【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题24 四边形中动点问题（原卷版+解析版）

             专题24 四边形中动点问题

考点一 ：四边形中的动点问题

考点二：特殊平行四边形的存在性

   1．坐标系中的平行四边形：

   （1）对边平行且相等：

（2）对角线互相平分：              即 A、C 中点与 B、D 中点重合．

以上两条可统一为：

【典例1】（2021春•荔湾区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为ts．

（1）CD边的长度为　　  cm，t的取值范围为　   　；

（2）从运动开始，当t＝　  　时，PQ∥CD，当t＝　  　时，PQ＝CD．

（3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？

（4）从运动开始，当t取何值时，△DQC是等腰三角形？

【答案】（1）10， 0≤t≤9（2）t＝4时；t＝8或4 （3）t＝6时（4）t＝5或6或

【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥BC于E，则∠DEB＝∠DEC＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠B＝90°，

∴∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，

∴四边形ABED是矩形，

∴DE＝AB＝8，BE＝AD＝12，

∵BC＝18，

∴CE＝18﹣12＝6，

由勾股定理得：CD＝＝10（cm）

∵点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，AD＝12cm，

∴点P运动到D的时间为：12s，

同理得：点Q运动到点B的时间为：＝9s，

∴0≤t≤9；

（2）如图2，∵AD∥BC，

∴PD∥CQ，

当PD＝CQ时，四边形DPQC是平行四边形，

∴PQ＝CD，

∴12﹣t＝2t，

∴t＝4，

即当t＝4时，PQ∥CD，此时PQ＝CD；

如图3，过点P作PF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC于E，

当PQ＝CD时，

∵PF＝DE，

∴Rt△PQF≌Rt△DCE（HL），

∴FQ＝CE＝6，

∵∠PFE＝∠DEF＝∠ADE＝90°，

∴四边形DPFE矩形，

∴PD＝EF＝12﹣t，

∴CQ＝QF+EF+CE，即6+6+12﹣t＝2t，

∴t＝8，

当t＝8或4时，PQ＝CD；

（3）如图4，∵∠B＝90°，AD∥BC，

∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，

即t＝18﹣2t，

解得：t＝6，

∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形；

（4）分三种情况：

①如图5，当CD＝CQ时，即2t＝10，

∴t＝5；

②如图6，DQ＝CD，过点D作DE⊥BC于E，

∴CQ＝2CE，

∴2t＝2×6，

∴t＝6；

③如图7，DQ＝CQ，过点D作DE⊥BC于E，

∵CQ＝2t，

∴DQ＝2t，EQ＝6﹣2t，

由勾股定理得：DE2+EQ2＝DQ2，即82+（6﹣2t）2＝（2t）2，

解得：t＝，

综上，当t＝5或6或时，△DQC是等腰三角形

【变式1】（2019春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当∠PQC＝150°时，求t的值；

（2）当PQ＝CD时，求t的值．

【答案】（1）t＝﹣2   （2）t＝6s或9s

【解答】解：（1）作PE⊥BC于E，

由题意得，AP＝t，QC＝3t，

则BE＝AP＝t，

∴QE＝30﹣4t，

∵∠PQC＝150°，

∴∠PQE＝30°，

∴QE＝PE，即30﹣4t＝8，

解得，t＝﹣2；

（2）∵当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，

则PQ＝CD，

∴24﹣t＝3t，

解得，t＝6（s）；

当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD．

设运动时间为t秒，则有AP＝tcm，CQ＝3tcm，

∴BQ＝30﹣3t，

作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，

则NC＝BC﹣AD＝30﹣24＝6．

∵梯形PQCD为等腰梯形，

∴NC＝QM＝6，

∴BM＝（30﹣3t）+6＝36﹣3t，

∴当AP＝BM，即t＝36﹣3t，解得t＝9，

∴t＝9s时，四边形PQCD为等腰梯形．

综上所述t＝6s或9s时，PQ＝CD．

【典例2】在平面直角坐标系中，有点O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2）

（1）求点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．

（2）如图，连接OA，过点B作直线l∥OA，分别交x轴、y轴于点D、点E，若点Q在直线l上，在平面直角坐标系中求点P，使以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．

