【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题03 完全平方的几何背景（两大类型）（原卷版+解析版）

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 专题03 完全平方的几何背景（两大类型）
专题说明


完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容.
【新方法解读】
知识点1：完全平方公式
完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：


知识点2：拓展、补充公式


；；
；.

【典例分析】
【典例1】（2022秋•长寿区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝7，x•y＝，则x﹣y＝　 　；
（3）拓展应用：若（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，求（2022﹣m）（m﹣2023）的值．

【解答】解：（1）根据题意，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）∵x+y＝7，x•y＝，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝（7）2﹣4×
＝49﹣13
＝36，
∴x﹣y＝±6．
故答案为：±6．
（3）∵[（2022﹣m）+（m﹣2023）]2＝（2022﹣m）2+（m﹣2023）2+2（2022﹣m）（m﹣2023），
又∵（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，
∴1＝5+2（2022﹣m）（m﹣2023），
∴（2022﹣m）（m﹣2023）＝﹣2．
【变式1-1】（2022秋•襄州区期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn
（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．

【解答】解：（1）m﹣n．（2分）
（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（6分）
（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×6＝25．（10分）
【变式1-2】（2022春•金水区期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者之间的等量关系式：　 　；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知x+y＝6，xy＝，求（x﹣y）2的值；
（2）已知a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值．

【解答】解：【知识生成】（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；
【知识迁移】（1）∵x+y＝6，xy＝，
∴（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝36﹣11
＝25；
（2）∵a+b＝6，ab＝7，
∴a3+b3
＝（a+b）3﹣3ab（a+b）
＝216﹣3×7×6
＝216﹣126
＝90．
【变式1-3】（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　 　；
（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．

【解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，
还可以表示为：a2+b2+2ab．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝﹣24
＝63﹣24
＝39．
（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，
则a+b＝6，a2+b2＝20．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴36＝20+2ab．
∴ab＝8．
∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．
【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）若x满足（6﹣x）（3﹣x）＝1，求代数式（9﹣2x）2的值．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝3，CF＝5，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，
a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×2
＝5；
（2）设（6﹣x）＝a，（3﹣x）＝b，
（6﹣x）（3﹣x）＝ab＝1，
a﹣b＝（6﹣x）﹣（3﹣x）＝3，
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝13，
∴（a+b）2＝13，
∵（6﹣x）+（3﹣x）＝a+b，
∴9﹣2x＝a+b，
∴（9﹣2x）2＝（a+b）2＝13；
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，
∴MF＝DE＝x﹣3，DF＝x﹣5，
∴（x﹣3）•（x﹣5）＝48，
∴（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣3）2﹣（x﹣5）2，
设（x﹣3）＝a，（x﹣5）＝b，
则（x﹣3）（x﹣5）＝ab＝48，
a﹣b＝（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，
∴a＝8，b＝6，a+b＝14，
∴（x﹣3）2﹣（x﹣5）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【变式2-1】（2022秋•松原期末）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题．
（1）通过计算图①中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 　 　；
（2）如图②，点E、G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，且DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），分别以GF、AG为边作正方形GFIH和正方形AGJK，设正方形ABCD的边长为x．

①求AE﹣AG的值；
②若长方形AEFG的面积是，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）①由题意得：AE＝x﹣k，AG＝x﹣（k+1）＝x﹣k﹣1，
∴AE﹣AG＝（x﹣k）﹣（x﹣k﹣1）＝x﹣k﹣x+k+1＝1，
即AE﹣AG的值是1；
②∵长方形AEFG的面积是，
∴AE•AG＝，
∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，
∴AE2+AG2＝（AE﹣AG）2+2AE•AG＝1+＝，
∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，
∴（AE+AG）2＝+＝，
∴AE+AG＝，
∴阴影部分的面积＝正方形GFIH的面积﹣正方形AGJK的面积
＝AE2﹣AG2
＝（AE+AG）（AE﹣AG）
＝×1
＝．
【变式2-2】（2022秋•丰满区期末）问题背景
如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．
类比探究
类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题
（1）计算：（2m﹣n）2＝　 ；
（2）运用完全平方公式计算：1052；
（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．

