆型车，辆型车；
方案三：租辆型车，辆型车，
∴方案一所需费用为（元），
方案二所需费用为（元），
方案三所需费用为（元），
∵，
∴方案一租车费用最少．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解本题的关键在找准等量关系，正确列出方程．
【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】
例题：（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元．
(1)求A、B两种纪念品的购进单价；
(2)已知商店购进两种纪念品件，共花费元，两种纪念品均标每件元出售，其中有5件B种纪念品以七五折售出，求这件纪念品的销售利润．
【答案】(1)A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元；
(2)元．
【分析】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，根据“购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元”列出方程求解即可；
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，根据“购进两种纪念品件，共花费元” 列出方程求解即可得到A种纪念品和B种纪念品的件数，再根据“利润=总销售额－成本”即可得出答案．
【详解】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，
根据题意，得
解得
答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，
依题意，得
所以
售完利润为：（元）
答：这32件纪念品的销售利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）冬季来临，某电器店开始销售A、B两种型号的取暖器，A型取暖器每台元，B型取暖器每台元．若两周内共销售台，这两周的销售额为元，A、B两种型号的取暖器分别销售了多少台？（请用二元一次方程组的知识解答）
【答案】A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【分析】设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，根据两周内共销售台，销售收入元列方程组求解即可．
【详解】解：设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，
解得：
答：A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；解题的关键是找等量关系，然后列出方程组，正确求解．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）随着新能源汽车需求量的增加，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元．
(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划恰好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均需购买），请你写出所有购买方案．
【答案】(1)A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元
(2)所有购买方案：购进7辆A型汽车，5辆型汽车；购进4辆A型汽车，10辆型汽车；购进1辆A型汽车，15辆型汽车
【分析】（1）设A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元，根据“辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元”，即可得关于x、y的一元二次方程组，解之即可；
（2）设购进辆A型汽车和辆型汽车，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元，
由题意知：
，
解得：，
答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元．
（2）解：设购进辆A型汽车和辆型汽车，
则，
，
均为正整数，
∴当b=5时，a=7或b=10时，a=4或b=15时，a=1，
∴所有购买方案如下：
购进7辆A型汽车，5辆型汽车；购进4辆A型汽车，10辆型汽车；购进1辆A型汽车，15辆型汽车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】
例题：（2023秋·甘肃白银·八年级统考期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27，这个两位数是______．
【答案】36
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出这个两位数．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：，
解得：，
∴，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据十位上的数字比个位上的数字大2，列方程，交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18，列方程，即可解答．
【详解】解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y，
∵十位上的数字比个位上的数字大2，
∴；
∵交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．
∴；
故可列方程组：，
故选：A
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出正确的方程组．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5
(2)第一次他们拼成的两位数为45
(3)第二次拼成的两位数是54
【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．
第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为．
根据题意得：
，
由②，得：③，
得：．
把代入①得：，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45．
（3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，
所以第二次拼成的两位数是54．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积．
【答案】
【分析】要求长方体的体积，需知长方体的长、宽、高，再结合图形寻找等量关系，求出后代入长方体体积公式，即可得出结果．
【详解】设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为，
根据题意可得，
解得，
∴长为，宽为，高为，
则体积，
则这种药品包装盒的体积为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是用宽表示出长．
【变式训练】
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在长方形中，放入6个形状，大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 _____；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积 _____（填“有变化”或“不改变”）．
【答案】 不改变
【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据图性质小长方形的长、宽和大长方形的长、宽之间的关系，列出方程组，解方程组得出x、y的值，再用大长方形的面积减去六个小长方形的面积即可得出答案；
（2）在平移的过程中，大长方形的面积不变，小长方形的面积不变，因此阴影部分面积不变．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：
，
解得：，
∴图中阴影部分面积为：
；
无论怎么平移这六个长方形，阴影部分的面积总是大长方形的面积减去六个长方形的面积，均为，保持不变．
故答案为：；不改变．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、平移性质，解题的关键是根据图形中大、小长方形之间的长、宽之间的关系列出方程组．