【答案】（1）  C（﹣3，﹣1）或（3，1）或（1，3）（2）（2，﹣2）或（﹣2，2）或（2，﹣2）或（4，4）

【解答】解：（1）如图所示：

∵点O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2），

∴C（﹣3，﹣1），C1（3，1），C2（1，3），

∴当点C（﹣3，﹣1）或（3，1）或（1，3），使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形；

（2）如图所示，

∵A（﹣1，1），

∴OA的解析式为：y＝﹣x，

∵OA∥ED，

∴设ED的解析式为：y＝﹣x+b，

把B（2，2）代入y＝﹣x+b中，b＝4，

∴ED的解析式为：y＝﹣x+4，

∴D（4，0），

①当OD为边，P在第四象限时，四边形OPQD是菱形，则OP＝OD＝4，

过P作PG⊥x轴于G，

∵∠POG＝45°，

∴OG＝PG＝2，

∴P（2，﹣2）；

②当OD为边，P1在第二象限时，四边形OP1Q1D是菱形，

同理得P1（﹣2，2）；

③当OD为对角线时，四边形OP2DQ2是菱形，此时Q2与B重合，点P2（2，﹣2）；

④当OD为边，Q3与E重合时，四边形ODP3Q3是菱形，此时点P3（4，4）；

综上，点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）或（2，﹣2）或（4，4）．

【变式2-1】（2020春•昂昂溪区期末）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的中点．

（1）直接写出点C，D的坐标；

（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）C（3，0）  （2）（﹣3，﹣2）或（9，2）或（3，6）．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC＝AD＝6，AD∥BC，

∵B、点C都在x轴上，点A在y轴上，OA＝4，

∴D（6，4），

∵OB＝3，

∴OC＝BC﹣OB＝3，

∴C（3，0）；

（2）存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：

∵D（6，4），E为线段OD的中点，

∴E（3，2），且A（0，4），

设点N的坐标为（x，y），

如图，分情况讨论：

①当AE为对角线时，＝，＝，

解得：x＝﹣3，y＝2，

∴N（﹣3，2）；

②当DE为对角线时，＝，＝，

解得：x＝9，y＝2，

∴N'（9，2）；

③当AD为对角线时，＝，＝4，

解得：x＝3，y＝6，

∴N''（3，6）；

综上所述，平面内存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为（﹣3，﹣2）或（9，2）或（3，6）．

1．（2021春•渝中区校级期中）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　　   ．

【答案】（5，4）或（4，4）

【解答】解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，

∵A（0，4），B（8，0），

∴OA＝4，OB＝8，

∵四边形ABCD为菱形，

∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，

∴CA＝CB＝8﹣m，

在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，

∴D（5，4）；

当AB为菱形的边时，如图2，

AB＝＝4，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，

∴D（4，4），

综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）．

故答案为（5，4）或（4，4）．

2．（2021秋•凤翔县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．

（1）请用含有t的式子填空：AQ＝　　，AP＝　　，PM＝　　；

（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．

【答案】（1）t，40﹣2t，t   （2）t＝

【解答】解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，

∴AQ＝t，

∵∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°，

∴∠B＝30°，

∴AB＝2AC＝40，

∴AP＝AB﹣BP＝40﹣2t，

∵PM⊥BC，

∴∠PMB＝90°，

∴PM＝PB＝t．

故答案为：t，40﹣2t，t；

（2）存在，理由如下：

由（1）知：AQ＝PM，

∵AC⊥BC，PM⊥BC，

∴AQ∥PM，

∴四边形AQMP是平行四边形，

当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，

即40﹣2t＝t，

解得t＝，

则存在t＝，使得平行四边形AQMP成为菱形．

3．（2020春•个旧市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．

（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）

【答案】（1）  t＝6s （2）7s

【解答】解：（1）运动时间为ts．

AP＝t，PD＝24﹣t，CQ＝3t，

∵经过ts四边形PQCD平行四边形

∴PD＝CQ，即24﹣t＝3t，解得t＝6．

当t＝6s时，四边形PQCD是平行四边形；

（2）如图，过点D作DE⊥BC，则CE＝BC﹣AD＝2cm

∵当CQ﹣PD＝4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）＝4，

∴t＝7．

∴经过7s四边形PQCD是等腰梯形．

4．（2021春•安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．

（1）求点E和点D的坐标；

（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）D（﹣6，4），E（﹣3，2）  (2)（3，2），（﹣9，2），（﹣3，6）．

【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），

∴AB＝6，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝6，

又C（0，4），

∴D的坐标为（﹣6，4），

∵E是OD的中点，

∴E的坐标为（﹣3，2），

即D（﹣6，4），E（﹣3，2）；

（2）存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，

①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图1，

∴EN∥CD，EN＝CD＝6，

∵CD∥AB，

∴EN∥AB，

又E的坐标为（﹣3，2），EN＝6，

∴N的坐标为（3，2），

②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图2，

∴EN∥CD∥AB，EN＝CD＝6，

∴N的坐标为（﹣9，2），

③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图3，

则DE∥CN，DE＝CN，

由坐标与平移关系可得，N（﹣3，6），

∴N点坐标为（3，2），（﹣9，2），（﹣3，6）．