【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题17 轴对称之将军饮马模型（原卷版+解析版）

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 专题17 轴对称之将军饮马模型
模型归纳


基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.

方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.


【典例分析】
【典例1】（2022春•漳州期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．

故选：D．

【变式1】（2021春•成都期末）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
故选：B．
【典例2】（2022春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　）

A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：如图所示：

过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
【变式2-1】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　）

A．5 B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC＝5，
∵•BC•AD＝•AC•BH，
∴BH＝，
∴BE+EF的最小值为，
故选：C
【变式2-2】（2021秋•甘南县期末）如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC＝3，CB＝4．则△ACF周长的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【解答】解：∵直线l垂直平分AB，
∴A，B关于直线l为对称，
∴F与D点重合时，AF+CF最小，最小值是BC＝4，
∴△ACF周长的最小值＝AF+CF+AC＝AC+CD+BD＝AC+BC＝3+4＝7，
故选：C．

【变式2-3】（2022春•南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（　　）

A．3 B． C．3.5 D．
【答案】A
【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3，
∴PM+PN的最小值为 3，
故选：A．

【典例3】（2021春•西乡县期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【解答】解：连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．
故选：D
【变式3-1】（2021秋•海珠区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　）

A．21 B．7 C．4 D．2
【答案】B
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则CM+DM＝AM+DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小，
∴AD的长为CM+MD的最小值．
故选：B．
【变式3-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于EF对称．
连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．
∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，
∴AD⊥BC．
∵S△ABC＝16，BC＝4，
∴AD＝＝＝8．
∵MA＝MC，
∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．
故选：D
【典例4】（2020秋•郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（　　）

A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''，
由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，
∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，
此时△PEF周长最小，
∵PO＝OP'，OP＝OP''，
∴OP'＝OP''，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∴△OP'P''是等边三角形，
∵OP＝1，
∴P'P''＝1，
故选：D．

【变式4-1】（2021秋•澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（　　）

A．5 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【解答】解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，
连接OD，OE，
∵P、D关于OA对称，
∴OD＝OP，PM＝DM，
同理OE＝OP，PN＝EN，
∴OD＝OE＝OP＝15，
∵P、D关于OA对称，
∴OA⊥PD，
∵OD＝OP，
∴∠DOA＝∠POA，
同理∠POB＝∠EOB，
∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
∵OD＝OE＝15，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝15，
即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，
故选：B．

【变式4-2】（2021秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】C
【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点.
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，
还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，
而∠MON＝50°，
∴∠P1OP2＝100°，
∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，
∴∠APB＝2×40°＝80°．
故选：C．

【典例5】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（　　）

A．80° B．90° C．100° D．130°
【答案】C
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．

【变式5-1】（2021秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）

A．60° B．90° C．100° D．120°
【答案】C
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．

∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
【变式5-2】（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（　　）

A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
【答案】B
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．
（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，

∴B1的坐标（3，﹣2）；
（2）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于P，
则点P即为所求．
【变式6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．
（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小.

【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．

从图象看，B1点的坐标是（﹣3，2）．
（2）A点关于x轴的对称点A′坐标为（4，﹣4），
连接A'B交x轴于P点，则PA+PB＝PA'+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，
【夯实基础】
1．（2022秋•陕州区期末）如图，点M，N在直线L的同侧，小东同学想通过作图在直线L上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：先作点M关于直线l的对称点，再连接连接N和对称点交l于点Q，
则MQ+NQ＝M′Q+NQ＝M′N，由“两点之间，线段最短”可知，点Q即为所求的点，
故选：C．
2．（2022秋•金平区期末）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P，现有如下四种方案，则核酸采集点P到A、B两个小区之间的距离之和最短的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：作点A关于直线m的对称点A'，连接A'B交直线m于P，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点P到A、B两个小区之间的距离之和最短．
故选：B．
3．（2022秋•河口区期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，
∵△PMN的周长是5cm，
∴P1P2＝5cm．
故选：C
4．（2022秋•香洲区期末）已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（　　）

A．1.5 B．3 C． D．
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝OP，
∵△PMN周长的最小值是3cm，
∴PM+PN+MN＝3cm，
∴DM+CN+MN＝3cm，
即CD＝3cm＝OP，
故选：B．
5．（2023•紫金县校级开学）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（　　）

A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN＝6，
∴DM+CN+MN＝6，
即CD＝6＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故选：B．
6．（2022秋•湖里区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）

A．α B．2α C．180﹣α D．180﹣2α
【答案】D
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝α°，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAB＝180°﹣α°，
∴∠AA′E+∠A″＝α°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝α°，
∴∠EAF＝180°﹣α°﹣α°＝180°﹣2α°．
故选：D．
7．（2022秋•东丽区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（　　）

A．72° B．36° C．108° D．38°
【答案】B
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠DAB＝108°，
∴∠HAA′＝72°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×72°＝144°，
∴∠MAN＝36°，
故选：B．

8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解答】解：连接PC．

∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC．
∴PA+BP＝AP+PC．
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝4．
故选：A．
9．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】C
【解答】解：如图：

过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
AF＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ECF＝30°．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【解答】解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．
故选：B．
11．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【解答】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF是△ABC的中线，
∴CF＝AD＝6，
即EP+CP的最小值为6，
故选：C
12.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是　 　°．

【答案】100
【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．
故答案为：100．

13.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP＝6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是　 　．

【答案】6
【解答】解作点P关于OB的对称点P'，作点P关于OA的对称点P''，连接P'P''，
则P'P''的长就是△PMN周长的最小值；
在△OP'P''中，OP'＝OP''，
∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∵OP＝6，
∴P'P''＝6；
故答案为6；

14.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是　 　 　．

【答案】128°
【解答】解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，
∴AM＝EM，AN＝NF，
∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小，
由对称性可知，∠E＝∠EAM，∠F＝∠NAF，
∵∠BAD＝116°，
∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°，
∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°，
∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°，
故答案为：128°．
15.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是边BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF点的度数为　 　．

【答案】80°
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故答案为80°．