2．（2023春·湖南岳阳·七年级统考阶段练习）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？
【答案】
【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据图形得到每个小长方形的长和宽的两个等量关系，列出方程组，解方程组得到小长方形的长和宽，再求出小长方形的面积即可．
【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，由题意，得
，
解得：．
∴小长方形的长为，宽为，
∴小长方形的面积．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找到等量关系是解题的关键．
【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】
例题：（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量＝50克．根据这两个等量关系式可列一个方程组．
【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克．
由题意列方程组得：，
解方程组得：．
答：每块巧克力的质量是20克．
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程是关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第十中学校联考阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个末完成的幻方，则的值是（ ）
A．0B．C．D．32
【答案】B
【分析】设中间的数为，第三行第1个数字为，根据题意得出，由①得，由②得，得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设中间的数为，第三行第1个数字为，
由①得
由②得
∴，
解得：
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
2．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)三
(2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元
(3)商店是打八折出售这两种商品的
【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可．
（1）
根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物，
故答案是：三；
（2）
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元；
（3）
设商店是打m折出售这两种商品，
由题意得，，
解得：m=8．
答：商店是打八折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）把一根长的钢管截成长和长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中长的钢管有根，则的值有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】B
【分析】设的钢管根，由题意可列二元一次方程，根据、均为整数，求解即可．
【详解】解：设的钢管根，根据题意得：，
、均为整数，
，，，．
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解．正确的列方程并正确的运算是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是，如果把这个两位数加上，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，则这个两位数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设十位上的数为，个位上的数为，依据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设十位上的数为，个位上的数为，
根据题意得，
∴，
由得，
∴，
将代入得，
∴，
∴这个两位数为34，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，依据题意建立方程组是解本题的关键．
3．（2023春·重庆·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为81，8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为64，12个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．48B．36C．50D．49
【答案】D
【分析】三个图中阴影部分都是正方形，根据前两个阴影面积列方程组求长方形的边长，再计算图③阴影面积．
【详解】解：图①中阴影面积是81，边长为9，图②阴影面积是64，边长为8，设矩形长为a，宽为b，根据题意得：
解得：，
所以图③阴影面积为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．
二、填空题
4．（2023春·七年级课时练习）一个两位数，把其十位数字与个位数字交换位置后，所得的数比原数多9，这样的两位数的个数有___________个．
【答案】8
【分析】等量关系为：新两位数-原两位数=9，把相关数值代入求小于10的自然数解即可．
【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，
，
，
，即（原两位数的个位数字y比十位数字x要大1，）
∴这样的两位数为12，23，34，45，56，67，78，89共8个，
故答案为：8．
【点睛】考查二元一次方程的应用，得到新数和原数的等量关系是解决本题的关键．
5．（2023春·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考阶段练习）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形，则图中阴影部分面积为______多少平方厘米．
【答案】53
【分析】设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，观察图形，根据小长方形长与宽之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值；再利用阴影部分的面积=大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
依题意，得：，
解得：，
∴图中阴影部分面积为（平方厘米）．
答：图中阴影部分面积为53平方厘米．
故答案为：53．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）某中学为积极开展校园足球运动，计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球价格为120元，一个品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，请写出一种购买方案：买_______个品牌足球，买________个品牌足球．
【答案】 10 12
【分析】设买个品牌足球，买个品牌足球，根据题意列出二元一次方程，根据整数解确定的值即可求解．
【详解】解：设买个品牌足球，买个品牌足球，根据题意得，
，
整理得：，
，是正整数，
是5的倍数，
．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，整除，根据题意列出方程是解题的关键．
三、解答题
7．（2023春·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的4倍刚好等于这个两位数．求这个两位数．
【答案】这个两位数是24．
【分析】分析题目可以知道，本题存在了两个等量关系，即：个位上的数字减十位上的数字；(十位上的数字+个位上的数字)=这个两位数的值，根据这两个等量关系，列方程求解．
【详解】解：假设这个两位数十位上数字为a，个位上数字为b，
则由题意可得：
，
解得：
故这个两位数是24．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解决此类问题的关键在于找出，题目中所提到的等量关系，整理出方程求解．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？
