【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题12 全等三角形基本模型（4大模型）（原卷版+解析版）

这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题12 全等三角形基本模型（4大模型）（原卷版+解析版），文件包含期末满分攻略2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题12全等三角形基本模型4大模型解析版docx、期末满分攻略2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题12全等三角形基本模型4大模型原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
        专题12  全等三角形基本模型（4大模型）  模型一：平移型模型二：翻折型模型三：旋转型模型四：一线三垂直型【典例分析】【模型一：平移型】 【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证：    .  【解答】证明： ，即 .∴在 和 中， . 【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．【解答】证明：∵，∴在和中∵∴∴． 【变式1-2】如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求证：AB=CD．【解答】证明：在和中，【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：．【解答】证明：∵，∴即，在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴AC=DF． 【模型二：翻折型】【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．【解答】解：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠DBC，在△BAC和△BDC中，∴△BAC≌△BDC，∴AC＝DC．【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ．  求证： ．【解答】证明：∵ 是 的角平分线（已知），   ∴ （角平分线定义），在 与 中，∵∴ ．【变式2-2】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．【解答】解：在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠B=∠C．【变式2-3】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC.【解答】证明：如图，记的交点为O，∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB＝DC.  【模型三：旋转型】【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，∴∠B=∠D=90°．在△ABO和△EDO中，∴△ABO≌△EDO．【变式3】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE．【解答】证明：在△ABE和△DCE中   ，  ∴△ABE≌△DCE（SAS）【典例4】如图，，，，求证：.【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴.【变式4】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，∵AE＝AB，AC=AF，∴△EAF≌△BAC，∴EF＝BC；（2）解：∵△EAF≌△BAC， ∴∠AEF=∠ABC＝65°，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABC＝65°，∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°. 【模型四：一线三垂直型】【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）求证：∠BAC＝90°．【解答】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l， ∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，， ∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL），∴BM＝AN，CN＝AM，∴MN＝AM+AN＝BM+CN；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA， ∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【变式5-1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【变式5-2】在 中，  ，  ，直线  经过点  ，且  于  ，  于  .（1）当直线 绕点  旋转到图1的位置时，  ①求证：   ≌   ；②求证：   ；（2）当直线 绕点  旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.【解答】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，  ∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，又∵AC=BC，∴ ≌   ；②∵ ≌   ，∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CE+CD，∴DE=AD+BE；（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：  ∵BE⊥MN，AD⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，又∵AC=BC，∴ ≌   ，∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CE－CD，∴DE=AD－BE. 【夯实基础】1．如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解答】解：如图，∵∠B＝90°，∠1＝30°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2＝∠3＝60°．故选：D．2．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若AB＝8，CF＝6，则BD的长是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝6，∵AB＝8，∴DB＝AB﹣AD＝8﹣6＝2．故选：B．3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则∠EDB的度数为（　　）A．30° B．20° C．10° D．15°【答案】B【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝∠CAD，在△EAD和△CAD中，，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠AED＝∠C＝60°，∴∠EDB＝∠AED﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，故选：B．4．如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（　　）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【解答】解：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠EDF，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴BC＝FD，∴BC﹣DC＝FD﹣DC，∴BD＝FC，∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝．故选：B．5．如图，D、E分别为AB、AC边上的点，∠B＝∠C，BE＝CD．若AB＝7，CE＝4，则AD的长度为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB＝AC＝7，AD＝AE，∴AD＝AC﹣CE＝7﹣4＝3，故选：B．6．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　）A．5 B．7 C．8 D．11【答案】B【解答】解：∵H是高MQ和NR的交点，∴∠P+∠PMQ＝90°，∠PMQ＝∠RHM＝90°，∠QHN+∠HNQ＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠P＝∠QHN，在△PMQ与△HNQ中，，∴△PMQ≌△HNQ（AAS），∴PQ＝HQ，MQ＝QN，∵MH＝3，PQ＝2，∴MQ＝NQ＝MH+HQ＝MH+PQ＝3+2＝5，∴PN＝PQ+QN＝2+5＝7，故选：B．7．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是（　　）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】D【解答】证明：∵FC∥AB∴∠FCE＝∠DAE，在△CFE和△ADE中，∴△CFE≌△ADE（ASA），∴AD＝CF＝5，∵AB＝3，∴BD＝5﹣3＝2，故选：D．8．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．【解答】解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．（2）∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°．9．如图，AD∥BC，AD＝CB．求证：△ADE≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（AAS）10．已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA＝OE．求证：△ABO≌△EDO．【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，∴∠B＝∠D＝90°．在△ABO和△EDO中，∴△ABO≌△EDO（AAS）．11．如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．【解答】证明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°，∴∠C＝∠DEB，在△ACE和△BED中，∵，∴△ACE≌△BED（AAS）．12．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵AB＝AD，AC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠1＝∠2．13．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴BC＝EF．∴BC﹣BE＝EF﹣BE．即：CE＝BF．14．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．【解答】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．15．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．【解答】证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB＝∠DBC．∴∠OCB＝∠OBC．∴OB＝OC（等角对等边）．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．