【解答】解：类比探究：由图2中的已知条件可以得出完全平方的另一个公式：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
解决问题：（1）（2m﹣n）2＝（2m）2﹣2×2m×n+n2＝4m2﹣4mn+n2；
故答案为：4m2﹣4mn+n2；
（2）1052＝（100+5）2＝1002+2×100×5+52＝10000+1000+25＝11025；
（3）因为（x+y）2＝12，xy＝2，
所以（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝122﹣4×2＝144﹣8＝136．
【变式2-3】（2022秋•西岗区校级期末）【探究】
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝　 　，DF＝　 　；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×2
＝9﹣4
＝5；
（2）①∵四边形EMFD是长方形，AE＝1，四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝x，DE＝MF，
∴MF＝DE＝AD﹣AE＝x﹣1，
DF＝CD﹣CF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1，x﹣3；
②∵长方形EMFD的面积是8，
∴MF•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝8，
阴影部分的面积＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝8，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×8＝36，
∴a+b＝±6，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝6，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×2＝12．
即阴影部分的面积12．
【夯实基础】
1．（2022秋•河西区期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（　　）


A．一组 B．两组 C．三组 D．四组
【答案】D
【解答】解：图1，整体长方形的长为a+b+c，宽为d，因此面积为（a+b+c）d，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为ad、bd、cd，
所以有：（a+b+c）d＝ad+bd+cd，
因此图1符合题意；
图2，整体长方形的长为a+b，宽为c+d，因此面积为（a+b）（c+d），
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd，
所以有：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，
因此图2符合题意；
图3，整体正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
因此图3符合题意；
图4，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，
整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，较小正方形的边长为b，因此面积为b2，
另外两个长方形的长为（a﹣b），宽为b，则面积为（a﹣b）×b×2＝2ab﹣2b2，
所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2ab﹣2b2，
即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
因此图4符合题意；
综上所述，四组均符合题意；
故选：D．
2．（2022秋•广宗县期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】C
【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：C．
3．（2022秋•天山区校级期末）如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（　　）

A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．2ab D．4ab
【答案】C
【解答】解：整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，
四个等腰直角三角形的面积和为a2+b2，
所以阴影部分的面积为（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，
故选：C．
4．（2021秋•安岳县期末）将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a﹣b）2+2ab
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
【答案】D
【解答】解：图1阴影部分的面积为×2a×2b＝2ab；
图2阴影部分的面积利用看作边长为（a+b）的面积减去中间空白正方形的面积，即（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，
因此有2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），
故选：D．
5．（2022秋•大连期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的|小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式是 　 　．

【答案】 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【解答】解：阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
6．（2022春•榆林期末）如图，在一个边长为2a+b的大正方形纸片中，剪去一个长为2a+b、宽为a﹣b的长方形和一个边长为a﹣b的小正方形．
（1）用含a、b的式子表示阴影部分的面积；（结果化为最简）
（2）当a＝5，b＝2时，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）阴影部分的面积为：
（2a+b）2﹣（2a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2
＝4a2+4ab+b2﹣（2a2﹣2ab+ab﹣b2）﹣（a2﹣2ab+b2）
＝4a2+4ab+b2﹣2a2+2ab﹣ab+b2﹣a2+2ab﹣b2
＝a2+7ab+b2；
（2）当a＝5，b＝2时，
原式＝25+7×5×2+4
＝99，
即阴影部分的面积为99．
7．（202252．（2022春•普宁市期末）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．
观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：　　 ，方法2：　　 ；
（2）从（1）中你能得到怎样的等式？；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；
②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．

【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）∵（1）中的两种方法都表示阴影部分面积，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①∵0.5xy＝2，
∴xy＝4，
又∵x+y＝6，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝62﹣2×4
＝36﹣8
＝28；
②设a＝2022﹣x，b＝x﹣2021，则a2+b2＝9，a+b＝1，
∴2（2022﹣x）（x﹣2021）＝2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝1﹣9＝﹣8，
∴（2022﹣x）（x﹣2021）＝﹣4，
答：（2022﹣x）（x﹣2021）的值为﹣4．
8．（2022春•郫都区期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为（a+b），小正方形（阴影部分）的边长为（a﹣b）．