【答案】小长方形花圃的长为4m，宽为2m
【分析】设小长方形花圃的长为，宽为，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为，
由题意得，
解得．
答：小长方形花圃的长为，宽为.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．
(1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值；
(2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可；
（2）根据计算出的x、y值，求出其它6个数即可．
【详解】（1）解：由已知条件可得，
解得：．
（2）解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，是解题的关键．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）某农业科学研究院对A、B两种玉米进行实验种植，已知去年两种玉米分别种植10亩，B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元．
(1)求A，B两种玉米去年的平均亩产量；
(2)在保持种植面积不变的情况下，预计今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，求a的值．
【答案】(1)A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为400kg和500kg
(2)2
【分析】（1）设A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为和，根据B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元列出关于 ，的二元一次方程组，解出即可；
（2）根据今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，列出关于的方程，解出即可。
【详解】（1）解：设A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为和，
根据题意，得： ，
解方程组得： ，
答：A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为400kg和500kg；
（2）解：根据题意，得：
= ，
解得：．
【点睛】本题主要考查二元一次的方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．
(1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？
(2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？
【答案】(1)玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元
(2)小瑞所带的钱还剩下31元
【分析】（1）设每支玫瑰x元，每支百合y元，利用总价=单价×数量，结合小瑞带的钱数不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出；
(2)设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元，所以列方程 ，用含m的代数式解出x和y，又因为且一共只买8支玫瑰，所以剩下的钱为：m-8x即可求解；
【详解】（1）解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元．
由题意可得
解之得
答：玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元．
（2）解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元
所以有 ，
解得： ，
又因为且一共只买8支玫瑰，
所以剩下的钱为：m-8x=m- =31 （元）
答：小瑞所带的钱还剩下31元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）今夏，某村小麦喜获丰收某种植户共收获小麦28吨，现计划租用甲、乙两种货车将小麦全部运往外地销售，两辆甲种货车和一辆乙种货车可装小麦11吨，一辆甲种货车和两辆乙种货车可装小麦10吨．
(1)一辆甲种货车和一辆乙种货车一次共运货多少吨？
(2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，这位种植户想同时租用这两种货车，一次运完所有小麦，要求租用的每辆车都需要装满，则应如何选择方案，使运输费最少？最少运费是多少？
【答案】(1)一辆甲种货车和一辆乙种货车一次共运货7吨
(2)选择甲种货车和乙种货车各4辆费用最少，运费是2160元
【分析】（1）设一辆甲种货车可运货x吨，一辆乙种货车可运货y吨，根据等量关系：两辆甲种货车和一辆乙种货车可装小麦11吨；一辆甲种货车和两辆乙种货车可装小麦10吨；列出二元一次方程组计算即可求解；
（2）设需要甲种货车m辆，乙种货车n辆，根据同时租用这两种货车，一次运完所有小麦，要求租用的每辆车都需要装满，即可得出关于m，n的不定方程，根据m，n的取值范围，再结合m，n为正整数，即可得出各运货方案；利用总运费=每辆车的运费×租车辆数，可分别求出两种安排方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设一辆甲种货车可运货x吨，一辆乙种货车可运货y吨，
由题意得：，
解得．
∴x+y=4+3=7．
故一辆甲种货车和一辆乙种货车一次共运货7吨；
（2）解：设需要甲种货车m辆，乙种货车n辆，
由题意得：4m+3n=28，
∴m=7−n．
∵m＞0，n＞0，且m，n为整数，
∴n=4或8．
当n=4时，m=4，所需费用=300m+240n=300×4+240×4=2160；
当n=8时，m=1，所需费用=300m+240n=300×8+240×1=2220；
∴选择甲种货车和乙种货车各4辆费用最少，运费是2160元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程；利用总运费=每辆车的运费×租车辆数，分别求出两种安排方案所需费用即可求解．
13．（2023春·七年级单元测试）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户，若买医用口罩800个和洗手液120瓶，则钱还缺200元；若买医用口罩1200个和洗手液80瓶，则钱恰好用完．
(1)求医用口罩和洗手液的单价；
(2)由于实际需要，还须增加购买单价为6元的N95口罩．需购买医用口罩和N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，再用买口罩后剩余的钱购买洗手液，且钱恰好全部用完，则有几种购买方案？请说明理由．
【答案】(1)医用口罩和洗手液的单价分别为2.5元，30元
(2)一共有三种购买方案，理由见解析
【分析】（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元，y元，然后根据买医用口罩800个和洗手液120瓶，则钱还缺200元；若买医用口罩1200个和洗手液80瓶，则钱恰好用完列出方程组求解即可；
（2）设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则购买医用口罩（1200-a）个，然后根据购买医用口罩和N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，再用买口罩后剩余的钱购买洗手液，且钱恰好全部用完，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设医用口罩和洗手液的单价分别为x元，y元，
由题意得，
解得，
∴医用口罩和洗手液的单价分别为2.5元，30元，
答：医用口罩和洗手液的单价分别为2.5元，30元；
（2）解：一共有三种购买方案，理由如下：
设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则购买医用口罩（1200-a）个，
由题意得：，
∴，
∴，
∵a、b都是正整数，
∴a为60的倍数，且，
∴当a=60时，b=73，
当a=120时，b=66，
当a=180时，b=59，
∴一共有三种购买方案；
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键．购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8