（1）观察图1，直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者的数量关系式；
（2）用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若p2+q2＝20，p+q＝6，求图2中阴影部分的面积；
②如图3，四边形ABCD、四边形MEDO和四边形NGDH都是正方形，四边形PODH是长方形，若AE＝5，CG＝15，长方形EFGD的面积是300，求图3中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）根据题意可得，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（1）可得ab＝，
∴pq＝，
把p2+q2＝20，p+q＝6代入上式，
pq＝＝8．
∴图2中阴影部分的面积为2×pq＝2×＝8．
（3）根据题意可得，设AB＝x，
DG＝CD﹣CG＝x﹣15，DE＝AD﹣AE＝x﹣5，
设x﹣5＝a，x﹣15＝b，
则ab＝300，a﹣b＝（x﹣5）﹣（x﹣15）＝10，
图中阴影部分的面积等于a2+2ab+b2＝（a+b）2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×300＝1300．
图3中阴影部分的面积1300．

9.（秋•西城区校级期中）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．

把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）

【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，

（2）a2+b2＝c2．理由如下：
∵S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，
S正方形ABCD＝ab×4+c2，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．

10．（2022秋•南关区校级期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．

【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
即x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝64﹣40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，则m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，
∴（4﹣x）2+（x﹣5）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）
＝1+16
＝17；
（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S1+S2＝a2+b2＝18，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴36＝18+2ab，
∴ab＝9，
∴阴影部分的面积为ab＝，
答：阴影部分的面积为．
11．（2022•南京模拟）（1）如图1是用4个全等的长方形纸板拼成一个“回形”正方形纸板．图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 　 ；已知（b+a）2＝25，ab＝4，则（b﹣a）2＝　　；
（2）利用图1的结论，若（3x﹣y）2＝64，（3x+y）2＝100，求xy的值．
（3）如图2，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 　 ；用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为 　 ；
（4）如图2，若每块小矩形的面积为8cm2，阴影部分面积（四个正方形的面积和）为40cm2，试求（m+n）2的值．

【解答】解：（1）由图可知，大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（b﹣a），
图中阴影部分面积：（a+b）2﹣（b﹣a）2＝4ab，
∵（b+a）2＝25，ab＝4，
∴（b+a）2
＝25b2+2ab+a2
＝25b2+a2+2×4
＝25b2+a2
＝17，
∴（b﹣a）2
＝b2+a2﹣2ab
＝17﹣2×4
＝9．
故答案为：（a+b）2﹣（b﹣a）2＝4ab；9；
（2）∵（3x+y）2﹣（3x﹣y）2
＝12xy
＝100﹣64
＝36，
∴xy＝3；
（3）由图可知，矩形的长为（2m+n）m，宽为（m+2n）m，
∴阴影的面积为：（2m+n）（m+2n）﹣5mn＝2m2+2n2，
由图可知，所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为：6m+6n；
（4）由题意得：2m2+2n2＝40，mn＝8，
∴m2+n2＝20，
∵（m+n）2
＝m2+2mn+n2
＝20+2×8
＝36，
∴（m+n）2的值为36．
12．（2022春•明溪县月考）阅读理解：
若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值，
解：设（210﹣x）＝a，（x﹣200）＝b，则ab＝﹣204，且a+b＝（210﹣x）+（x﹣200）＝10，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508，即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508．
解决问题
（1）若x满足（2022﹣x）（x﹣2010）＝22，则（2022﹣x）2+（x﹣2010）2＝　 　；
（2）若（2022﹣x）2+（x﹣2002）2＝2020，求（2022﹣x）（x﹣2002）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？

【解答】解：（1）设（2022﹣x）＝a，（x﹣2010）＝b，则ab＝22，且a+b＝（2022﹣x）+（x﹣2010）＝12，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝122﹣2×22＝100，
即（2022﹣x）2+（x﹣2010）2的值为100，
故答案为：100；
（2）设（2022﹣x）＝a，（x﹣2002）＝b，
则a+b＝（2022﹣x）+（x﹣2002）＝20，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2ab＝2020，
解得ab＝﹣810，
即（2022﹣x）（x﹣2002）的值为﹣810；
（3）由图及题中条件可知正方形CFGH 的边长为10﹣x，正方形CEMN的边长为6﹣x，
则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到（10﹣x）（x﹣6）＝﹣40，
∴阴影部分面积为（10﹣x）2+（6﹣x）2＝（10﹣x）2+（x﹣6）2，
设（10﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，
则ab＝﹣40，且a+b＝（10﹣x）+（x﹣6）＝4，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（10﹣x）2+（6﹣x）2＝（10﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×（﹣40）＝96，
∴阴影部分面积为96．
13．（2022春•盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．
（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．
（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．

【解答】解：（1）图2中的空白部分的正方形的边长＝a﹣b．
（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×3
＝100﹣12
＝88．
（3）图2中大正方形的面积＝（a+b）2，
空白部分的正方形面积＝（a﹣b）2，
阴影的面积＝4ab，
∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（4）∵（x﹣10）+（20﹣x）＝x﹣10+20﹣x＝10，
∴[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，
由（3）的结论可知，
[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4（x﹣10）（20﹣x），
把[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，（x﹣10）（20﹣x）＝8代入，
得100＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4×8，
100＝（x﹣10﹣20+x）2+32，
68＝（2x﹣30）2，
即（2x﹣30）2＝68．
14．（2022春•涟源市校级期末）阅读理解：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
解决问题：
（1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；
（2）若x满足（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝4038，求（2017﹣x）（2015﹣x）的值；
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．

【解答】解：（1）设（30﹣x）＝a，（x﹣20）＝b，
则（30﹣x）（x﹣20）＝ab＝﹣10，a+b＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10，
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102+2×10＝120；
（2）设（2017﹣x）＝a，（2015﹣x）＝b，
则a﹣b＝（2017﹣x）﹣（2015﹣x）＝2，
因为（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝4038，
所以（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4038，
即22+2×（2017﹣x）（2015﹣x）＝4038，
（2017﹣x）（2015﹣x）＝2017；
（3）设正方形ABCD的边长为x，
由题意DE＝x﹣10，DG＝x﹣20，则（x﹣10）（x﹣20）＝500，
设a＝x﹣10，b＝x﹣20，则a﹣b＝10，ab＝500，
∴S阴＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×500＝2100．

【能力提升】
15．（2022秋•荆门期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝　 　．

【解答】解：由题知，a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75．
∴（a+b）2＝64，
a2+2ab+b2＝64，
a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5，
∵S1＝（6﹣b）2，S3＝（6﹣a）2，S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2，
∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2
＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2
＝a2+b2﹣12b﹣12a+76
＝a2+b2﹣12（b+a）+76
＝32.5﹣12×8+76
＝12.5．
故答案为：12.5
16．（2022秋•平桥区校级期末）有两种正方形A、正方形B，其边长分别为a，b．现将正方形B放在正方形A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，且图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．
（1）正方形A、正方形B的面积之和为 　　．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A和正方形B外，还需要　　个长度分别a，b的长方形．
（3）将3个正方形A和2个正方形B按图3所示的方式摆放，求阴影部分的面积．


【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），
由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
得ab＝6，a2+b2＝13，
故答案为：13；
（2）（2a+b）（a+3b）
＝2a2+6ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+3b2，
∴需要以a，b为边的长方形7个，
故答案为：7；
（3）∵ab＝6，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5，
∵（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1，
∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2
＝a2﹣b2+4ab
＝（a+b）（a﹣b）+4ab
＝5+24
＝29．
17．（2022秋•晋江市期中）如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．
（1）分别写出图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a、b的代数式表示）；
（2）如果a+b＝6，ab＝4，求S1的值；
（3）当S1＜S2时，求的取值范围．

【解答】解：（1）S1＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab，
如图，延长AD、EF交于H，
S2＝S梯形CEHA﹣S正方形CEFG﹣S△AFH
＝a（b+a+b）﹣b2﹣（a+b）（a﹣b）
＝＝ab﹣b2；
（2）∵a+b＝6，ab＝4，
∴S1＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝18﹣6
＝12；
（3）∵S1＜S2，
∴a2+b2﹣ab＜ab﹣b2．
∴a2+b2﹣ab＜0，
∴a2+2b2﹣3ab＜0，
∴（a﹣2b）（a﹣b）＜0，
∵a＞b，
∴a﹣2b＜0，
∴a＜2b，
∴1＜＜2．